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1、第二章 证券的收益及其度量,2,本章的主要内容,2.1 业绩表现 2.2 单期收益率2.3 多期收益率2.4 对数收益率 2.5 预期收益率,3,收益与风险的关系,在证券投资活动中，收益与风险是其核心问题。人们之所以放弃消费，而投资于各种证券，就是为了获得投资收益。证券投资收益不是在进行投资的时候就能获得的，而是在投资一段时间后才能获得的，而且在一般情况下，投资收益是难以确定的，也就是说，证券投资活动是一项有风险的活动。投资风险可能来自于外部客观条件的变化，也可能来自于投资者自己的决策。,4,在投资活动中，投资者总是希望自己的投资收益越大越好，同时希望自己的投资风险越小越好。在现实生活中，收益
2、与风险是并存的，市场上很少有低风险高收益的证券。投资者在证券投资过程中应遵循两个原则：在风险相同的证券中选择收益较高的资产；在收益相同的证券中选择风险较小的资产。计算和预测各种证券的投资收益和度量它们的投资风险是投资者在进行证券投资之前必须要做的一项重要工作。任何机构和个人进行在证券投资前，都必须计算证券在一定时期内的收益率，并以此为基础来估计该证券的风险。,5,3.1 业绩表现,金融风险通常通过价格的变化来测量，如资产组合的风险就是指在一定的持有期及给定的概率水平下该资产组合价格的最大可能变动。尽管人们一向对证券的价格感兴趣，但事实上证券的业绩表现却是用收益率或价格变动来衡量的。这是因为：价
3、格是一个绝对的数值，无法反映证券的业绩变化，我们不能根据价格就说市场报价为￥6/每股的股票A的未来收益就比市场报价为￥9/每股的股票B的未来收益高。从统计角度来看，价格具有的一些性质，如非平稳性，使建模过程更为复杂、困难；而价格变动序列和收益率序列则比价格序列具有更好的性质，更易于建模。,6,与价格本身不同，价格变动可以在不同的金融资产之间进行比较。例如，在指定时间段，股票A的价格涨了￥0.6，而股票B的价格跌了￥0.2，那么我们可以说，股票A的业绩表现强于股票B。收益率则从另一方面更好地体现了金融资产的业绩表现。因为收益率是按初始价格标准化了的一种不考虑规模的标量指标，所以它使得价格不同的证
4、券之间进行业绩比较成为可能。,7,例1：股票A、B的价格、价格变动和收益率如下表,虽然股票B的价格变动大于股票A的价格变动，但由于股票A的收益率是25%，而股票B的收益率是20%，因此我们可以断定股票A的业绩比股票B的更好。所以无论是在金融研究还是在金融实践中，人们更关注的是证券的价格变动和收益率而非价格本身。,8,投资目的,投资者的投资目的就是为了获得投资收益。对投资者来说，在保证本金安全的前提下，不仅希望得到稳定的红利或利息收入，还希望得到投资资金的增值收入。这就需要对证券投资项目进行收益率的计算与度量。,9,2.2 单期收益率,单期（一期）收益率是收益率的一种基本形式，也是价格变动中最简
5、单的形式。用Pt 表示时间t 的证券价格，Pt1表示时间的前一期 t-1的证券价格，则该证券在时间段 t-1,t 上的单期价格变动可定义为：（2.1）这里，时间期限并不限于某一固定不变的区间，它可以是一天、一周、一个月或其他任何一个选定的时间段。这样，证券的第t 期的单期收益率rt可以定义为：（2.2）,10,事实上，收益率是相对的价格变动，是按初始价格标准化了的一种不考虑规模的标量指标，通常用百分数形式表示的。如果考虑利息或者红利支付，则第t 期收益率可调整为如下形式：（2.3）其中，Dt 表示在时间段t-1,t 上支付的利息或红利。公式（2.2）或（2.3）反映了证券价格变化和收益率之间的
6、关系。已知证券的单期收益率，可以很容易地导出该时间段上证券价格变动的大小。,11,根据公式（2.3），我们就可以得到时间段t-1,t上证券的价格变化：（2.4）由公式（2.1）和（2.4），我们可以得到时间的证券价格：（2.5）值得注意的是，尽管收益率的定义与绝对量无关，它独立于所考察的证券的价格水平，但收益率也是有数量单位的，它总是与某个时间区间有关系。因此，“收益率为15%”的说法是对某证券业绩表现的不完整表述，因为它没有确定具体的时间范围。没有指明时间段的收益率是没有任何意义的。,12,单期收益率的缺陷,在计算证券的单期收益率时，如果在对应的时间期限内，除了在期末以外的其它时点上再没有其
7、它收入，那么用单期收益率来确定一种证券的业绩是很有用的。但是股票红利在通常情况下不只是一年发放一次，而单期收益率却没有考虑这些股票红利的时间价值。一位投资者宁愿在年初而不是在年底收到股票红利。相应地，当某个人投资于债券时，他也必须考虑累积的应计利息，也就是说，在二级市场上买卖债券时，买者除向卖者支付债券价格外，还应支付从上次利息支付日到债券出售日这段时期所累积的利息。这些事实导出了不同时间范围下收益率之间关系的问题，即多期收益率问题。,13,2.3 多期收益率,令P0表示一只证券（比如股票）在第一天开始时的价格，P1表示该证券在第一天结束时的价格，Pk表示该资产第k天结束时的价格。假设利息和红
8、利支付为零，则由公式（2-5），可得：其中，r1表示第一天的日收益率；r2表示第二天的日收益率；rk表示第k天的日收益率。,14,通过迭代，我们得到：（2.6）或其等价形式（2.7）根据公式（2-2），我们可以得到该证券的k日收益率r(k)（2.8）于是，由公式（2-7）和（2-8），我们可得（2.9）,15,多期收益率的本质,公式（2-9）说明我们可以从单期收益率构造多期收益率。公式（2-9）不仅是一个数学上的等价形式，而且还定义了一个无套利条件。在没有交易费用的情况下，一个“买入并且持有证券”的策略等价于“不断买卖证券”的策略。上述两种策略分别体现在公式（2-9）的等号左侧和右侧。从公式（
9、2-9）中，我们可以看出多期收益率的计算充分考虑了资金的时间价值。公式（2-9）假定了投资者在实现现金流入时，立即将这部分现金再投入到现存的证券上，所以多期收益率是以复利思想计算收益率的。从本质上说，多期收益率是解决这样一个问题：投资者在第一期期初投资1元，经过若干期之后，这1元在最后一期期末的价值是多少？,16,多期收益率的计算,有两种方法可以计算多期收益率：综合法和指标法。综合法使用的是各个时期的单期收益率和公式（2.9）指标法则是重点强调：现金收入应该立即被用来购买额外的证券。两种方法的计算结果是一致的。指标法有助于我们用直观的方法来理解多期收益率综合法在实际上计算起来比较方便和简单,1
10、7,例2：假设一个投资者正投资于ABC公司的股票。表2-2(a)给出了计算多期收益率所需的有关数据：,表2-2(a)ABC股票的有关数据,可以看出，ABC公司每季度发放现金红利，并且它的股票价格波动幅度比较大。该年的前一段时间其股票价格下跌，然后再上升，最后在年末时，其股票价格又下跌到年初的水平,18,表2-2(b)用综合法计算ABC公司股票的多期收益率第一个时期（从1月1日到2月15日）的单期收益率是,综合法计算多期收益率,19,第二个时期（从2月15日到5月15日）的单期收益率是这样，在1月1日到5月15日这段时间内，ABC公司股票的多期收益率就是：(1-18%)(1+21.25%)-1=
11、0.57%重复上述过程，我们可以得出该公司股票全年的多期收益率为8.42%（见表2-2(b)最后一栏的最后一项）。,20,注意，如果我们用公式（2.3）来计算单期收益率，那么ABC公司股票全年的收益率就是：怎样解释存在8.42%与8%之间的42个基本点的差异？我们可以通过用指标法计算多期收益率来回答这个问题。,21,指标法计算多期收益率,表2-2(c)用指标法计算ABC公司股票的多期收益率,22,指标法计算多期收益率,指标法强调投资者将其所获得的红利再去购买股票，例如，在2月15日，股票投资者每股获得￥2的红利，且他可以以每股￥80的价格购买新股票。我们可以从表2-2(c)中看出，在2月15日
12、，拥有100股ABC公司股票的股东可以获得￥200的红利，并且他还可以将这￥200购买2.5股新股票。在5月15日，当ABC公司可发放每股￥2的红利时，这位股东除了可以按其拥有的100股原有股票来领取红利以外，还可以按其在2月15日购买2.5股的新股票来领取红利。该股东在5月15日获得红利后又可以将其获得的红利在当天以每股￥95的价格购买股票。表2-2(c)给出了贯穿全年的这个重复投资的过程。,23,在第i期期末时，投资者用红利新购买的股票数量ASi可以用公式（2.10）来表达：（2.10）其中，Ni-1表示投资者在第i-1期期末所拥有的股票数量。将投资者原来拥有的数量加上新购买的股票数量，便
13、可得到他现在所拥有的股票数量，即：Ni=Ni-1+ASi从表2-2(c)中我们可以看到，当股票价格较低时，投资者可以用红利购买较多的股票；相反，当股票价格较高时，只能购买较少的股票。,24,在这个例子里，因为在年初股票价格下跌，所以投资者能用其获得的红利来购买较多的股票；进而他又可以在以后获得更多的红利。到了年末时，该投资者已经拥有了价格为每股￥100、数量约为108.43股的股票资产。这样，我们就可以用该投资者在年末所拥有股票的市场价值除以他在年初所拥有股票的市场价值，然后减1，得到ABC公司股票在这一年的多期收益率用指标法计算多期收益率的结果基本上与综合法计算的结果是相同的。公式（2-9）
14、表示的是一种对时间的归并，即由单日收益率构造出多日收益率。,25,截面数据归并,此外，还有另一种数据归并的方法截面数据归并，即对某一特定时点上的多个证券进行归并截面数据归并可以用来计算资产组合的收益率。包含种证券的组合的收益率是单个证券收益率的加权平均，即（2.11）其中，rp 表示证券组合的回报；ri 表示第 i 个证券的收益率，wi 表示第 i 个证券在证券组合中所占的比重，且wi=1。,26,百分比收益率的缺陷,前面给出的单期收益率和多期收益率都是百分比收益率，它的含义直观且计算简单，但它存在一些缺点：在金融研究中，我们总是假定证券的收益率（近似）服从正态分布，但如果收益率是按公式（2.
15、2）定义的话，那么收益率的概率密度函数既不会对称也不可能呈现钟形外观。对于一个投资者而言，其最大损失就是他的全部投资，不可能再多，即所谓有限负债。这样，对证券的持有者而言，最坏的情形是证券的价格跌为0，这就意味着单期收益率的变动范围是100%到，这与正态分布的规定不符。尽管我们可以通过选取适当的均值和方差，使单期收益率小于100%的概率变得任意的小，但这个概率不可能为零。因此，百分比收益率序列不会呈正态分布形式，这就复杂化了分布形式。,27,如果假定单期收益率服从正态分布，那么多期收益率就不可能服从正态分布。虽然个正态分布的随机变量的和仍然服从正态分布，但是n个正态分布随机变量的乘积却不服从正
16、态分布。周收益率如果是百分比收益率，那么可以假设它服从正态分布；但如果它是由5个服从正态分布的日收益率的乘积计算得到的，那么它就不能被认为服从正态分布。这就导致了一个悖论。尽管可以认为百分比收益率近似描述了证券价格行为，但其理论性质却难以令人满意。尤其是计算跨期复合收益率时，问题会变得很突出，这的确是一个很大的缺陷。为此，我们引入对数收益率的概念，使收益率具有满意的统计性质，从而有效地应用于金融建模过程中。,28,2.4 对数收益率,公式（2.9）定义了一个k天的真实收益率，下面我们就从该公式来推导一个新的定义年名义收益率。业内人士通常将任一时间期限的收益率通过换算转化为年名义收益率。例如，一
17、个5%的6个月真实收益率通常用10%的年名义收益率表示。显然，由公式（2.9）得到的年真实收益率（10.25%）比年名义收益率（10%）更大。给定名义收益率rn，由公式（2.9）可推导出年真实收益率re的计算公式：（2.12）,29,公式（2.12）中，m是一年内复利的频数。当m 趋于无穷大时，一致收敛到，称之为连续复利，于是当m趋于无穷大时，我们就可以得到年真实收益率为rn表示年名义收益率，有两边取对数，得：（2.13）,30,结合（2.12）和（2.13），可得（2.14）我们将公式（2.14）定义的收益率称为连续复利收益率，也称为对数收益率。把公式（2.13）换成百分比收益率，可得（2.
18、15）公式（2.15）非常重要，它是定义资产收益率的另一种方式。,31,对数收益率的性质,在非常短的时间段里，百分比收益率和对数收益率看上去相等，但是，对数收益率有百分比收益率所不具备的性质。对数收益率的取值范围扩展到整个实数域，不会违背有限负债原则。事实上，证券价格的取值范围是从0到，因此如果给定Pt-1，则Pt/Pt-1的变化范围是0到。因此结论1：对数收益率更适合于对证券的行为进行建模,32,公式（2.9）给出了多期复合收益率的定义（2.16）结论2：多期对数收益率是单期对数收益率的和。通过对数变换，乘法运算就转换成加法运算了，这就使得计算更为简单。如果单期的对数收益率rt，rt+1，r
19、t-k+1服从正态分布，那么多期的对数收益率rt(k)也是服从正态分布的。由于推导时间序列之和的性质比推导时间序列之积的性质要容易得多，所以对数收益率的定义使收益率的统计建模变得更为简单。采用对数收益率形式还有一些其它的原因。比如，所谓的“西格尔悖论”（Siegels paradox），交叉汇率，等等，我们在这里就不一一列出了。,33,2.5 预期收益率,计算证券的收益率是为选择投资对象提供一个重要依据。但是，由于市场是不断变化的，各种证券的收益率在不同时期是不一致的，因此在投资者做出证券投资的决策之前，还要对各种证券的未来收益做出预测，即要计算各种证券的预期收益率。,34,2.5.1 预期收
20、益率的定义,预期收益率是证券各种可能的收益率与其相应概率的加权平均值，计算公式为：（2.17）其中，N是某个证券可能产生的收益率的个数，ri 是该证券可能产生的收益率，hi 是产生ri 的概率，满足在现实社会中，我们并不能看到证券收益率的潜在概率，因此必须通过其它方式来度量证券的预期收益率。,35,例3：某证券的收益率及其发生的概率如下表由公式（2.17），我们可以求得这种证券的预期收益率为,36,预期收益率的估计,Markowitz及大多数金融研究者是以最近时期内收益率的样本均值：来估计预期收益率的，它假定收益率的概率不变。用这种方法得到的估计值较为粗略，对收益率的变动灵敏度几乎为0，不能反
21、映证券的真正未来收益状况。有鉴于此，为了弥补这些不足之处，我们可以采用时间序列的一些预测模型来度量证券的预期收益率。先将证券收益率的历史数据按照时间的顺序排列成时间序列rt，然后分析它随时间的变化趋势，外推收益率的未来值预期收益率,37,2.5.2 移动平均模型,当收益率序列由于受周期变动和不规则变动的影响，起伏较大，不易显示发展趋势时，可以采用移动平均模型来度量预期收益率。移动平均模型有简单移动模型、加权移动平均模型等。用简单移动平均模型度量证券预期收益率的模型为：（2.18）其中，为 的估计值，N为移动平均的项数，T为当前时刻，即产生最后一个历史收益率的时刻。,38,公式（2.18）表明当
22、时间t向前移动一个时期，就增加一个新近数据，去掉一个远期数据，得到一个新的平均数。由于不断地“吐故纳新”，逐期向前移动，所以称为移动平均法。由模型（2.18）的第一个公式，我们可以得到它的递推公式。（2.19）利用递推公式（2.19）可以大大减少计算量。,39,在模型（2.18）或公式（2.19）中，移动平均的项数应该取多少呢？如果N较大，则收益率序列的拟合数据的波动就较小，但对收益率真实的变化趋势反映也较迟钝。反之，若N较小，则对收益率的真实变化趋势反映就较灵敏，但这时收益率序列的拟合数据的波动也就较大，容易把随机干扰作为趋势反映出来。因此，N的选择甚为重要，N取多大，应该根据具体情况做出抉
23、择。在实用上，一个有效的方法是取几个N进行试算，比较它们的平均绝对误差：（2.20）谁的平均绝对误差小，就选择谁。,40,简单移动平均模型只适合做短期预测，而且是证券收益率的发展趋势变化不大的情况。如果证券收益率的发展趋势存在其它的变化，采用简单移动平均模型就会产生较大的偏差和滞后。在简单移动平均模型中，每期数据在平均中的作用是等同的。但是，每期数据所包含的信息量并不一样，近期数据包含着更多关于未来情况的信息。把各期数据等同看待是不尽合理的，应该考虑各期数据的重要性，对近期数据给予较大的权重，这就是加权移动平均模型的基本思想。,41,加权移动平均模型,用加权移动平均模型度量证券预期收益率的公式
24、为：（2.21）其中，N为移动平均的项数，T为当前时刻，即产生最后一个历史收益率的时刻，wt为rt的权重，它体现了相应的r 在加权平均数中的重要性，wt的选择同样具有一定的经验性。一般的原则是：近期数据权重大，远期数据权重小。至于大到什么程度和小到什么程度，完全靠投资者对证券的收益率序列作全面的了解和分析而定。,42,2.5.3 指数平滑模型,前面介绍的移动平均模型存在两个不足之处：存贮数据量较大；对最近的N期数据等权看待，而对t-N期以前的数据则完全不考虑，这往往不符合实际情况。指数平滑模型改进了这两个缺点，它既不需要存贮很多历史数据，又考虑各期数据的重要性，且使用了全部历史资料。因此指数平
25、滑模型是移动平滑模型的改进和发展。考虑到新旧收益率数据对证券预期收益率的影响程度不同，用指数平滑模型度量证券预期收益率R的公式为：（2.22）式中：表示加权系数，介于0与1之间。,43,指数平滑的实质,把模型（2.22）的第一个公式依次展开：（2.23）由于，当 时，于是公式（2.23）变为（2.24）,44,由此可见，实际上是 的加权平均，权重分别为,(1-),(1-)2,按几何级数衰减。越近的数据，权重越大，越远的数据，权重越小，且权重之和为：。由于加权系数符合指数规律，又具有平滑数据的功能，因此称为指数平滑。,45,加权系数的选择,在指数平滑模型中，加权系数的的大小规定了在收益率的估计值
26、中新数据和原估计值所占的比重。的值越大，新数据所占的比重就越大，原估计值所占的比重就越小，反之亦然。因此，的值代表了模型对收益率序列数据变化的反应速度。的值是由投资者根据收益率序列的具体性质而决定的，一般情况下，可遵循如下原则：如果收益率序列rt变化波动不大，比较平稳，则应取小一点，比如0.10.3，使模型能包含较长的收益率序列信息；如果收益率序列rt波动较大，则应取大一点，比如0.60.8，使模型的灵敏度高些，以便迅速跟上数据变化,46,在实际操作中，可取几个值进行试算，比较它们的（2.25）谁的MAE小，就以谁为准来计算证券的预期收益率。,47,例5：下表是某证券的收益率及其用指数平滑模型
27、计算的预期收益率,计算结果表明，当=0.7时，MAE最小，故选=0.7，此时该证券的预期收益率是2.85%。,48,2.5.4 自适应过滤模型,自适应过滤模型与移动平均模型、指数平滑模型一样，也是以收益率序列的历史数据进行某种加权平均来计算证券的预期收益率的，它要寻找一组“最佳”的权重。先用一组给定的权重来计算一个估计值，然后计算估计误差，再根据估计误差调整权重以减少误差。这样反复进行，直到找出一组“最佳”权重，使误差减少到最低限度。这种调整权重的过程与通信工程中过滤传输噪声的过程极为接近，故称为自适应过滤模型。,49,计算证券预期收益率的自适应过滤模型为：（2.26）在这里，wi为rt-i+
28、1的调整前的权重，wi为rt-i+1的调整后的权重，N为权重的个数，K为学习常数，et+1为第t+1期的估计误差。,50,模型（2.26）表明：调整后的一组权重应等于旧的一组权重加上误差调整项，这个调整项包括估计误差、原收益率数据和学习常数等三个因素。学习常数的大小决定权重调整的速度。在开始调整权重时，首先要确定权重个数N和学习常数K.一般说来，当收益率序列呈周期变动时，N应取周期的个数。如果收益率序列无明显的周期变动，则可用最高自相关系数的滞后时期数定为N。学习常数K的取值一般可定为1N，当然也可用不同的K值试算，以确定一个能使MAE达到最小的K值。初始权重的确定也很重要，如果无其它依据，可
29、以用1N作初始权重用，即w1=w2=wN=1N。,自适应过滤模型的权重调整,51,自适应过滤模型的优点,技术比较简单，可根据收益率数据的特点来选择权重的个数和学习常数，也可以由计算机自动选定。使用了全部收益率的历史数据来寻找最佳权重，并随数据的变化而不断更新权重，从而提高预期收益率的计算精度。由于自适应过滤模型简单，又可以在计算机上对数据进行处理，因此这种计算预期收益率的模型有很大的吸引力。,52,思考题：,1、如果你现在投资1000元，年利率为10，而且你20年内不动用这笔资金，20年后你将拥有多少钱？2、如果你从1年后开始每年投资100元，连续投资20年，年利率为10，20年后你将拥有多少
30、钱？如果你希望20年后帐面上有5万元，每年你应该存入多少资金？3、你正考虑将资金存入哪家银行，A银行的利率为8，按年计复利；B银行的利率为7.5%，按月计复利；C银行的利率为7%，按日计复利；根据实际年利率，你应该选择哪家银行？4、王明允诺，如果你将资金投入他的公司，6年之内资金将翻一倍。假设利息是按月 支付，并再投资，那么实际年利率是多少？,53,5、假定10年后你需要50000元，你计划从3年后开始，每年将等额的货币存入银行，年利率为11，按年计复利，每年你应该存入多少资金？6、假定一次付清的10000元投资，以下列方式计算复利，终值是多少？7%，按年计息，共10年；7%，按半年计息，共1
31、0年；7%，按月计息，共10年；7%，按日计息，共10年；7%，连续计息，共10年；7、你还有20年就要退休，预计退休后还可以活25年。假如你现在开始储蓄，退休后你每年要取10000元，假定实际利率为8，那么现在你每年必须存多少钱？,54,8、考虑广百股份，其股票当前售价为每股10元，估计接下来两年该股票潜在的年末价格及相应的概率为：第一年股票有30的机会涨至20元，有60的机会涨至12元，有10的机会跌至8元。第二年的情况是：如果第一年股票涨至20元，那么它将有50的机会涨至22元，有50的机会跌至17元；如果第一年股票涨至12元，那么它将有70的机会涨至15元，30的机会跌至10元；如果第一年股票跌至8元，那么它将有40的机会跌至5元，60的机会涨至12元。请计算广百股份在两年后的预期收益率。9、一个证券的收益率有如下的概率分布，计算其预期收益率。,55,10、一个证券的历史收益率序列是：2%,3.4%,3.1%,1.7%,0.5%,2.1%,1.9%,1.2%,2.8%,1.3%,3.7%,4.6%,4.2%,3.5%,3.8%,2.9%,2.6%，分别用移动平均法（N3）、指数平滑法（0.3，0.5，0.7）和自适应过滤法计算该证券的预期收益率，并比较这三种方法的优劣。,
