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1、2023/6/21,主讲人：侯致武Email:,Probabilistic model,现实世界的变化受着众多因素的影响，包括确定的和随机的。如果从建模的背景、目的和手段看，主要因素是确定的，随机因素可以忽略，或者随机因素的影响可以简单地以平均值的作用出现，那么就能够建立确定性模型。如果随机因素对研究对象的影响必须考虑，就应建立随机模型。本章讨论如何用随机变量和概率分布描述随机因素的影响，建立随机模型概率模型。,概率模型,确定性因素和随机性因素,随机因素可以忽略,随机因素影响可以简单地以平均值的作用出现,随机因素影响必须考虑,概率模型,统计回归模型,马氏链模型,随机模型,概率模型,一、概率论基
2、本知识二、概率模型的典型案例,一、概率论基础知识,1、古典概型,例：现有100个零件，其中95个长度合格，94个直径和格，92个两个尺寸都合格。任取一个，发现长度合格，问直径合格的概率。,设A=长度合格，B=直径合格,条件概率：在事件B发生的条件下，事件A发生的概率,全概率公式和贝叶斯公式,设B1,B2,Bn为样本空间S的一个划分，且有P(Bi)0，i=1,2,n,则对E的任一事件A，有:,贝叶斯公式,全概率公式,例：某电子设备制造厂所用的某种晶体管是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有以下的数据：,设这三家的产品在仓库中是均匀混合的,且无区别的标志。现在仓库中随机地抽取一只晶体管,(1)
3、求它是次品的概率；,(2)若已知取到的是次品,问此次品是哪个厂生产的可能性更大？,设A=“取到的是一只次品”,Bi=“所取产品由第i厂提供”,易知B1,B2,B3是样本空间的一个划分。,解,(1)由全概率公式:,=0.150.02+0.800.01+0.050.03=0.0125,(2)由贝叶斯公式:,同理 P(B2|A)=0.64,P(B3|A)=0.12.,以上结果表明，这只次品来自乙厂的可能性最大。,贝努利试验:设随机试验E只有两种可能的结果:A及,且P(A)=p,（0p1),将试验E独立地重复进行n次,简称n重贝努利试验(Bernoulli)。n重贝努利试验中事件A出现的次数服从二项分
4、布,二项分布,2、随机变量及其分布,泊松分布,n重贝努利试验中小概率事件出现的次数近似地服从泊松分布.,背景:指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命，动物的寿命，电话问题中的通话时间，服务时间等.,指数分布,如：同龄人的身高、体重、考试分数、某地区年降水量等。,背景:如果决定试验结果X的是大量随机因素的总和，假设各个因素之间近似独立，并且每个因素的单独作用相对均匀地小，那么X的分布近似正态分布。,正态分布,描述了随机变量的概率取值中心均值,数学期望,3、数学期望的概念和计算,4、MATLAB中相关的的概率命令,MATLAB工具箱对每一种分布都提供5类函数，其命令字符为：概率密度：pdf
5、概率分布：cdf逆概率分布：inv 均值与方差：stat随机数生成：rnd,当需要一种分布的某一类函数时，将以上所列的分布命令字符与函数命令字符接起来，并输入自变量（可以是标量、数组或矩阵）和参数即可.,在MATLAB中输入以下命令：x=-6:0.01:6;y=normpdf(x);z=normpdf(x,0,2);plot(x,y,x,z),1密度函数：p=normpdf(x,mu,sigma)(当mu=0,sigma=1时可缺省),如对均值为mu、标准差为sigma的正态分布，举例如下：,3逆概率分布：x=norminv(P,mu,sigma).即求出x，使得PXx=P，此命令可用来求分位
6、数.,2概率分布：P=normcdf(x,mu,sigma),例3 有10台机床,每台发生故障的概率为0.08,而10台机床工作独立,每台故障只需一个维修工人排除.问至少要配备几个维修工人,才能保证有故障而不能及时排除的概率不大于5%。,解：随机变量X示发生故障的机床的台数,则,4均值与方差：m,v=normstat(mu,sigma),例5 求正态分布N(3,52)的均值与方差.命令为：m,v=normstat(3,5)结果为：m=3,v=25,5随机数生成：normrnd(mu,sigma,m,n).产生mn阶的正态分布随机数矩阵.,例6 命令：M=normrnd(0,3,100,1),9
7、.1 传送系统的效率9.2 报童的诀窍9.3 随机存贮策略9.4 轧钢中的浪费9.5 随机人口模型,二、概率模型的典型案例,工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩上运走，若工作台数固定，挂钩数量越多，传送带运走的产品越多。,背景,在生产进入稳态后，给出衡量传送带效率的指标，研究提高传送带效率的途径,9.1 传送系统的效率,模型分析,进入稳态后为保证生产系统的周期性运转，应假定工人们的生产周期相同，即每人作完一件产品后，要么恰有空钩经过他的工作台，使他可将产品挂上运走，要么没有空钩经过，迫使他放下这件产品并立即投入下件产品的生产。,可以用一个周期内传送带运走的产品数占产品总数的比例，作为衡量传送
8、带效率的数量指标。,工人们生产周期虽然相同，但稳态下每人生产完一件产品的时刻不会一致，可以认为是随机的，并且在一个周期内任一时刻的可能性相同。,模型假设,1）n个工作台均匀排列，n个工人生产相互独立，生产周期是常数；,2）生产进入稳态，每人生产完一件产品的时刻在一个周期内是等可能的；,3）一周期内m个均匀排列的挂钩通过每一工作台的上方，到达第一个工作台的挂钩都是空的；,4）每人在生产完一件产品时都能且只能触到一只挂钩，若这只挂钩是空的，则可将产品挂上运走；若该钩非空，则这件产品被放下，退出运送系统。,模型建立,定义传送带效率为一周期内运走的产品数（记作s,待定）与生产总数 n（已知）之比，记作
9、 D=s/n,若求出一周期内每只挂钩非空的概率p，则 s=mp,为确定s，从工人考虑还是从挂钩考虑，哪个方便？,设每只挂钩为空的概率为q，则 p=1-q,如何求概率,设每只挂钩不被一工人触到的概率为r，则 q=rn,设每只挂钩被一工人触到的概率为u，则 r=1-u,u=1/m,一周期内有m个挂钩通过每一工作台的上方,模型解释,若(一周期运行的)挂钩数m远大于工作台数n,则,传送带效率(一周期内运走产品数与生产总数之比）,定义E=1-D(一周期内未运走产品数与生产总数之比）,提高效率的途径：,增加m,当n远大于1时,E n/2m E与n成正比，与m成反比,若n=10,m=40,D87.5%(89
10、.4%),9.2 报童的诀窍,问题,报童售报：a(零售价)b(购进价)c(退回价),售出一份赚 a-b；退回一份赔 b-c,每天购进多少份可使收入最大？,分析,购进太多卖不完退回赔钱,购进太少不够销售赚钱少,应根据需求确定购进量,每天需求量是随机的,优化问题的目标函数应是长期的日平均收入,等于每天收入的期望,建模,设每天购进 n 份，日平均收入为 G(n),调查需求量的随机规律每天需求量为 r 的概率 f(r),r=0,1,2,准备,求 n 使 G(n)最大,已知售出一份赚 a-b；退回一份赔 b-c,求解,将r视为连续变量,(概率密度),结果解释,取n使,a-b 售出一份赚的钱 b-c 退回
11、一份赔的钱,9.3 随机存贮策略,问题,以周为时间单位；一周的商品销售量为随机；周末根据库存决定是否订货，供下周销售。,（s,S)存贮策略制订下界s,上界S，当周末库存小于s 时订货，使下周初的库存达到S;否则，不订货。,考虑订货费、存贮费、缺货费、购进费，制订（s,S)存贮策略,使(平均意义下)总费用最小,模型假设,每次订货费c0,每件商品购进价c1,每件商品一周贮存费c2,每件商品缺货损失费c3(c1c3),每周销售量 r 随机、连续，概率密度 p(r),周末库存量x,订货量 u,周初库存量 x+u,每周贮存量按 x+u-r 计,建模与求解,（s,S)存贮策略,确定(s,S),使目标函数每
12、周总费用的平均值最小,平均费用,订货费c0,购进价c1,贮存费c2,缺货费c3,销售量 r,s 订货点，S 订货值,建模与求解,1）设 xs,求 u 使 J(u)最小，确定S,建模与求解,2）对库存 x，确定订货点s,若订货u,u+x=S,总费用为,若不订货,u=0,总费用为,建模与求解,最小正根的图解法,J(u)在u+x=S处达到最小,I(x)在x=S处达到最小值I(S),I(x)图形,建模与求解,9.4 轧钢中的浪费,轧制钢材两道工序,粗轧(热轧)形成钢材的雏形,精轧(冷轧)得到钢材规定的长度,粗轧,钢材长度正态分布,均值可以由轧机调整,方差由设备精度确定,粗轧钢材长度大于规定,切掉多余
13、部分,粗轧钢材长度小于规定,整根报废,问题：如何调整粗轧的均值，使精轧的浪费最小,背景,分析,设已知精轧后钢材的规定长度为 l，粗轧后钢材长度的均方差为,记粗轧时可以调整的均值为 m，则粗轧得到的钢材长度x为正态随机变量，记作 xN(m,2),切掉多余部分的概率,整根报废的概率,存在最佳的m使总的浪费最小,P,建模,选择合适的目标函数,粗轧一根钢材平均浪费长度,粗轧N根,选择合适的目标函数,粗轧一根钢材平均浪费长度,得到一根成品材平均浪费长度,更合适的目标函数,优化模型：求m 使J(m)最小（已知l,）,建模,粗轧N根得成品材 PN根,实际上，J（m）恰好是平均每得到一根成品材所需钢材的长度,
14、求解,求 z 使J(z)最小（已知）,求解微分法求极值,例,设l=2(米),=20(厘米)，求 m 使浪费最小。,=l/=10,求解,算出 再代入 即得到 的最优值,9.5 随机人口模型,背景,一个人的出生和死亡是随机事件,一个国家或地区,平均生育率平均死亡率,确定性模型,一个家族或村落,出生概率死亡概率,随机性模型,对象,X(t)时刻 t 的人口,随机变量.,Pn(t)概率P(X(t)=n),n=0,1,2,研究Pn(t)的变化规律；得到X(t)的期望和方差,若X(t)=n,对t到t+t的出生和死亡概率作以下假设,1)出生一人的概率与t成正比，记bnt;出生二人及二人以上的概率为o(t).,
15、2)死亡一人的概率与t成正比，记dnt;死亡二人及二人以上的概率为o(t).,3)出生和死亡是相互独立的随机事件。,bn与n成正比，记bn=n,出生概率；dn与n成正比，记dn=n，死亡概率。,进一步假设,模型假设,建模,为得到Pn(t)=P(X(t)=n),的变化规律，考察Pn(t+t)=P(X(t+t)=n).,事件X(t+t)=n的分解,X(t)=n-1,t内出生一人,X(t)=n+1,t内死亡一人,X(t)=n,t内没有出生和死亡,其它(出生或死亡二人，出生且死亡一人，),概率Pn(t+t),Pn-1(t)bn-1t,Pn+1(t)dn+1t,Pn(t)1-bnt-dn t,o(t),一组递推微分方程求解的困难和不必要,(t=0时已知人口为n0),转而考察X(t)的期望E(X(t)和方差D(X(t),微分方程,建模,X(t)的期望,求解,基本方程,求解,比较：确定性指数增长模型,X(t)的方差,-=r D(t),D(t),X(t)大致在 E(t)2(t)范围内（(t)均方差）,r 增长概率,r 平均增长率,
