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1、工程力学,第三章 内力分析和内力图,第四章 内力分析和内力图,4-1 内力方程,4-3 扭转内力,4-2 拉伸与压缩内力,4-4 弯曲内力,4-5 平面刚架和平面曲杆的内力,4-6 平面桁架内力的计算,外力作用引起构件内部附加的相互作用力。,求内力的方法截面法(截取代平),1、截,2、取,3、代,4、平,内力,例0-1、求mm、nn截面上的内力。,1、对m-m截面：,解：,2、对n-n截面：,例 0-2、求mm、nn截面上的内力。,解：,1、沿m-m截面截开,取上半部分,O,2、沿n-n 截面截开,取右半部,例4-1、列出图示结构水平段的内力方程。,解：,取最右端为坐标原点，假设任一截面到坐标
2、原点的距离为x,表示内力沿截面变化规律的函数,4-1 内力方程,内力方程：,4-2 拉伸与压缩内力,受力特点：,作用在杆件上的外力或外力合力的作用线与杆件轴线重合,变形特点：,拉伸,压缩,杆件变形是沿轴线方向的伸长或缩短、横向缩小或变粗。,横截面上内力的方向与轴线重合。,2、截面法求轴力,截：,取：,1、轴力：,假想沿m-m横截面将杆切开,取左半段或右半段,3、轴力正负号：,代：,平：,将抛掉部分对选取部分的作用用内力代替,对选取部分列平衡方程求出内力即轴力的值。,拉为正、压为负(与截面外法线方向一致为正，否则为负),轴力的简便计算方法,任一横截面的轴力等于截面一侧所有外力引起的轴力的代数和,
3、每一个外力引起的轴力的大小等于该外力,每一个外力引起的轴力符号的按如下规定确定：,外力的方向背离截面，引起的轴力为正；反之为负。,轴力图：,选定一个坐标系，横坐标表示横截面的位置，纵坐标表示相应截面上的轴力，所得到的图线。,例4-2、已知F1=10kN；F2=20kN；F3=35kN；F4=25kN;试画出图示杆件的轴力图。,解：,将杆件分成3段,集中力作用点为分段点,AB段,BC段,CD段,绘制轴力图。,10kN,10kN,25kN,4-3 扭转内力,汽车传动轴,汽车方向盘,一 扭转的概念和实例,受力特点：,变形特点：,作用在杆件上的载荷均为力偶，且力偶矢方向与轴线一致,杆件的各个横截面绕杆
4、轴发生相对转动,扭转变形是指杆件受到若干个与轴线方向一致的力偶矢作用，使杆件的横截面绕轴线产生转动。,受扭转变形杆件称为轴，其横截面大都是圆形的。所以本章主要介绍圆轴扭转。,二、扭矩内力,1、外力分析,外力形式：,受到扭转外力偶的作用,扭转外力偶矩的计算,-直接计算法,-按输入功率和转速计算,电机每秒输出功：,力偶作功：,式中：,T称为横截面1-1上的扭矩,2、内力分析,(1)横截面上内力形式：,T方向垂直于截面的内力偶矩,得：,取左段研究:,取右段研究:,得：,(2)扭矩正负号的规定,右手螺旋法则,右手四指沿扭矩的转向环绕：拇指指向与截面外法线方向一致，则扭矩为正(+)；反之为负(-),某一
5、截面的扭矩等于截面一侧所有外力偶矩引起的扭矩的代数和；每一个外力偶矩引起的扭矩大小等于该外力偶矩，符号按以下规定确定：,计算截面扭矩的简便方法：,外力偶矩的方向背离截面，引起的扭矩为正；反之为负。,(3)扭矩图,例题4-3、一传动轴如图所示，其转速 n=300 r/min，主动轮A输入的功率为PA=36 kW，若不计轴承摩擦所耗的功率，三个从动轮输出的功率分别为PB=11 kW、PC=11 kW 及 PD=14 kW，试做扭矩图。,解:,计算外力偶矩,集中力偶作用点为分段点,BC 段扭矩方程,CA 段扭矩方程,AD 段扭矩方程,作扭矩图,例44、试作轴的扭矩图。,解：根据载荷分布情况，应分三段
6、研究。,AB段：,BC段：,CD段：,分布载荷的起点及终点也为分段点,4-4 弯曲内力,一、弯曲的概念和实例,起重机大梁,车削工件,火车轮轴,外力（包括力偶）的作用线垂直于杆轴线.,受力特征:,变形特征:,变形前为直线的轴线,变形后成为曲线.,以弯曲变形为主的杆件通常称为梁,常见弯曲构件的横截面类型,平面弯曲,具有纵向对称面,外力都作用在纵向对称面内,垂直于轴线,弯曲变形后轴线变成对称面内的一条平面曲线,二、梁的简化,载荷,集中载荷,分布载荷,集中力偶,支座的类型,固定铰支座,活动铰支座,固定端,静定梁的基本形式,简支梁,外伸梁,悬臂梁,火车轮轴简化,简化的实例,梁的简化：用梁的轴线代替杆件本
7、身。,被车削工件的简化,吊车大梁简化,均匀分布载荷简称均布载荷,三、弯曲变形的内力,梁横截面上的内力,截面法,C,FS剪力，平行于横截面的内力的合力。,M弯矩，垂直于横截面的内力系的合力偶矩。,剪力和弯矩合称为梁横截面上的内力。,无,内力符号规定,取左段与取右段所得结果等值反向！,按变形,左上右下错动趋势“+”,左下右上错动趋势“-”,“FS”,若外力对截面中心取矩为顺时针方向，则引起的剪力为正；反之为负。,顺为正，逆为负,按外力：,按变形,“M”,凹向上“+”,凹向下“-”,按外力（包括外力和外力偶）,截面左侧的外力对截面中心取矩为顺时针，截面右侧的外力对截面中心取矩为逆时针，则引起的弯矩为
8、正；反之为负。,左顺右逆为正，反之为负,某一截面剪力和弯矩的计算简便方法,某一截面的内力（剪力或弯矩）等于截面一侧所有外力（外力和外力偶）引起内力的代数和,顺为正；逆为负,左顺右逆为正；反之为负,每一个外力引起剪力的大小等于该外力，符号按如下规定确定：,每一外力（包括力偶）引起弯矩的大小等于外力或外力偶对截面中心的矩，符号按如下规定确定：,例47、求下图1-1、2-2、3-3、4-4、5-5的FS、M值。,解：,1、外力分析,2、内力分析,1-1截面,某一截面的内力（剪力或弯矩）等于截面一侧所有外力引起内力的代数和,2-2截面,3-3截面,4-4 截面,5-5 截面,例48、下图悬臂梁1-1、
9、2-2截面上的FS、M值。,解：,1、外力分析,2、内力分析,1-1截面,2-2截面,课堂练习：,计算梁中1-1与2-2截面内力。,某一截面的内力（剪力或弯矩）等于截面一侧所有外力引起内力的代数和,计算梁中1-1与2-2截面内力。,解：,1-1截面,2-2截面,四、剪力和弯矩方程 剪力图和弯矩图,1、剪力方程,2、弯矩方程,FS=FS(x),M=M(x),表示沿梁轴线各横截面上剪力和弯矩的变化规律的函数，分别称作剪力方程和弯矩方程。,1、剪力方程和弯矩方程,2、剪力图和弯矩图,以平行于梁轴的横坐标x表示横截面的位置，以纵坐标表示相应截面上的剪力和弯矩.这种图线分别称为剪力图和弯矩图,弯矩图为正
10、值画在 x 轴上侧，负值画在x 轴下侧,剪力图为正值画在 x 轴上侧，负值画在x 轴下侧,例49、如图所示的悬臂梁在自由端受集中荷载 F 作用,试作此梁的剪力图和弯矩图。,解:,(1)将坐标原点取在梁的左端，列出梁的剪力方程和弯矩方程,集中力、集中力偶作用点，支座点，分布载荷的起点或终点为分段点,对应于无均布载荷作用的梁，剪力图为平直线，弯矩图为斜直线,列剪力方程和弯矩方程，并利用剪力方程和弯矩方程画剪力图和弯矩图的步骤；,1、求支反力；,悬臂梁一般不必求支反力,2、找出分段点将梁分段；,集中力、集中力偶作用点，支座点，分布载荷的起点或终点为分段点。,3、取好坐标原点，写出每一段的剪力方程及弯
11、矩方程；,写某一段的剪力方程及弯矩方程，只需在这一段任取一截面，假设该截面到坐标原点的距离为x，写出这个截面的剪力和弯矩就是这一段的剪力方程及弯矩方程。,4、根据剪力方程及弯矩方程画剪力图和弯矩图。,例题410、图示的简支梁,在全梁上受集度为q的均布荷载用.试作此梁的的剪力图和弯矩图.,解：,(1)求支反力,(2)列剪力方程和弯矩方程,剪力图为一倾斜直线,绘出剪力图.,x=0 处，,x=l 处,弯矩图为一条二次抛物线。由,令,得驻点,弯矩的极值,绘出弯矩图,由图可见，对应于作用有均布载荷的梁，剪力图为斜直线，弯矩图为抛物线,剪力等于零的截面，弯矩取最大值,例411、图示的简支梁在C点处受集中荷
12、载F作用。试作此梁的剪力图和弯矩图。,解：,求梁的支反力,集中力作用点C为分段点，必须分段写剪力方程和弯矩方程。,将坐标原点取在梁的左端,AC段,CB段,由(1),(3)两式可知,AC,CB 两段梁的剪力图各是一条平行于 x 轴的直线,由(2),(4)式可知,AC,CB 两段梁的弯矩图各是一条斜直线。,在集中荷载作用处的左，右两侧截面上剪力值(图)有突变，突变值等于集中荷载F。,弯矩图形成尖角，该处弯矩取极值。,例412、图示的简支梁在 C点处受矩为m的集中力偶作用。试作此梁的的剪力图和弯矩图.,解：,求梁的支反力,将坐标原点取在梁的左端,因为梁上没有横向外力，所以全梁只有一个剪力方程,可见，
13、梁的剪力图是一条平行于 x 轴的直线。,绘出剪力图,AC 段和 BC 段的弯矩方程不同,AC段,CB段,两梁段的弯矩图各是一条倾斜直线。,AC段,CB段,梁上集中力偶作用处左、右两侧横截面上的弯矩值(图)发生突变，其突变值等于集中力偶矩的数值。,此处剪力图没有变化。,例413、一简支梁受移动荷载 F 的作用如图所示，试求梁的最大弯矩为极大时荷载 F 的位置。,解:,先设 F 在距左支座 A 为 x 的任意位置C。,令,当移动荷载 F 在简支梁的跨中时，梁的最大弯矩为极大。,最大弯矩值,五、剪力图和弯矩图的简便画法,q(x),略去二阶微量后得：,几何意义,（1）剪力图上某点处的切线斜率等于该点处
14、载荷集度的大小。,（2）弯矩图上某点处的切线斜率等于该点 处剪力的大小。,载荷集度、剪力和弯矩微分关系：,q图,FS图,水平直线,M图,斜直线,斜直线,抛物线,抛物线,立方抛物线,三图形状口诀：0平斜抛抛,1）两截面的剪力之差等于两截面之间的载荷图的面积,2）两截面的弯矩之差等于两截面之间的剪力图的面积,载荷集度、剪力和弯矩积分关系：,集中载荷,FS图,M图,有转折,有转折,无变化,无变化,从左到右，集中力作用处，剪力图有突变，突变幅度为集中力的大小，突变方向与集中力方向一致。弯矩图在该处为尖点。,从左到右，集中力偶作用处，弯矩图有突变，突变幅度为集中力偶的大小，力偶顺时针向上突变，反之向下突
15、变。剪力图在该点没有变化。,弯矩图为抛物线时，极值出现在剪力等于零处,载荷、剪力和弯矩之间关系绘制剪力图与弯矩图的方法,1、外力分析（求约束反力）；,约束反力的方向为实际方向,2、建立FS一 x和M一 x坐标系；,3、找出分段点将梁分段；对应每一段，根据载荷集度、剪力及弯矩之间的微分关系（0平斜抛抛），确定剪力图及弯矩图的形状；,4、对应每一段，确定相应控制面的剪力值或弯矩值，并在坐标系中描点；,分段点左右两侧面均为控制面,5、根据剪力图及弯矩图的形状连线画出剪力图及弯矩图。,控制面上的剪力或弯矩可根据集中载荷与剪力和弯矩之间的关系，截面法或积分关系求得,例4-14、试作梁的FS、M图,解：,
16、外力分析,建立坐标系并根据微分关系画图,左端左截面，右端右截面的内力为零,例4-15、试作悬臂梁的FS、M图。,解：,外力分析,建立坐标系并根据微分关系画图,例4-16、简支梁受力如图示。试画出其剪力图和弯矩图。,解：,外力分析,建立坐标系并根据微分关系画图,0.89,1.11,1.665,1.335,0.335,例4-17、试画出梁剪力图和弯矩图。,解：,外力分析,从A截面左侧开始画剪力图,从A截面左侧开始画弯矩图,例4-18、试画出图示有中间铰梁的剪力图和弯矩图。,解：1确定约束力,从铰处将梁截开,qa/2,qa/2,qa,qa2/2,qa2/2,中间铰处弯矩等于零,1、平面刚架,某些机器
17、的机身由几根直杆组成，而各杆在其联接处的夹角不能改变，这种联接称为刚节点。有刚节点的框架称为刚架。各直杆和外力均在同一平面内的刚架为平面刚架。平面刚架的内力一般有轴力、剪力和弯矩。,4-5 平面刚架和曲杆的内力,已知平面刚架上的均布载荷集度q,长度l。,试画出刚架的内力图。,例题4-19、,解：,2、写出各段的内力方程,q,l,l,A,B,C,1、确定约束力,AB段,BC段,竖杆AB：,3、根据各段的内力方程画内力图,横杆CB：,M图画在受压一侧；FS图与FN图可画在任一侧，但应注明正负号；,2、平面曲杆的内力,平面曲杆,轴线为平面曲线的构件称为平面曲杆。当外力与平面曲杆均在同一平面内时，曲杆
18、的内力有轴力、剪力和弯矩。,引起拉伸变形的轴力为正；使轴线曲率增加的弯矩为正；剪力对所取的一段曲杆内任一点取矩，若力矩为顺时针方向，则剪力为正。,内力正负号规定,例4-20 已知:如图所示,F及R.试绘制FS、M、FN图.,解：建立极坐标,O为极点,OB极轴,q表示截面mm的位置。,4-6 平面桁架的内力计算,桁架：,由杆组成，用铰联接，受力不变形的系统。,武汉长江大桥。全长1679米。于1957年建成。跨度128米。,英国福斯湾桥。钢悬 臂桁架双线铁路桥。跨度521米。1890年 建成。,北京首都国际机场 航空港内钢结构飞 机库。,桁架的简化计算模型,桁架的优点：轻，能充分发挥材料性能。,力
19、学中的桁架模型(基本三角形)：三角形有稳定性,2、杆件与杆件间均用光滑铰链连接；,4、各杆件自重不计或均分布在节点上。,关于平面桁架的几点假设(理想桁架),总杆数m,总节点数n,m-3=2(n-3),m=2n-3,平面简单（静定）桁架,m=2n-3,平面复杂（超静定）桁架,m 2n-3,非桁架（机构）,m 2n-3,桁架内力的计算方法,1、节点法,2、截面法,取节点为研究对象，用平面汇交力系平衡方程求解。,适当地选取一截面，假想把桁架截开，考虑其中任一部分的平衡，应用平面任意力系平衡条件，求出被截杆件的内力。,在求解杆件内力时，先假设为拉力，最后根据所求得的结果确定杆件的实际受力性质。,节点法
20、,例421、如图，已知：P=10kN，求各杆内力？,解：,1、求支座反力,2、研究节点A,3、研究节点C,4、研究节点D,例222、如图，已知：每根杆长均为a，h,P,求4,5,6杆的内力。,截面法,解：,1、求支座反力,2、假想截断4，5，6杆，取原桁架的左半部分研究,解得：,C,2、T形杆且节点无载荷时，其中两杆在一条直线上，则另一杆必为零杆。,3、X形杆且节点无载荷时，共线的两杆内力等值、同性。,1、L形杆且节点无载荷时，两杆均为零杆。,特殊杆件的内力判断,说明：节点法：用于设计，计算全部杆内力 截面法：用于校核，计算部分杆内力,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,例2-23 已知 P d,求：a、b、c、d 四杆的内力。,解：由零杆判断规律可知：,研究节点A,9,14,4,8,13,3,7,12,2,6,1,5,10,11,第四章结束,
