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1、向量的数乘运算及其几何意义,咸宁高中 吕维东,复习,向量的减法三角形法则:,1.向量的加法三角形法则：,特点:,2.向量加法平行四边形法则:,特点:,特点：,首尾相接,共起点,共起点，方向指向被减量,探究1:已知向量 如何作出 和 并指出相加后的长度和方向有什么变化？,O,探究1:已知向量 如何作出 和 并指出相加后的长度和方向有什么变化？,O,A,探究1:已知向量 如何作出 和 并指出相加后的长度和方向有什么变化？,O,A,B,探究1:已知向量 如何作出 和 并指出相加后的长度和方向有什么变化？,O,A,B,C,探究1:已知向量 如何作出 和 并指出相加后的长度和方向有什么变化？,探究1:已
2、知向量 如何作出 和 并指出相加后的长度和方向有什么变化？,O,A,B,C,如图：,与 的方向相同。,且,记作,探究1:已知向量 如何作出 和 并指出相加后的长度和方向有什么变化？,O,A,B,探究1:已知向量 如何作出 和 并指出相加后的长度和方向有什么变化？,P,探究1:已知向量 如何作出 和 并指出相加后的长度和方向有什么变化？,P,D,探究1:已知向量 如何作出 和 并指出相加后的长度和方向有什么变化？,E,P,D,探究1:已知向量 如何作出 和 并指出相加后的长度和方向有什么变化？,P,F,E,D,探究1:已知向量 如何作出 和 并指出相加后的长度和方向有什么变化？,E,P,F,D,
3、探究1:已知向量 如何作出 和 并指出相加后的长度和方向有什么变化？,E,P,F,D,如图：,记为：,与 方向相反,且,探究1:已知向量 如何作出 和 并指出相加后的长度和方向有什么变化？,规定：实数与向量 的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘.记作：,当 时,的方向与 的方向相同,当 时,(1),(2),当 时,的方向与 的方向相反.,注意：实数 与向量 可以作积，但不可以作加减法，即 与 是无意义的。,实数与向量的积的运算律（公式一）,实数与向量的积的运算律（公式一）,实数与向量的积的运算律（公式一）,实数与向量的积的运算律（公式一）,实数与向量的积的运算律（公式一）,实数与向量的积的运
4、算律（公式一）,实数与向量的积的运算律（公式一）,实数与向量的积的运算律（公式一）,公式一：,实数与向量的积的运算律（公式二）,实数与向量的积的运算律（公式二）,实数与向量的积的运算律（公式二）,实数与向量的积的运算律（公式二）,实数与向量的积的运算律（公式二）,实数与向量的积的运算律：,实数与向量的积的运算律（公式二）,公式二：,实数与向量的积的运算律（公式三）,实数与向量的积的运算律（公式三）,实数与向量的积的运算律（公式三）,实数与向量的积的运算律（公式三）,实数与向量的积的运算律（公式三）,实数与向量的积的运算律（公式三）,实数与向量的积的运算律：,实数与向量的积的运算律：,实数与向量
5、的积的运算律（公式三）,公式三：,数乘的运算律,特别的,例1.计算,(1)(-3)4a(2)3(a+b)-2(a-b)-a(3)(2a+3b-c)-(3a-2b+c),=(-34)a=-12a,=3a+3b-2a+2b-2a=5b,=2a+3b-c-3a+2b-c=-a+5b-2c,探究2：数乘向量与原向量之间的位置有什么 关系?,结论：a与3a共线,O,A,B,C,共线向量定理：非零向量a（a0）与向量b共线，当且仅当有唯一一个实数，使b=a.,作用:判定向量是否共线和判定点共线,例2.如图,已知任意两个非零向量 试作,你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗?为什么?,A,解：由图得,而,于
6、是,所以A,B,C三点共线,例3.如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，且=a，=b，试用a,b表示向量、,A,D,C,B,a,b,M,解：在平行四边形ABCD中，,因为,又因为平行四边形对角线互相平分,所以,练习1.已知向量a，b 且=a+2b,=-5a+6b，=7a-2b则下列一定共线的三点是（）,(A)A,B,D(B)A,B,C(C)B,C,D(D)A,C,D,A,练习2.如图，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上且BN=1/3BD，求证：M,N,C三点共线。,练习3,（1）已知均为非零向量，设，说明 与 的关系,练习4.（与 不共线），当M,N,P共线时，求证：,谢谢指导,
