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1、1.5 向量的外积,在力学中，我们遇见过这样的问题：一个力 作用在棒的一端P，使棒绕其支点O转动，这就产生了力矩，其大小为其方向为：让右手四指从 弯向（转角小于），则拇指指向为 的方向（图1.17）。类似于从 和 求力矩 这样的向量运算，我们引进向量的外积运算。,图1.17,定义5.1,两向量,记为,是一个,规定如下:,有一个为o 时,向量的外积也称为叉积,规定,时,当,的模为,此时,则,或,若,则,或,规定,的方向满足:,且,符合右手系.,或矢性积.,当 中,若,的外积,故,向量,当,或,或,时,当,且,时,符合右手系.,向量 向量=,向量,或,或,(规定零向量,对任意向量,有,与任一向量共
2、线),当,且,时,以 为邻边的,平行四边形的面积,三角形的面积为,以 为邻边的,当,且,时,与,都垂直的,为,单位向量,如果向量,是两两垂直的单位向量，,且构成右手系,则,向量的外积,(1)反交换律,满足以下运算规律：,证,当,时,等式成立.,当,时,模相等,符合右手系.,符合右手系.,方向相反.,向量的外积,(1)反交换律,(2)关于数因子的结合律,(3)左分配律,右分配律,满足以下运算规律：,例,其中为三角形的面积,证,右式=,用向量法证明,设,例 用向量的方法证明,其中为三角形的面积,证:设,右式,例,三角形正弦定理,分析:,只需证,只需证,只需证,用向量法证明,要证,2.用坐标计算向量
3、的外积,设在仿射标架,下,在仿射标架,则,下,设在仿射标架,则,下,如果,是直角标架,则,在任意坐标系下,在直角标架,下，,则,解,例,求1)ABC的面积;,解,在直角坐标系下,已知点,例,求1)ABC的面积;,解,在直角坐标系下,已知点,2)ABC中BC边上的高.,解,3)垂直于ABC所在平面的,垂直于ABC所在平面的,例,求,在直角坐标系下,已知点,单位向量.,单位向量为,P12 题2,设,在仿射标架,下,的坐标.,解,仿射标架,P是B,D的中点,平行四边形ABCD,的对角线交于点P,求点P,M,N,及向量,二重外积公式,证,用向量的外积,的坐标计算证明.,设在直角坐标系下，,分别将上式左、右,用坐标表示，,即可得出两边相等.,二重外积公式,证,一般地，,无意义.,P12 题2,设,在仿射标架,下,的坐标.,解,仿射标架,P是B,D的中点,平行四边形ABCD,的对角线交于点P,求点P,M,N,及向量,1.设平行六面体,P是平行四边形,的中心，,记,在标架,下，,的坐标及,的重心,坐标.,求向量,解,1.设平行六面体,P是平行四边形,的中心，,记,在标架,下，,的坐标及,的重心,坐标.,求向量,解,的重心坐标为,
