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1、指数函数与对数函数的关系,授课人：颜伟,指导：郭金梅,三维目标：1、知识目标：使学生能正确比较指数函数和对数函数性质关系，能以它们为例对反函数进行解释和直观理解。2、能力目标：从观察图像到引出概念，培养学生观察、分析、探究问题的能力，数形结合思想的运用能力，提高由特殊到一般的归纳概括能力。3、德育目标：引导学生发现指数函数与对数函数的对立统一关系，并欣赏数形和谐的对称美。,重点与难点：学习重点：对指数函数和对数函数性质关系的比较，及对反函数概念的理解。学习难点：反函数的概念。,问题1：以上图片有一个共同特点，是什么？,一、新课引入（发现对称）：,x,y,o,1 2 3 4 5 6 7 8,-1
2、,-2,-3,3,2,1,结论？,问题2：观察两个对应值表、两组点的坐标、两组点的位置、两个函数图像之间的关系？通过对比你得到什么结论？,表1 y=2x,表2 y=log2x,问题3：关于y=x对称的两个点的坐标有什么关系？,问题4：同底的指数函数与对数函数图像有什么关系？,二、新课讲授（解释对称）：,问题：指数函数与对数函数有何内在联系？,探究：这种关系是否具有一般性？,强调：指数式与对数式互化图像不变，互换引起图像关于直线对称,问题6：第一步变换有没有引起图像变化？为什么？,问题7：第二步变换有没有引起图像变化？为什么？,结论？,指数函数与对数函数之间的这种关系并不是它们所特有的，有大量的
3、函数之间具有这种关系。我们称它们互为反函数。,反函数的定义：当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数互为反函数。函数y=f(x)(xA)的反函数.,三、明确定义：,记：y=f 1(x),（1）反函数的定义域与值域正好是原来函数的值域与定义域。如：不是函数 的反函数，因为前者的值域显然不是后者的定义域。,（3）反函数也是函数，因为他们符合函数的定义。,（2）对任意一个函数y=f(x),不一定总有反函数；只有当确定一个函数的映射是一一映射时，这个函数才存在反函数。如果有反函数，那么原来函数也是反函数的反函数，
4、即他们互为反函数,概念深化：,问题8：如何求函数的反函数？,求反函数的方法步骤：1）求出原函数的值域；即求出反函数的定义域；2）由 y=f(x)反解出 x=f 1(y)；即把 x 用 y 表 示出来；3）将 x=f 1(y)改写成 y=f 1(x)，并写出反函数的定义域；即对调 x=f 1(y)中的 x、y.,例1 求下列函数的反函数：,首先,将y=(x)看作方程,解出x=-1(y)(yC);,其次，将x,y互换,得到y=-1(x)(xC).,最后,指出反函数的定义域,结论?,四、巩固训练，加深概念：,同底的指数函数与对数函数互为反函数,(),A.y轴对称 B.x轴对称C.原点对称 D.直线y
5、x对称,例2函数y3x的图象与函数ylog3x的图象关于,D,结论?,函数 y=f(x)的图象与它的反函数 y=f 1(x)的图象关于直线 y=x 对称。,例3 已知函数.（求证函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称.,因f(x)的反函数与原函数相同,故结论成立.,证明：,探究：如何证明一个函数的图象本身关于直线y=x对称？,结论?,证明一个函数的图象关于直线y=x对称，只需说明它的反函数与原函数相同,例4函数f(x)loga(x1)(a0且a1)的反函数的图象经过点(1,4)，求a的值.,若函数yf(x)的图象经过点(a,b)，则其反函数的图象经过点(b,a).,结论？,解:依题意,得,若
6、函数y=f（x）存在反函数，且f-1（a）=b，则f（b）=a,结论？,互为反函数的两个函数定义域、值域互换。,练习：求下列函数的反函数：,问题9：练习中函数与函数,比较，有何异同？,结论？,只有一一映射的函数才有反函数,例5：不查表，不使用计算器求值，比较log23与 21.5的大小。,图象法,五、互为反函数的函数图象增减速度比较：,问题10：两个函数图象在第一象限增长速度有何关系？,归纳小结：同底的指数函数和对数函数性质关系对照表：,指数,指数,指数,指数,对数,对数,对数,对数,2.定义域、值域互换,3.横、纵坐标互换,4.单调性不变,5.增减速度一快一慢,注意：同底的指数函数和对数函数性质关系，也体现了所有互为反函数的两函数间性质关系,布置作业：,1.教材第106页练习A第2题；第107页练习B第1、2题；2.教材第118页“思考与交流”的第6题,课后思考：,1.为什么同底的指数函数和对数函数单调性一致？2.为什么同底的指数函数和对数函数增减速度一快一慢？,提示：运用函数单调性定义和反函数定义解释,
