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1、(一)、数列的极限(二)、函数的极限,第二节 数列与函数的极限,一、数列的定义,例如,注意：,1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取,2.数列是整标函数,数列实质上是定义在正整数集上的函数：xn=f(n)，n Z+,三、数列的极限,播放,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,2.数列极限的定义,故上例中有：,例1:观察下列数列的变化趋势,3、数列极限的性质,定理1 若极限 存在，则极限是唯一的.,1).极限的
2、唯一性,(1)数列的有界性,2).收敛数列的有界性,对数列,若存在正数 M,使得对一切自然数 n,恒有 成立,则称数列 有界,否则,称为无界.,例如,有界,无界,数轴上对应于有界数列的点 都落在闭区间 上.,定理2 收敛的数列必定有界.,推论 无界数列必定发散.,注意：有界性是数列收敛的必要非充分条件.,例如：,定理3,3).极限的保号性,4).子数列的归并性(子数列的收敛性),在数列 中任意抽取无穷多项并保持这些项在原数列中的先后顺序,这样得到的数列记为,称为数列 的子数列.,定理4 如果数列收敛，则它的任一个子数列也收敛，且极限相同.,5).数列极限四则运算法则与性质,例1 求下列数列的极
3、限：,自变量的变化过程:,二、函数的极限,定义1:,(一)、自变量趋向无穷大时函数的极限,二、函数的极限,定义2:,定义3:,1定义:,(二)、自变量趋向有限值时函数的极限,注意：,2、基本初等函数在其定义域内每点处的极限都存在，并且等于函数在该点处的函数值。,2.单侧极限:,例1：,左极限,右极限,因为左右极限存在但不相等,例2,证,3、函数极限的性质,4、函数极限运算法则,定理,5、举例,例2,例3,例4,例1,小结:,一、无穷小量,例如:,1、定义,三、无穷小量与无穷大量,2.无穷小与函数极限的关系:,引理,意义,1)将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);,3.无穷小的运算性质:,定理1 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.,注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.,推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.,推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.,推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.,定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.,利用无穷小的性质求极限,二、无穷大量,1.无穷大量是变量,不能与很大的数混淆;,注意：,三、无穷小与无穷大的关系,在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.,解,商的法则不能用,由无穷小与无穷大的关系,得,例如,一、填空题:,练 习 题,二、求下列各极限:,练习题答案,
