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1、控制工程基础,第6章 控制系统的频率特性,本章主要内容：（1）研究控制系统的频率特性及其表示方法，即研究控制系统的频率响应。（2）频率特性的极坐标图（Nyquist图）。（3）频率特性的对数坐标图（Bode图）。,6.1 频率特性的基本概念,时域瞬态响应法是分析控制系统的直接方法。时域瞬态响应法的优点：直观。时域瞬态响应法的缺点：分析高阶系统非常繁琐。频率响应是时间响应的特例，是控制系统对正弦输入信号的稳态响应。频率特性是系统对不同频率正弦输入信号的响应特性。应用频率特性研究控制系统的经典方法称为频域分析法。频率特性分析法（频域法）是利用系统的频率特性来分析系统性能的方法，研究的问题仍然是系统
2、的稳定性、快速性和准确性等，是工程上广泛采用的控制系统分析和综合的方法。频率特性分析法是一种图解的分析方法。不必直接求解系统输出的时域表达式，可以间接地运用系统的开环频率特性去分析闭环系统的响应性能，不需要求解系统的闭环特征根。系统的频域指标和时域指标之间存在着对应关系。频率特性分析中大量使用简洁的曲线、图表及经验公式，使得控制系统的分析十分方便和直观。,时域,系统常用的数学模型,频率特性的特点,（1）频率特性具有明确的物理意义，它可以用实验的方法来确定，这对于难以列写微分方程式的元部件或系统来说，具有重要的实际意义。（2）由于频率响应法主要通过开环频率特性的图形对系统进行分析，因而具有形象直
3、观和计算量少的特点。（3）频率响应法不仅适用于线性定常系统，而且还适用于传递函数不是有理数的纯滞后系统和部分非线性系统的分析。,频率特性又称频率响应，它是系统（或元件）对不同频率正弦输入信号的稳态响应特性。,注意：稳态输出量与输入量的频率相同，仅振幅和相位不同。,引例：如图所示的阻容滤波RC电路，求其频率特性。已知该系统的传递函数为,设输入信号为正弦信号,其拉普拉斯变换为,6.1.1 引例,则系统输出信号的拉普拉斯变换为,作拉普拉斯反变换，得系统的输出信号为,RC电路的传递函数：,将s=j代入G(s)，可得,式中：,系统输出信号的稳态分量为,式中:X输入信号的振幅;,输入信号的角频率。,一般线
4、性定常系统,设输入信号为正弦函数,即:,x(t)=Xsint,其拉氏变换为：,一般情况下,传递函数可以写成如下形式:,6.1.2 频率特性的定义,系统的输出为,稳定系统,待定系数,稳态输出,式中的待定系数 可按求留数的方法求得：,G(j)是一个复数,它可以表示为:,式中:,将待定系数 代入式 中,有:,式中:稳态输出的幅值,是的函数。,线性定常系统对正弦输入信号Xsint的稳态输出Ysin(t+),仍是一个正弦信号。其特点是：,振幅Y和相位都是输入信号频率的函数。对于确定的值,振幅Y和相位都是常量。,输入、输出关系用函数图和向量图表示如下:,频率特性的定义,幅频特性,相频特性,频率特性,频率特
5、性的求取方法,（1）根据定义求取已知系统的微分方程，把正弦输入函数代入，求出其稳态解，取输出稳态分量与输入正弦量的复数比即可得到。,（2）根据传递函数求取已知系统的传递函数，即用s=j代入系统的传递函数，即可得到。,频率特性等于系统输出和输入的傅里叶变换之比。,频率特性的实验求取,（3）通过实验方法测量,6.1.3 频率特性的性质,（1）与传递函数一样，频率特性也是一种数学模型。它描述了系统的内在特性，与外界因素无关。当系统结构参数给定，则频率特性也完全确定。,（2）频率特性是一种稳态响应。系统稳定的前提下求得的，不稳定系统则无法直接观察到稳态响应。从理论上讲，系统动态过程的稳态分量总可以分离
6、出来，而且其规律并不依赖于系统的稳定性。因此，我们仍可以用频率特性来分析系统的稳定性、动态性能、稳态性能等。,（3）系统的稳态输出量与输入量具有相同的频率。当频率改变，则输出、输入量的幅值之比A()和相位移()随之改变。这是系统中的储能元件引起的。,系统模型之间的关系,6.1.4 频率特性的表示方法,(1)频率特性的数学表达式,（直角坐标表示法）,（极坐标表示法）,(2)频率特性的几何表示法,对数频率特性曲线：Bode图，对数坐标图,横坐标为频率，采用对数分度。分作两张图，纵坐标分别为幅值和相位，采用线性分度。幅值的单位采用分贝（dB）来表示。相位的单位采用度或弧度来表示。,幅相频率特性曲线：
7、Nyquist图，极坐标图,对数幅相特性曲线：Nichols图，对数幅相图，复合坐标图,横坐标为实频特性。纵坐标为虚频特性。,横坐标为相频特性，采用度或弧度来表示。纵坐标为幅频特性，采用分贝（dB）来表示。,例：一般系统的传递函数和频率特性,由上式可知，一般系统的频率特性是由典型环节的频率特性组合而成。,幅频特性=组成系统的各典型环节的幅频特性之乘积。,相频特性=组成系统的各典型环节的相频特性之代数和。,控制工程基础,第6章 控制系统的频率特性6.2 频率特性的极坐标图（Nyquist图）,极坐标图（Polar Plots）当从0变化时，根据频率特性的极坐标公式G(j)=A()()，可以计算出
8、每一个值所对应的幅值A()和相位()，将其画在极坐标平面图上，就得到频率特性的极坐标图（Nyquist图）。,RC 网络的极坐标图,6.2.1 极坐标图概述,极坐标图（Nyquist图）是反映频率特性的几何表示。当从0逐渐增长至+时，频率特性G(j)作为一个矢量，其矢量端点在复平面相对应的轨迹就是频率特性的极坐标图。,乃奎斯特（H.Nyquist)18891976美国Bell实验室著名科学家,极坐标图也称为奈奎斯特图（Nyquist Plots）或奈奎斯特曲线，也称为幅相频率特性曲线。,6.2.2 典型环节的极坐标图,如果系统如右图所示,则系统开环传递函数G(s)H(s)的一般表达式为,将其分
9、子、分母分解因式，则常见有以下七种典型环节：,（1）比例环节,比例环节的极坐标图,所有元部件和系统都包含这种环节，如减速器、放大器、液压放大器等。,K=1;G=tf(K,1);nyquist(G,*);axis(-2,2,-2,2);,采用MATLAB绘制比例环节的极坐标图：,（2）积分环节,积分环节的极坐标图,积分环节的极坐标图为负虚轴。频率从0时，特性曲线由虚轴的-趋向原点。,G(j0)=-90G(j+)=0-90,G=tf(0,1,1,0);nyquist(G);axis(-2,2,-2,2);,采用MATLAB绘制积分环节的极坐标图：,（3）微分环节,微分环节的极坐标图,微分环节的极坐
10、标图为正虚轴。频率从0时，特性曲线由虚轴的原点趋向+。,G(j0)=090G(j+)=+90,G=tf(1,0,0,1);nyquist(G);axis(-2,2,-2,2);,采用MATLAB绘制微分环节的极坐标图：,（4）一阶惯性环节,一阶惯性环节的极坐标图,一阶惯性环节的实频特性与虚频特性满足下列圆的方程，圆心在（0.5，0），半径为0.5：,G(j0)=10G(j1/T)=0.707-45G(j+)=0-90,一阶惯性环节频率特性的极坐标图是一个圆，对称于实轴。证明如下：,整理得：,一阶惯性环节的极坐标图,T=1;G=tf(0,1,T,1);nyquist(G);axis(-2,2,-
11、2,2);,采用MATLAB绘制一阶惯性环节的极坐标图：,一阶惯性环节G(j),0,ReG(j),ImG(j),1,=0,=,（5）一阶微分环节,一阶微分环节的极坐标图,tau=1;G=tf(tau,1,0,1);nyquist(G);axis(-2,2,-2,2);,采用MATLAB绘制一阶微分环节的极坐标图：,（6）二阶振荡环节,传递函数,频率特性,实频特性,虚频特性,幅频特性,相频特性,相位角0-180，表示与负虚轴有交点。,G(j0)=10G(j+)=0-180,二阶振荡环节的极坐标图,令U()=0，或令()=-90，可得与负虚轴的交点为：,由图可见，无论是欠阻尼还是过阻尼系统，其图形
12、的基本形状是相同的。,当过阻尼时，阻尼系数越大，其图形越接近圆。,T=1;Zeta1=0.3;G1=tf(0,0,1,T*T,2*Zeta1*T,1);Zeta2=0.4;G2=tf(0,0,1,T*T,2*Zeta2*T,1);Zeta3=0.5;G3=tf(0,0,1,T*T,2*Zeta3*T,1);Zeta4=0.6;G4=tf(0,0,1,T*T,2*Zeta4*T,1);Zeta5=0.7;G5=tf(0,0,1,T*T,2*Zeta5*T,1);Zeta6=0.8;G6=tf(0,0,1,T*T,2*Zeta6*T,1);Zeta7=0.9;G7=tf(0,0,1,T*T,2*Z
13、eta7*T,1);Zeta8=1.0;G8=tf(0,0,1,T*T,2*Zeta8*T,1);Zeta9=2.0;G9=tf(0,0,1,T*T,2*Zeta9*T,1);nyquist(G1,G2,G3,G4,G5,G6,G7,G8,G9);axis(-2,2,-2,2);,采用MATLAB绘制二阶振荡环节的极坐标图：,下面讨论二阶振荡环节的幅频特性可能出现的极值问题：,二阶振荡环节的传递函数,二阶振荡环节的幅频特性,令,得,化简后为,当,时，即将=r代入上式，,可以解得二阶振荡环节的幅频特性出现极值时的频率值r。,所以,因为,此频率值r才是非负数。将此出现极值时的频率值r代入二阶振荡环
14、节的幅频特性表达式，可得幅频特性的极值Mr为,此时要求,，即当,时，,又因为A(0)=1，A(+)=0，所以Mr是极大值。,因为,所以,定义：将使得二阶振荡环节的幅频特性出现极大值Mr时的频率值r称为谐振频率，并将此极大值Mr称为谐振峰值。谐振（resonance）也称为共振。,讨论：（1）随着阻尼比减小，谐振峰值Mr增大，谐振频率r趋近于无阻尼自然振荡固有频率n。（2）当阻尼比=0时，r=n，Mr，此时二阶振荡环节处于等幅振荡状态，为临界稳定状态。（3）谐振峰值Mr越大，表示系统的阻尼比越小，系统的相对稳定性就越差，单位阶跃响应的最大超调量%也越大。,0,ReG(j),ImG(j),1,A,
15、B,A点：谐振点,B点：与负虚轴的交点,二阶振荡环节G(j),二阶振荡环节的谐振峰值Mr与阻尼比的关系：,二阶振荡环节的幅频特性,二阶振荡环节的幅频特性,定义：控制系统的频域指标（1）谐振峰值Mr：是闭环系统幅频特性的最大值Mmax。出现谐振峰值，表明阻尼比0.707。通常，Mr越大，系统的最大超调量%也越大。（2）谐振频率r：闭环系统幅频特性出现谐振峰值时的频率。（3）零频幅值比M(0)：当=0时闭环幅频特性的数值，其大小反映了系统的稳态精度。（4）频带宽度和截止频率b：对于闭环系统频率特性幅值M()，从其初始值M(0)衰减到0.707M(0)时的频率值，称为频带宽度（通频带宽）。该频率值也
16、称为截止频率b，表示系统的幅值衰减到半功率点。频带较宽，表明闭环系统能够通过较高频率的输入信号，系统跟踪信号的能力较强，响应迅速，调节时间短，但对于高频干扰信号的过滤能力就相对较差。,（7）二阶微分环节,幅频特性,相频特性,传递函数,频率特性,二阶微分环节的极坐标图,tau=1;zeta=0.5;num=tau*tau,2*zeta*tau,1;den=0,0,1;G=tf(num,den);nyquist(G);axis(-2,2,-2,2);,采用MATLAB绘制二阶微分环节的极坐标图：,（8）延迟环节,延迟环节的极坐标图是一个圆心在原点，半径为1的圆。,延迟环节的极坐标图,G(j0)=1
17、0G(j+)=1-,相位角0-，表示与实轴和虚轴有无穷多交点。,tau=1;N=5;num,den=pade(tau,N);G=tf(num,den);nyquist(G);axis(-2,2,-2,2);,采用MATLAB绘制延迟环节的极坐标图：,6.2.3 一般系统的极坐标图,Nyquist图的一般作图方法：（1）写出频率特性G(j)的幅频特性|G(j)|和相频特性G(j)表达式；（2）分别求出=0和+时的频率特性G(j)；（3）求Nyquist图与实轴的交点，可以利用ImG(j)=0的关系式求出，也可以利用关系式G(j)=n180求出（其中n为整数）；（4）求Nyquist图与虚轴的交点
18、，可以利用ReG(j)=0的关系式求出，也可以利用关系式G(j)=n90求出（其中n为奇数）；（5）必要时画出Nyquist图的中间几点；（6）根据G(j)的变化趋势，画出Nyquist图的大致曲线。,例：绘制频率特性的Nyquist图,G(j0)=10G(j+)=0-,乃氏图与实轴和虚轴有无穷多交点。随着频率的增加大，曲线距离原点越来越近，相角越来越负。,tau=1;N=5;num,den=pade(tau,N);G1=tf(num,den);T=1;G2=tf(0,1,T,1);G3=series(G1,G2);w=0,logspace(-2,5,1000);nyquist(G3,w);a
19、xis(-2,2,-2,2);,采用MATLAB绘制频率特性的极坐标图：,例：绘制频率特性的Nyquist图,G(j0)=+-90G(j+)=0-270,相角范围从-90-270，因此必有与负实轴的交点。,解方程,即,两边取正切，得,所以曲线与负实轴交点的频率为,该交点距原点的距离为,num=1;den1=1,0;den2=1,1;den3=2,1;den=conv(conv(den1,den2),den3);g=tf(num,den);w=0,logspace(-2,5,1000);nyquist(g,w);axis(-1 1-0.2 0.2);,采用MATLAB绘制频率特性的极坐标图：,系
20、统的型次,定义系统的阶次：n阶（Order）系统定义系统的型次：型（Type）系统,系统的开环传递函数G(s)H(s)的一般表达式为,按包含积分环节的个数来分类：当=0时，不包含积分环节，称系统为0型系统；当=1时，包含1个积分环节，称系统为型系统；当=2时，包含2个积分环节，称系统为型系统；,（1）Nyquist图的低频段 0型系统的乃氏图曲线起始于实轴的有限值处，即（K，j0）点。例如：一阶惯性环节和二阶振荡环节。型系统的乃氏图曲线起始于相位角为-90的无穷远处。例如：积分环节。型系统的乃氏图曲线起始于相位角为-180的无穷远处。例如：两个积分环节串联。结论：低频段的频率特性与系统的型数有
21、关。,例：绘制频率特性的Nyquist图,num=1;den1=1,1;g1=tf(num,den1);den2=1,1,0;g2=tf(num,den2);den3=1,1,0,0;g3=tf(num,den3);w=0,logspace(-2,5,1000);nyquist(g1,g2,g3,w);axis(-2 2-2 2);,（2）Nyquist图的高频段在一般情况下，机电系统频率特性分母的阶次大于或等于分子的阶次。当频率特性分母的阶次大于分子的阶次，即nm时，当时，乃氏图曲线终止于坐标原点处。例如：一阶惯性环节和二阶振荡环节。当频率特性分母的阶次等于分子的阶次，即n=m时，当时，乃氏
22、图曲线终止于坐标实轴上的有限值。见下面的例题。结论：高频段的频率特性与n-m有关。,例：绘制频率特性的Nyquist图（考虑m=n）,tau1=1;T1=2;num1=tau1,1;den1=T1,1;g1=tf(num1,den1);tau2=3;T2=1;num2=tau2,1;den2=T2,1;g2=tf(num2,den2);nyquist(g1,g2);,（3）Nyquist图的负频段令从增长到0，相应得出的乃氏图是与从0增长到+得出的乃氏图以实轴对称的。采用MATLAB绘制乃氏图，可以显示范围：+,结论：在系统频率特性的分母上增加极点（串联积分环节），可以使系统相角滞后。在系统频
23、率特性的分子上增加零点（串联微分环节），可以使系统相角超前。,T=1;Zeta=0.2;num=1;den=T*T,2*Zeta*T,1;g=tf(num,den);nyquist(g);,例：绘制二阶振荡环节的Nyquist图（显示负频段）,例：设系统的频率特性为,解：,试列出实频和虚频特性的表达式。,绘制奈氏图。,当,时，,当,时，,用上述信息可以大致勾勒出奈氏图。,找出几个特殊点（如，与实、虚轴的交点等），可大致勾勒出奈氏图。为了相对准确，可以再算几个点。,下图是用 Matlab工具绘制的奈氏图。,K=1;num=K;den=conv(1,1,5,1);G=tf(num,den);nyq
24、uist(G);grid;,极坐标图小结：（1）极坐标图（Nyquist图）的概念（2）典型环节的极坐标图（Nyquist图）（3）极坐标图（Nyquist图）的一般作图步骤（4）系统的型次，各型次极坐标图（Nyquist图）的特点,6.2.4 极点和零点对极坐标图的影响（略）,习题：P.225：6-2，6-5，6-6(1)(2),控制工程基础,第6章 控制系统的频率特性6.3 频率特性的对数坐标图（Bode图）,引例：已知二阶振荡环节的极坐标图（Nyquist图）如下图所示，是一条以频率为参变量的平面曲线。,因为二阶振荡环节的幅频特性和相频特性分别是频率的一元函数，所以其幅频特性和相频特性可
25、以分别用下面两个图来表示。,对上述两个图的坐标进行对数变换，如下图所示，称为频率特性的对数坐标图。因为此种图示方法由Bode提出，所以又被称为Bode图。,对数坐标图（Logarithmic Plots）对数坐标图是将幅值与频率的关系和相位与频率的关系分别画在两张图上，采用半对数坐标纸绘制，即频率坐标按对数分度，而幅值和相位坐标则分别以线性分度。,对数幅频特性：（单位：分贝弧度/秒）,对数相频特性：（单位：度或弧度弧度/秒）,6.3.1 对数坐标图概述,半对数坐标纸,dec.为decade的缩写：十，十年，十个一组oct.为octave的缩写：八个一组，八度音阶The interval of
26、eight diatonic degrees between two tones,one of which has twice as many vibrations per second as the other.八度音程：两个音程之间有八个音度的间隔，其中一个每秒的振动是另一个的两倍。,伯德（H.W.Bode)19051982美国Bell实验室著名科学家,对数坐标图也称伯德图(Bode Plots)，包括对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线等两条曲线。,只标注的对数值。,用L()简记对数幅频特性，也称L()为增益。用()简记对数相频特性。,=0不可能在横坐标上表示出来；,横坐标上表示的最低频率
27、由所感兴趣的频率范围确定；,关于Bode图的几点说明,Bode图的特点（即工程中采用对数坐标图的优点）：（1）横坐标按频率取对数分度，可以展宽或压缩频带。频率是以10倍频表示的，因此可以清楚的表示出低频段、中频段和高频段的幅频特性和相频特性。低频部分展宽，而高频部分缩小。与对实际控制系统（一般为低频系统）的频率分辨要求吻合。（2）幅频特性取分贝数20LgA()后，使各因子间的乘除法运算转换为加减法运算，而在Bode图上则表示为各因子幅频特性曲线的叠加，大大简化了作图过程，使系统设计和分析变得容易。（3）所有典型环节的频率特性可以用分段直线（渐进线）近似表示。即可以采用由直线段构成的渐近特性（或
28、稍加修正）代替精确的Bode图，使绘图十分简便。（4）将实验所得到的频率特性用对数坐标表示，并用分段直线近似的方法绘制频率特性曲线，可以方便地确定频率特性的函数表达式。（5）在控制系统的设计和调试中，开环放大系数K是最常变化的参数。而K的变化不影响对数幅频特性的形状，只会使幅频特性曲线作上下平移。,补充：分贝的概念decibel n.分贝 abbr.dBA unit used to express relative difference in power or intensity,usually between two acoustic or electric signals,equal to
29、 ten times the common logarithm of the ratio of the two levels.分贝通常表示两个声音信号或电力信号在功率或强度方面的相对差别的单位，相当于两个水平的比率的常用对数的十倍。Bode图中的幅频特性曲线：decibel-log-frequency n.分贝对数(振幅)频率(特性),分贝的定义：对于大于0的正数N（没有量纲的纯数），定义其分贝值n为：n=20lgN（dB）。分贝的物理意义：设有功率P，定义其参考功率为P0，二者的比值记作N=P/P0。因为功率的比值N是一个没有量纲的纯数，所以可以对此比值N取常用对数lgN，并将此lgN的单位
30、定义为“贝（Bel）”，其物理意义表示两个功率值的相对大小。因此，单位“贝（Bel）”是对于功率的相对值的一种度量单位，必需有一个参考功率作比较。,在工程中，由于“贝（Bel）”的单位太大，使用起来不方便，所以取其1/10作为一个单位，即10lgN，称为“分贝（deci-Bel）”，缩写为dB。前缀deci-表示“十分之一”。（这种做法，类似于公里、米的关系。）对于非功率的信号，例如电流信号I，通过电阻R后，所产生的功率为P=I*I*R。设其参考电流信号为I0，则其参考功率为P0=I0*I0*R。代入上述的分贝的定义，有,设电流信号I与其参考电流信号I0的比值为N=I/I0，则其分贝值为n=2
31、0lgN（dB）。,对于声音信号，一般采用声音压强（简称声强）作为描述其强度的物理量。在工程中，定义参考声强为p0=2*10(-5)Pa，将其定义为0dB，作为参考量。用实际声音的声强p与此参考声强p0进行比较，采用分贝的概念所得到的数值，就是实际声音的分贝数。人耳能够分辨的最小分贝数为0.5dB。人耳能够承受的最大分贝数为120dB。在室内大声说话的声音分贝数为6874dB。公共车站等嘈杂环境的声音分贝数为8595dB。分贝（decibel）dB 是以美国发明家亚历山大格雷厄姆贝尔命名的，他因发明电话而闻名于世。因为贝尔的单位太粗略，不能充分用来描述我们对声音的感觉，因此前面加了“分”字，代
32、表十分之一。一贝尔等于十分贝。声学领域中，分贝的定义是声源功率与基准声功率比值的对数乘10的数值。用于形容声音的响度。,考察幅频特性和对数幅频特性：,分贝值为正，表示系统对输入信号有增益作用。,分贝值为零，表示系统对输入信号有复现作用。,分贝值为负，表示系统对输入信号有衰减作用。,例：如果信号的功率衰减一半，称为信号衰减到半功率点，则信号幅值的衰减比例为：则其分贝值为：,6.3.2 典型环节的对数坐标图,（1）比例环节,K=10;G=tf(K,1);bode(G);grid;,采用MATLAB绘制比例环节的Bode图：,（2）积分环节,当有两个积分环节时，斜率为40dB/dec，相位为-180
33、。当有n个积分环节时，斜率为n(20)dB/dec，相位为n(-90)。,G1=tf(1,1,0);G2=tf(1,1,0,0);G3=tf(1,1,0,0,0);G4=tf(1,1,0,0,0,0);w=logspace(-1,1,100);bode(G1,G2,G3,G4,w);grid;,采用MATLAB绘制积分环节的Bode图：,（3）微分环节,传递函数,频率特性,微分环节的Bode图,当有两个微分环节时，斜率为40dB/dec，相位为180。当有n个微分环节时，斜率为n20dB/dec，相位为n90。,G1=tf(1,0,1);G2=tf(1,0,0,1);G3=tf(1,0,0,0
34、,1);G4=tf(1,0,0,0,0,1);w=logspace(-1,1,100);bode(G1,G2,G3,G4,w);grid;,采用MATLAB绘制微分环节的Bode图：,积分环节与微分环节的对比（Bode图）：,微分环节的Bode图,积分环节的Bode图,传递函数,传递函数,（4）一阶惯性环节,低频段：当 时,低频段近似为0dB的水平线，称为低频渐近线。,高频段：当 时,高频段近似斜率为-20dB/dec的直线，称为高频渐近线。,定义转角频率：,用低频段和高频段的两条直线组成的折线近似表示。,一阶惯性环节的Bode图,Bode图误差分析（实际频率特性和渐近线之间的误差）,当 时，
35、误差为：,当 时，误差为：,最大误差发生在 处，为,相频特性的说明：,作图时先用计算器计算几个特殊点：,由图不难看出，相频特性曲线在半对数坐标系中对于(1/T，-45)点是斜对称的，这是对数相频特性的一个特点。当时间常数T变化时，对数幅频特性和对数相频特性的形状都不变，仅仅是根据转角频率1/T的大小整条曲线向左或向右平移即可。当增益改变时，相频特性不变，幅频特性上下平移。,T=1;G=tf(1,T,1);bode(G);grid;,采用MATLAB绘制一阶惯性环节的Bode图：,（5）一阶微分环节,低频段：当 时,低频段近似为0dB的水平线，称为低频渐近线。,高频段：当 时,高频段近似斜率为-
36、20dB/dec的直线，称为高频渐近线。,一阶微分环节的Bode图,定义转角频率：,用低频段和高频段的两条直线组成的折线近似表示。,tau=1;G=tf(tau,1,1);bode(G);grid;,采用MATLAB绘制一阶微分环节的Bode图：,一阶微分环节的Bode图,一阶惯性环节的Bode图,一阶惯性环节与一阶微分环节的对比（Bode图）：,（6）二阶振荡环节,低频段：当 时,低频段近似为0dB的水平线，称为低频渐近线。,高频段：当 时,高频段近似斜率为-40dB/dec的直线，称为高频渐近线。,即为无阻尼振荡角频率,定义转角频率：,二阶振荡环节的Bode图,用低频段和高频段的两条直线组
37、成的折线近似表示。,二阶振荡环节以渐近线表示时引起的对数幅值误差,T=1;Zeta1=0.3;G1=tf(1,T*T,2*Zeta1*T,1);Zeta2=0.4;G2=tf(1,T*T,2*Zeta2*T,1);Zeta3=0.5;G3=tf(1,T*T,2*Zeta3*T,1);Zeta4=0.6;G4=tf(1,T*T,2*Zeta4*T,1);Zeta5=0.7;G5=tf(1,T*T,2*Zeta5*T,1);Zeta6=0.8;G6=tf(1,T*T,2*Zeta6*T,1);Zeta7=0.9;G7=tf(1,T*T,2*Zeta7*T,1);Zeta8=1.0;G8=tf(1,
38、T*T,2*Zeta8*T,1);Zeta9=2.0;G9=tf(1,T*T,2*Zeta9*T,1);bode(G1,G2,G3,G4,G5,G6,G7,G8,G9);grid;,采用MATLAB绘制二阶振荡环节的Bode图：,（7）二阶微分环节,传递函数,频率特性,低频段：当 时,低频段近似为0dB的水平线，称为低频渐近线。,高频段：当 时,高频段近似斜率为40dB/dec的直线，称为高频渐近线。,定义转角频率：,二阶微分环节的Bode图,用低频段和高频段的两条直线组成的折线近似表示。,tau1=1;zeta1=0.5;G1=tf(tau1*tau1,2*zeta1*tau1,1,1);b
39、ode(G1);grid;,采用MATLAB绘制二阶微分环节的Bode图：,二阶振荡环节与二阶微分环节的对比（Bode图）,二阶振荡环节的Bode图,二阶微分环节的Bode图,（8）延迟环节,tau=1;N=5;num,den=pade(tau,N);G=tf(num,den);w=logspace(-1,1,100);bode(G,w);grid;,采用MATLAB绘制延迟环节的Bode图：,tau=1;N=5;num,den=pade(tau,N);G=tf(num,den);G1=tf(1,1,1);w=logspace(-1,1,100);bode(G,G1,w);grid;,采用MA
40、TLAB绘制延迟环节的Bode图：,总结,说明：普通直角坐标系中的幅频特性曲线没有明显的规律。,6.3.3 一般系统的对数坐标图,幅频特性和相频特性分别为：,对数幅频特性和对数相频特性分别为：,对数幅频特性=组成系统的各典型环节的对数幅频特性之代数和。,对数相频特性=组成系统的各典型环节的对数相频特性之代数和。,且有：,Bode图的一般作图方法,(1)写出频率特性表达式，分析系统由哪些典型环节串联组成，并将这些典型环节的传递函数都化成标准形式。,(2)绘制出各个因子（典型环节）的对数幅频曲线的渐近线及相频特性曲线。,(3)将对应频率下各个因子（典型环节）的对数幅频曲线的渐近线及相频特性曲线分别
41、叠加，即得出系统频率特性的Bode图。,(4)如果需要，再按典型因子的误差曲线对相应的分段直线进行修正。,例：绘制频率特性的Bode图,num=2.39;den1=1,0;den2=1,2.78;den3=0.39,0.75,1;den=conv(conv(den1,den2),den3);g=tf(num,den);w=logspace(-1,2,100);bode(g,w);grid;,例：绘制频率特性的Bode图,该系统由下列五个典型环节组成：,画伯德图时，可以不必先画出各环节伯德图，而是可以根据比例环节的静态放大倍数和其它各个环节的时间常数，直接画出整个系统伯德图。,num1=10;n
42、um2=1,3;den1=1,0;den2=1,2;den3=1,1,2;num=conv(num1,num2);den=conv(conv(den1,den2),den3);g=tf(num,den);w=logspace(-1,1,100);bode(g,w);grid;,采用MATLAB绘制频率特性的Bode图：,小结（1）对数坐标图（Bode图）的概念（2）典型环节的对数坐标图（Bode图）（3）对数坐标图（Bode图）的一般作图步骤,习题：P.226：6-7,控制工程基础,第6章 控制系统的频率特性6.4 最小相位系统,“最小相位”这一概念来源于网络理论。它是指具有相同幅频特性的一些
43、环节，其中相角位移有最小可能值的，称为最小相位环节；反之，其中相角位移大于最小可能值的环节称为非最小相位环节。控制系统的开环传递函数一般是关于s的有理真分式，系统的性质是由开环传递函数的零点与极点的性质决定的。根据零极点的不同，一般分为以下两种系统：在s平面的右半平面既无极点又无零点的传递函数，称为最小相位传递函数。否则，称为非最小相位传递函数。具有最小相位传递函数的系统，称为最小相位系统。否则，称为非最小相位系统。对于相同阶次的基本环节，当频率从0变到+时，最小相位的基本环节造成的相移是最小的。最小相位系统的相频特性和幅频特性是一一对应的，如果已知最小相位系统的幅频特性，其相频特性就唯一确定
44、了。也就是说，只要知道了最小相位系统的幅频特性，就能写出此最小相位系统所对应的传递函数，而无需再画出其相频特性。,最小相位系统的幅频特性和相频特性的对应关系,例：绘制频率特性的Bode图,设有下列两个系统，其中T1T20，,系统1为最小相位系统，系统2为非最小相位系统。,两个系统的幅频特性相同：,两个系统的相频特性不同：,系统1和系统2的幅频特性,系统1的相频特性,系统2的相频特性,T1=10;T2=1;g1=tf(T1,1,T2,1);g2=tf(-T1,1,T2,1);w=logspace(-2,1,100);bode(g1,g2,w);grid;,采用MATLAB绘制频率特性的Bode图
45、：,控制工程基础,第6章 控制系统的频率特性6.5 传递函数的实验确定方法,由稳态的输入、输出信号的幅值比和相位差绘制出被测对象的对数幅频特性曲线（Bode图），再得渐近对数幅频曲线。对实验测得的系统对数幅频曲线进行分段处理。即用斜率为20dB/dec整数倍的直线段来近似测量到的曲线。注意：求得的传递函数的对数相频特性曲线与实验曲线应当基本一致，两条曲线在低频和高频段应严格相符。,由Bode图确定系统传递函数，与绘制系统Bode图相反。即由实验测得的Bode图，经过分析和测算，确定系统所包含的各个典型环节，从而建立起被测系统数学模型。传递函数的频域实验方法：,根据渐近对数幅频曲线确定传递函数的
46、方法，即由Bode图求取传递函数的一般规则：（1）系统最低频率段的斜率由开环积分环节个数决定。即由低频段的斜率(-20)dB/dec来确定包含积分环节的个数。如果低频段斜率为(-20)dB/dec，则系统的开环传递函数含有个积分环节，系统为型系统。（2）开环增益K的确定。由低频段在=1处的幅频高度L()=20lgK来求得比例环节的增益K值。也可以由低频段斜线（或其延长线）与零分贝线的交点频率来求得比例环节的增益K。设与零分贝线的交点频率为，当=1时，K=；当=2时，K=*。具体方法为：由=1作垂线，此垂线与低频段(或其延长线)的交点的分贝值L()=20lgK(dB)，由此求出开环增益K值。低频
47、段斜率为-20dB/dec时，此线(或其延长线)与0dB线交点处的值等于开环增益K值。当低频段斜率为-40dB/dec时，此线(或其延长)与0dB线交点处的值即等于开环增益K值的平方根。,（3）在频率从低频向高频逐渐增加的过程中，当某处系统对数幅频特性渐近线的斜率发生变化时，此即为某个环节的转折频率。斜率每增加一个-20dB/dec时，在此转折频率处即包含一个一阶惯性环节。斜率每增加一个+20dB/dec时，在此转折频率处即包含一个一阶微分环节。斜率每增加一个-40dB/dec时，在此转折频率处即包含一个二阶振荡环节，再由峰值偏离渐进线的偏差求得阻尼比。或者包含两个一阶惯性环节。斜率每增加一个
48、+40dB/dec时，在此转折频率处即包含一个二阶微分环节，再由峰值偏离渐进线的偏差求得阻尼比。或者包含两个一阶微分环节。,0型系统,开环频率特性有如下形式：,其对数幅频特性的低频部分如图所示。,0型系统的特点低频段斜率为0dB/dec；低频段的幅值为L()=20lgK。,0型系统对数频率特性低频段示意图,I型系统,开环频率特性有如下形式：,其对数幅频特性的低频部分如图所示。,I型系统对数频率特性低频段示意图,I型系统特点,低频段斜率为-20dB/dec；位置由下式确定,当 时，,低频渐近线（或其延长线）与0分贝线的交点为,当 时，,型系统,开环频率特性有如下形式：,其对数幅频特性的低频部分如
49、图所示。,型系统对数频率特性低频段示意图,型系统特点,低频段斜率为-40dB/dec；位置由下式确定,当 时，,低频渐近线（或其延长线）与0分贝线的交点为,当 时，,例：已知最小相位系统的渐近幅频特性如图所示，试确定系统的传递函数，并写出系统的相频特性表达式。,解：1）由于低频段斜率为-20dB/dec，所以有一个积分环节,2）在=1处，L()=15dB=20lgK，可得K=5.6,3）在=2处，斜率由-20dB/dec变为-40dB/dec，故有一阶惯性环节1/(s/2+1),4）在=7处，斜率由-40dB/dec变为-20dB/dec，故有一阶微分环节(s/7+1),例：已知最小相位系统的
50、渐近幅频特性如图所示,试确定系统的传递函数。,解：1）由于低频段斜率为-40dB/dec，所以有两个积分环节，=2,3）在=30处，斜率由-20dB/dec变为-40dB/dec，故有一阶惯性环节1/(s/30+1),2）在=0.8处，斜率由-40dB/dec变为-20dB/dec，故有一阶微分环节(s/0.8+1),4）在=50处，斜率由-40dB/dec变为-60dB/dec，故有一阶惯性环节1/(s/50+1),5）低频段延长线与零分贝线的交点频率=2，因为=2，所以K=22=4,习题：P.226：6-9,控制工程基础,第6章 控制系统的频率特性6.6 闭环系统的开环频率特性,6.6.1
