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1、指數與對數的積分,6.3,6.3 指數與對數的積分,學習目標利用指數律求不定積分。利用對數律求不定積分。,P.6-20,第六章積分與其應用,使用指數律,指數函數微分法則都有其對應的積分法則。,P.6-20,第六章積分與其應用,範例 1指數函數的積分,求下列不定積分。a.2ex dx b.2e2x dx c.(ex+x)dx,P.6-20,第六章積分與其應用,範例 1指數函數的積分（解）,P.6-20,第六章積分與其應用,範例 1指數函數的積分（解）,最後，對這些積分結果微分即可驗算答案。例如，(a)小題。,P.6-20,第六章積分與其應用,檢查站 1,求下列不定積分。a.3ex dx b.5e
2、5x dx c.(ex x)dx,P.6-20,第六章積分與其應用,範例 2指數函數的積分,求 e3x+1 dx。,P.6-20,第六章積分與其應用,範例 2指數函數的積分（解）,令 u 3x 1，則 du/dx 3，再將積分函數同時乘除以 3。,P.6-21,第六章積分與其應用,檢查站 2,求 e2x+3 dx。,P.6-21,第六章積分與其應用,範例 3指數函數的積分,求。,P.6-21,第六章積分與其應用,範例 3指數函數的積分（解）,令 u x2，則 du/dx 2x，再將積分函數同乘除以 2。,P.6-21,第六章積分與其應用,代數技巧,範例 3 的計算過程可參考本章代數複習範例 1
3、(d)。,P.6-21,第六章積分與其應用,求。,檢查站 3,P.6-21,第六章積分與其應用,使用指數律,切記在積分時不可在積分函數中引入變數。譬如，計算 時，同乘除以 2x 之後再將 1/(2x)提出積分符號外是錯的。亦即,P.6-21,第六章積分與其應用,6.1 與 6.2 節中，當 n=1 時，積分的乘冪律為利用積分的對數律，就可對 x1 dx 和 u1 du 形式的函數積分。,使用對數律,P.6-216-22,第六章積分與其應用,使用對數律,這些法則可以藉由微分來驗算。譬如，若要驗證d/dxln|x|=1/x，可用,P.6-22,第六章積分與其應用,學習提示,請注意，在應用對數律時須
4、注意積分函數須加絕對值。當 u 或 x 不為負數的特例下，則可省略絕對值的符號。譬如在範例4(b)中，不須將反導數寫成 ln|x2|C，因為 x2 不可能為負數。,P.6-22,第六章積分與其應用,範例 4對數函數的積分,求下列不定積分。,P.6-22,第六章積分與其應用,範例 4對數函數的積分（解）,P.6-22,第六章積分與其應用,檢查站 4,求下列不定積分。,P.6-22,第六章積分與其應用,範例 5應用對數律,求。,P.6-22,第六章積分與其應用,範例 5應用對數律（解）,令 u 2x 1，則 du/dx 2，再將積分函數同時乘除以 2。,P.6-23,第六章積分與其應用,檢查站 5
5、,求。,P.6-23,第六章積分與其應用,範例 6應用對數律,求。,P.6-23,第六章積分與其應用,範例 6應用對數律（解）,令 u x2 1，則 du/dx 2x，再由積分函數提出 3。,P.6-23,第六章積分與其應用,檢查站 6,求。,P.6-23,第六章積分與其應用,使用對數律,使用對數律積分的積分函數形式常常不易看出。譬如在有理函數中，若其分子次方大於或等於分母次方，則須利用長除法來改寫積分函數，請看下面的例子下個例子整理了幾個特殊狀況，此時最好先改寫積分函數，以利辨認反導數。,P.6-23,第六章積分與其應用,代數技巧,上面積分的計算過程可參考本章代數複習範例 2(c)。,P.6
6、-23,第六章積分與其應用,範例 7積分前先改寫,求下列不定積分。,P.6-23,第六章積分與其應用,範例 7積分前先改寫（解）,a.首先改寫積分函數成為三個有理式的和。,P.6-24,第六章積分與其應用,範例 7積分前先改寫（解）,b.先同乘除以 ex 來改寫積分函數。,P.6-24,第六章積分與其應用,代數技巧,範例 7 的計算過程可參考本章代數複習範例 2(a)至2(b)。,P.6-23,第六章積分與其應用,檢查站 7,求下列不定積分。,P.6-24,第六章積分與其應用,總結（6.3節）,寫出基本指數律，參考範例 1。寫出廣義指數律，參考範例 2 和 3。寫出基本對數律，參考範例 4。寫出廣義指對數律，參考範例 5 和 6。,P.6-24,第六章積分與其應用,
