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1、,弯 曲 变 形,第 六 章,目录,第六章,弯曲变形,6-1 工程中的弯曲变形问题 6-2 挠曲线的微分方程 6-3 用积分法求弯曲变形 6-4 用叠加法求弯曲变形6-5 简单超静定梁6-6 提高弯曲刚度的一些措施,目录,目录,6-1 工程中的弯曲变形问题,7-1,目录,目录,6-1 工程中的弯曲变形问题,目录,6-1 工程中的弯曲变形问题,6-2 挠曲线的微分方程,dydx,挠度转角关系为：tan,挠曲线x,1.基本概念yx,转角挠度y,挠曲线方程：y y(x)挠度y：截面形心在y方向的位移y 向上为正,转角：截面绕中性轴转过的角度。逆时针为正由于小变形，截面形心在x方向的位移忽略不计,7-
2、2,目录,MEIz,1,忽略剪力对变形的影响,M(x)EIz,1(x),6-2 挠曲线的微分方程2.挠曲线的近似微分方程推导弯曲正应力时，得到：,目录,d y,1(,dy 2 3,d y,d y,d y,dx,d y,),2dx 2dx,1,略去高阶小量，得,2dx 2,1,M(x)EI z,2,2,所以,M(x)0,M(x)0,2dx 2 0,x,yO,M(x)0,O,2dx 2 0,y,x,M(x)0,6-2 挠曲线的微分方程由数学知识可知：,目录,dx,6-2 挠曲线的微分方程由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲线的二阶导数符号一致，所以挠曲线的近似微分方程为：,由上式进行积分，就可
3、以求出梁横截面的转角和挠度。目录,M(x)EI z,d 2 y2,dx,dx,6-3 用积分法求弯曲变形挠曲线的近似微分方程为：,M(x)EI z,d 2 y2,积分一次得转角方程为：,dydx,EI z,EI z M(x)dx C,d 2 y2,EI z,M(x),再积分一次得挠度方程为：EI z y M(x)dxdx C x D,7-3,目录,A,A,A,A,AA A A A AA A A A,AA AA A,AAA A,AAA,y A 0,y A 0 A 0,位移边界条件,光滑连续条件,yAL yAR AL AR,yAL yAR,yA 弹簧变形,6-3 用积分法求弯曲变形积分常数C、D
4、由梁的位移边界条件和光滑连续条件确定。,目录,dx,EI,F(x l)2 C,EI,EIy,F(x l)3 Cx D,例1,求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的EI已知。,解,),1）由梁的整体平衡分析可得：FAx 0,FAy F(),M A Fl(2）写出x截面的弯矩方程,M(x)F(l x)F(x l)3）列挠曲线近似微分方程并积分,d 2 y2,M(x)F(x l)dy 1dx 216,EI积分一次再积分一次,B,A,x,yx,l,FB,yB,6-3 用积分法求弯曲变形,目录,C Fl 2,D,EIy,F(x l)Fl 2,F(x l)Fl x Fl 3,x 0,A 0
5、,16,Fl 3,x 0,y A 0代入求解 125）确定转角方程和挠度方程,6）确定最大转角和最大挠度,1 2 12 2,3 1 2 12 6,EI 16,Fl 33EI,Fl 22EI,ymax yB,x l,max B,B,A,x,yx,l,FB,yB,6-3 用积分法求弯曲变形4）由位移边界条件确定积分常数,目录,FAx 0,FAy,FBy,M x1 FAy x1,x1,0 x1 a,例2,求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的EI已知，,l=a+b，ab。,解,1）由梁整体平衡分析得：Fb Fal l2）弯矩方程AC 段：Fbl,Fbl,a x2 l,x2 F(x2
6、a),M x2 FAy x2 F(x2 a),CB 段：,6-3 用积分法求弯曲变形,目录,a,b,x2,D,FCym ax,B xFBy,yA AFAyx1,B,0 x1 a,M(x1),d 2 y1 Fb,EI x1,dx1,l,EI(x1),x 1 C1,dy1 Fb 2,EIy1,x 1 C1 x1 D1,a x2 l,M(x2),x2 F(x2 a),d 2 y2 Fb,EI,dx2,l,dy2,EI(x2),x 2,(x2 a)2 C 2,x 2,(x2 a)3 C2 x2 D2,2dx1 2lFb 36l2,Fb 2 F2l 2,Fb 3 F6l 6,EIdx2EIy2,AC 段
7、：EICB 段：,6-3 用积分法求弯曲变形3）列挠曲线近似微分方程并积分,目录,a,b,x2,D,FCym ax,B xFBy,yA AFAyx1,B,C1 C2 Fbl,y1(0)0y2(l)0,代入求解，得,位移边界条件x1 0,x2 l,1(a)2(a)y1(a)y2(a),光滑连续条件x1 x2 a,x1 x2 a,16,Fb36l,6-3 用积分法求弯曲变形4）由边界条件确定积分常数,D1 D2 0目录,ym ax,a,b,x2,D,FC,FAyx1,FBy,A,B x,yA,B,x 1,(l b2),(l b2),(x2 a),x2,EIy1,x 1,(l b2)x1,a x2
8、l,x2,(x2 a),(l b2)x2,Fb 26l,Fb 22l,EI1,Fb 3 Fb 26l 6l,AC 段：,0 x1 a,2,Fb 26l,F2,Fb 22l,EI 2,3,Fb 26l,F6,Fb 36l,EIy2,CB 段：,6-3 用积分法求弯曲变形5）确定转角方程和挠度方程,目录,ym ax,a,b,x2,A,C,D,F,FAyx1,FBy,A,B x,y,B,x l,max B,0,dy,令,得，,0,ddx,Fab6EIl,(l a)(),令 得，,dx,(),Fb(l 2 b2)39 3 EIl,ym ax,l 2 b23,x,6-3 用积分法求弯曲变形6）确定最大转
9、角和最大挠度,目录,ym ax,a,b,x2,D,FC,FAyx1,FBy,A,B x,yA,B,讨,论,6-3 用积分法求弯曲变形,积分法求变形有什么优缺点？目录,dx,EI yi EI(yi)M(x),d 2 y2,EI,EIy M(x),6-4 用叠加法求弯曲变形设梁上有n 个载荷同时作用，任意截面上的弯矩为M(x)，转角为，挠度为y，则有：,若梁上只有第i个载荷单独作用，截面上弯矩为 M i(x)，转角为 i，挠度为 yi，则有：EIyi M i(x)ni 1,所以，,n ni 1 i 1,7-4,目录,y(yi),y yi,i,故,ni 1,由于梁的边界条件不变，因此,ni 1,ni
10、 1,6-4 用叠加法求弯曲变形,重要结论：梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。这就是计算弯曲变形的叠加原理。目录,yC1,yC 2,例3,已知简支梁受力如图示，q、l、EI,均为已知。求C 截面的挠度yC；B截面的转角B,yC1,yC2,yC3,1）将梁上的载荷分解yC yC 1 yC 2 yC 3 B B1 B 2 B 32）查表得3种情形下C截面的挠度和B截面的转角。,ql 324EIql 316EI,B1 B1,ql 33EI,B 3,5ql 4384EIql 448EI,ql 416EI,yC 3,解,6-4 用叠加法求弯曲变形,目录,
11、yC yCi,B Bi,(),11ql 4384 EI,ql 416 EI,ql 448EI,5ql 4384 EI,3i 1,(),11ql 348EI,ql 33EI,ql 316EI,ql 324EI,3i 1,6-4 用叠加法求弯曲变形3）应用叠加法，将简单载荷作用时的结果求和,目录,yC1,yC2,yC3,yC,解,6-4 用叠加法求弯曲变形,例4 已知：悬臂梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求C截面的挠度yC和转角C1）首先，将梁上的载荷变成有表可查的情形为了利用梁全长承受均布载荷的已知结果，先将均布载荷延长至梁的全长，为了不改变原来载荷作用的效果，在AB 段还需再加上集度相同、
12、方向相反的均布载荷。目录,C1,yC 1,yC 2 yB 2 B 2,C 2,yC yCi,C Ci,yC,yC 2,yC1,yB 2,l2,ql 4 ql 38EI 6EIql 4 ql 3 l128 EI 48 EI 2,ql 348 EI,41ql 4384EI7ql 348EI,3）将结果叠加2i 12i 1,2）再将处理后的梁分解为简单载荷作用的情形，计算各自C截面的挠度和转角。,6-4 用叠加法求弯曲变形,目录,讨,论,6-4 用叠加法求弯曲变形,叠加法求变形有什么优缺点？目录,6-5 简单超静定梁1.基本概念：超静定梁：支反力数目大于有效平衡方程数目的梁多余约束：从维持平衡角度而
13、言,多余的约束超静定次数：多余约束或多余支反力的数目。相当系统：用多余约束力代替多余约束的静定系统2.求解方法：解除多余约束，建立相当系统比较变形，列变形协调条件由物理关系建立补充方程利用静力平衡条件求其他约束反力。,7-6,目录,6-5 简单超静定梁,C,解,例6 求梁的支反力，梁的抗弯刚度为EI。,1）判定超静定次数2）解除多余约束，建立相当系统,目录,(a),2a2a,(b)(c),(b),(a),a Fa,BB,B,F,M A,A,FA yM AFA y,AA,CC,FF,CC,BB,AA,FBy,MAMA,(c)(d)(d)(d),FByFBy,AAAAA,BBBBB,FFCCCF
14、CC,3）进行变形比较，列出变形协调条件yB(yB)F(yB)FBy 0,14Fa 3 8FBy a 3,M AA y,(),FAy F(),M A,F,FBy,(b),(yB)F,(9a 2a),(yB)FBy,4）由物理关系，列出补充方程,14Fa33EI,8FBy a33EI,F(2a)26EI3EI 3EI,所以 0,745）由整体平衡条件求其他约束反力Fa 32 4,目录,2a,(a),B C,M A,A,F,2a,(c)(d)(d)(d),(a)(b)(c),BBB,B,a F,C,A,CCC,aFFBy F,FByFBy,FFF,CCCCC,BBBBB,AAAAA,MAMA,FA
15、 yM A,AAAFAy,F6-5 简单超静定梁,yB1,3 4 2,F 22 FB 43,从B 处拆开，使超静定结构变成两个悬臂梁。,变形协调方程为：,yB1 yB 2,MA,FA,yB1FB,MCFC,FBFB FByB2,物理关系,yB 2,q 44 FB 438EI 3EI6EI 3EI,解,目录,6-5 简单超静定梁例7 梁AB 和BC 在B 处铰接，A、C 两端固定，梁的抗弯刚度均为EI，F=40kN，q=20kN/m。画梁的剪力图和弯矩图。,2 6 4,20 44,8.75 kN,8 4,FB,MAFA,MC,FC,yB1FB,yB2,3,3 40 102,FB,FB 433EI
16、,3 4 2,F 226EI,FB 433EI,q 448EI,确定A 端约束力 Fy 0,FA FB 4q 0FA 4q FB 4 20 8.75 71.25 kN,0,A,M A 4q 2 4FB 0,M,M A 4q 2 4FB 4 20 2 4 8.75 125 kN m目录,6-5 简单超静定梁代入得补充方程：,FB,MA,FA,MC,FC,yB1FB,yB2,48.75 kN,MC 0,MC 2F 4FB 0M C 4FB 2F 4 8.75 2 40 115 kN.m,目录,6-5 简单超静定梁确定C 端约束力 Fy 0,FB FC F 0FC F FB 40 8.75,MCFC
17、,MAFA71.25,FA 71.25 kN()M A 125 kN m()FC 48.75 kN(),),MC 115 kN m(最后作梁的剪力图和弯矩图,8.751.94,()48.75()17.5115,FS()kN M(kN m)()125,目录,6-5 简单超静定梁A、C 端约束力已求出,1）选择合理的截面形状,目录,6-6 提高弯曲刚度的一些措施,2）改善结构形式，减少弯矩数值,改变支座形式,目录,6-6 提高弯曲刚度的一些措施,62.5%目录,wC 2wC1,6-6 提高弯曲刚度的一些措施2）改善结构形式，减少弯矩数值改变载荷类型,3）采用超静定结构,目录,6-6 提高弯曲刚度的一些措施,目录,6-6 提高弯曲刚度的一些措施,小结,1、明确挠曲线、挠度和转角的概念2、掌握计算梁变形的积分法和叠加法3、学会用变形比较法解简单超静定问题,目录,
