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1、41 工程实际中的轴向受拉和受压杆42轴向受拉和受压杆的内力 截面法43轴向受拉和受压杆横截面上的应力44轴向拉压杆斜截面上的应力45轴向拉伸或压缩时的变形 胡克定理,第4章 轴向拉压时杆件的应力和变形计算,1.工程实例,41 工程实际中的轴向受拉和受压杆,工程中有大量的受拉和受压的杆件，例如（1）门柱因屋顶重量而受压（图4.1-1）,（2）吊杆因桥身重量而受拉伸（图4.1-2）,图4.1-1,图4.1-2,（3）简化为桁架的桥梁构架,各杆受拉或压（图4.1-3）,图4.1-3,（4）起重机的吊缆,（5）内燃机的推拉杆,图4.1-4,3.外力特征：外力合力作用线与杆轴重合,4.变形特征：杆件受
2、力后，轴线变长，称为拉伸（图4.1-4a）轴线变短，称为压缩（图4.1-4b）,发生拉伸和压缩的前提条件是:（1）杆轴为直线（2）外力合力作用线与杆轴重合,2.杆件特征：杆轴为直线,图4.1-5,5.计算模型,图4.1-5表示拉杆的计算模型，在进行计算时，,杆轴表示实际的杆件,思考题,42轴向受拉和受压杆的内力 截面法,图4.2-1,2.截面法求内力（轴力),1.内力：因外力作用而引起的杆内部质点间相互作用力的改变,一.轴力,c)取杆的左边或右边为脱离体体，由平衡方程得到相同的轴力 N:S X=0,N=P,b)代以约束内力（反力）N,因为此力通过横截面形心（Centroid），且沿杆的轴线方向
3、，故称N为轴力（Axial force）（图4.2-1）。,a）解除内部约束，即用假想横截 面m-m将杆分为两部份,图4.2-2,轴力N的方向以箭头背离横截面者为正，称为拉力（图4.2-1），反之为负，称为压力（图4.2-2）。,3.符号规定：,图4.2-3,二.画轴力图（Axial force diagram）,表示轴力沿杆轴的变化的图形称为轴力图。,拉力表以正号，画在坐标轴正向；压力表以负号。,平行杆轴的直线为坐标x，代表横截面位置；垂直杆的直线为坐标N，表示轴力的大小与正负。,为画轴力图方便，求内力时常设拉力，如求出为正值，则画在坐标轴正向；如求出为负值，则画在坐标轴负向。,图4.2-4
4、,图示多力杆，在自由端A受载荷P，而在截面B受中间载荷2P，试求多力杆的轴力，并画轴力图。,例题1,解：1.分别使用截面法于第一段（图b）和第二段（图c），保留左边为自由体，并假定轴力均为拉力,2.由平衡条件 S X=0 即：N1-P=0 及 N2-P+2P=0，得 N1=P 及 N2=-P。,3.画轴力图，拉力画在坐标轴正向，压力画在坐标轴负向（图4.2-4d）,图4.2-5,图示杆受自重，已知单位杆长L，自重为r，试画轴力图。,例题2,解：（1）由总体平衡方程：得支反R=rL,（2）由截面法无论保留自由体或自由体平衡，均得相同的轴力N：对自由体，可得 SX=0,N=-rx 对自由体，可得
5、SX=0,N=(L-x)-R=-rx,（3）按比例画轴力图。,自由体的选取以方便为原则，用截面法将杆截开后，无论保留杆的哪部份平衡，均可得到相同的结果。支反力属于外力，没有符号设定，其方向可以任设。如计算结果为正，只说明假设方向与实际相同，如计算结果为负，只说明假设方向与实际相反。,要点：,例3 图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、4P、P 的力，方向如图，试画出杆的轴力图。,轴力图,例4 试求图示的各杆1-1、2-2、3-3截面上的轴力，并作轴力图。,1,1,2,3,3,2,(a),1,3,2,(b),1,2,3,F,F,F,F,1,1,2,3,3,2,n,(a),(a1),
6、解(a)由截面法得杆1-1、2-2、3-3截面上的轴力分别为作轴力图,如图(a1)所示。,1,3,2,(b),1,2,3,F,F,F,F,F,P,P,F,(b1),n,(b)由截面法得杆1-1、2-2、3-3截面上的轴力分别为,作轴力图如图(b1)所示。,(c)由截面法得杆1-1、2-2、3-3截面上的轴力分别为,作轴力图如图(c1)所示。,4F,F,3F,n,(c1),q,q L,x,O,例5 图示杆长为L，受分布力 q=kx 作用，方向如图，试画出 杆的轴力图。,L,q(x),43轴向受拉和受压杆横截面上的应力,1.横截面上的应力,如何得出拉杆正应力的计算公式？因为应力组成内力，所以首先要
7、借助如下三个静力学方程：,杆的横截面上有无限多个微面dA。每一微面dA上的正应力 均为未知量,因此有无限多个未知量。然而目前只有三个静力学方程，顾应力分布的性质是静不定的。需要建立补充方程。因为变形与应力密切相关，于是可首先观察杆件表面的变形规律，进而对内部的变形作出假设，得出正应力均匀分布的结论。,图4.31,判断杆在外力作用下是否会破坏，不但要知道内力大小，还要知道内力在横截面上的分布规律和分布内力的集度。内力集度（应力）的最大值是判断杆是否破坏的重要因素。,平面假设 研究一根均匀材料的受拉杆件,为了看清其变形规律，可用一根橡皮条演示。拉伸前在橡皮条上沿轴向和横向划出网格线（图4.3-2）
8、，其拉伸过程及拉伸后形状见图动画。,图4.32,a）实验观察：横向网格线保持直线，只有相对移动。,b）假设：根据表面变形情况，可以由表及里的做出假设，即横截面间只有 相对移动，相邻横截面间纵线伸长相同，横截面保持平面，此假 设称为平面假设,c）推论：横截面上正应力均匀分布，其数学表达式为：,应力公式及其适用范围 由于横截面上的正应力是均匀分布的,故:,得,4.3-4,公式4.3-4即为拉压杆横截面的正应力公式,公式4.3-4的适用范围：,1）等直杆2）均匀材料3）轴向加载 4）杆上距力作用点较远处,应力集中,圣维南原理,2.应力集中的概念,在局部区域应力突然增大的现象，称为应力集中。,横截面上
9、的最大应力max与平均应力m 的比值称为应力集中系数，以表示。,3.圣维南原理,实践证明：杆件在加力点附近，应力分布十分复杂，很大程度上受到加力方式的影响，所以公式（4.3-4）不能使用，除非所加的外力是分布力，而且是均匀分布的。如图压杆，其附近的横截面1-1和2-2，应力是非均匀分布的，但是，距离外力作用稍远的横截面3-3，应力很快趋于均匀（图4.3-4b），公式（4.3-4）即可使用，其影响范围约等于截面高度h。以上概念称之为圣维南原理（Saint_Venants Principle）。需要说明的是，在材料力学中，一般假定外力均匀地施加在作用处，所以公式（4.3-4）对整个杆件都适用。,图
10、4.3-4 圣维南原理,？,思考题,（1）图示的曲杆，问公式（4.3-4）是否适用？,（2）图示杆由钢的和铝牢固粘接 而成，问公式（4.3-4）是否适用？,（3）图示有凹槽的杆，问公式（4.3-4）对凹槽段是否适用？,44轴向拉压杆斜截面上的应力,前面分析了拉压杆横截面上的正应力，由平面假设可知，此应力均匀分布。为了分析构件的破坏规律以建立更为完善的强度理论，需要研究更为一般的情况，即分析直杆任一斜截面上的应力。,图4.4-1（a）所示拉杆，仿照分析横截面上应力均匀分布的过程，同样可以得出任一斜截面上的应力 也是均匀分布的结论（图4.4-1b）。一般来说，可分解为垂直于斜截面的正应力 和平行于
11、斜截面的剪应力（图4.4-1c）,图4.4-1,图4.4-2,1）采用截面法由平衡方程：Na=P,则：,Aa：斜截面面积；Na：斜截面上内力。,由几何关系：,代入上式，得：,斜截面上全应力：,式中0是横截面上得正应力,图4.4-3,Pa,反映：通过构件上一点不同截面上应力变化情况。,当=90时，,当=0,90时，,当=0时，,当=45时，,图4.4-3,Pa,2）剪应力的符号规定:使脱离体顺时针转向为正;使脱离体逆时针转向为负;,1.概述,4-5 轴向拉伸或压缩时的变形,研究直杆的轴向变形，目的有：（1）分析杆件的拉压刚度问题。以限制其变形或位移不得超过规定的数值，即：。为变形或位移的允许值，
12、它由设计要求而定。（2）为解决静不定问题准备必要的知识。因为静不定问题必须借助于结构的变形协调关系才能求出全部未知力,2.纵向变形与横向变形,图4.5-1,图4.5-1所示的拉杆,变形前长为L,直径为d；变形后长为L，直径为d，定义如下符号：,2）横向变形,纵向应变和横向应变都是正应变（Normal Strain），仅度量方向不同，前者沿轴力方向，后者垂直于轴力方向。,纵向应变（Longitudinal Strain）,横向应变（Transverse Strain）,1）纵向变形,3.虎克定律和泊松比,实验表明：当应力小于比例极限时，应力与应变成正比。这就是虎克定律（Hookes Law）。,
13、其中 E-弹性模量或杨氏模量（Youngs modulus），量纲是力/长度2，国际单位制中用GPa表示，GPa=103MPa=109Pa,实验表明：当应力小于比例极限时，横向应变与纵向应变成正比。,比例常数 称 为泊松比。弹性模量 E与泊松比 都是材料的弹性常数，对于各向同性材料，E和 之值均与方向无关。,4.5-3,4.5-4,如用N 代表杆中轴力，A 代表杆的截面面积，并将式（4.5-1）和式（4.5-3）联合，则有,上式为虎克定律的又一表达式。它表明杆的轴向变形与轴力和杆长成正比，而与乘积EA成反比，EA称为杆截面的抗拉压刚度。显然，在一定的轴向载荷下，截面刚度愈大，轴向变形愈小。,4
14、.计算多力杆变形的方法,（1）变形累加法（method of Deformation Accumulation）根据各段的轴力，先分段计算变形，然后再求代数和（设定伸长为正，缩短为负）。如图4.5-2的杆同时受到P1和P2的作用，试求总变形。,第一段：,图4.5-2,第二段：,伸长,伸长,总变形：,伸长,（2）叠加法（Superposition method）如图4.5-2所示的杆件，现分别计算P1和P2单个作用时杆的轴向变形，然后叠加（图4.5-3a,b）。,在2P的作用下：,图4.5-3,在P的作用下：,缩短,总变形：,伸长,伸长,若干载荷同时作用时产生的变形，等于单个载荷分别作用时产生的
15、变形之和，这就是叠加原理。只有当因变量与自变量成线性关系时，叠加原理才成立。由于 本课程主要研究的问题是属于线弹性问题，即杆的内力、应力及变形均与外载荷成线性关系，通常均可使用叠加原理进行分析计算，此方法称为叠加法。,例题1,图示空心圆管，在轴力P作用下，测得纵向应变为,已知材料的弹性模量和泊松比，试求圆管截面面积以及壁厚t和外径D的改变量。,解：（1）用应力公式和虎克定律：,则,(2)壁厚方向的改变（即横向应变）为,图4.5-4,（3）外径改变量可由周向应变（即横向应变），求得：,图示杆受均布载荷p，试求杆的变形。,例题2,解：由于每一截面的轴力均不相同，故将杆件分为无限多个无限短的杆元，计
16、算每一杆元变形，然后利用定积分法确定杆件的总伸长。,轴力,杆元的伸长,图4.5-5,总伸长,切线代圆弧方法-切线法,附:桁架的节点位移,桁架变形通常用节点的位移表示，我们以图4.5-6a所示的桁架为例，介绍用切线代圆弧的方法求节点位移。,解：（1）绘制受力图（图4.5-6b），求出各杆轴力（2）计算各杆变形（3）绘制变形图（想一想变形后的节点A应在何处？）,图4.5-6,A就是变形后节点A的新位置。事实上，由于A位置的确定是一个复杂的非线性问题，加之杆件变形很小，只是原长的千分之几，所以工程上往往不需要计算上述精确位置，而是采用切线替代圆弧 的方法，以寻求近似位置，称为切线法。从A1和A2分别
17、作圆弧的切线（或原杆的垂线）交于A点，此点被认为是变形后节点A的位置,（4）确定节点的位移为计算节点位移，在变形图上作辅助线，由几何关系得节点A的位移分量：,图4.5-6,水平位移,垂直位移,小变形是一个重要概念，在小变形条件下，通常可按结构原几何尺寸计算支反力和内力，并可采用上述切线代圆弧的方法确定简单桁架节点位移和杆的转角，使得问题的分析大为简化。,（5）确定杆BA和杆CA的转角 杆BA的转角；杆CA的转角,例题1 设横梁ABCD为刚梁，横截面面积为 76.36mm 的钢索绕过无摩擦的定滑轮。设 P=20kN，试求刚索的应力和 C点的垂直位移。设刚索的 E=177GPa。,2)钢索的应力和伸长分别为：,解：1）求钢索内力：以ABCD为对象,3）变形图如左图,C点的垂直位移为：,作业：,轴力图:4-1、4-2正应力：4-3、4-4剪应力：4-5变形：4-64-11,
