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1、第二章 场论,第5讲 数量场的方向导数和梯度,主要内容,1.数量场的方向导数2.数量场的梯度教材：第2章 第2节,方向导数定义：,1.数量场的方向导数,设M0是数量场u=u(M)中的一个已知点，从点M0出发沿某一方向引一条射线l,在l上点M0的邻近取一动点M，记，如图所示。若当M 趋于M0时(即趋于零时)，,的极限存在，,方向导数的定义,则称此极限为函数u(M)在点M0处沿l方向的方向导数，记为:,定理1.若函数u=u(x,y,z)在点M0(x0,y0,z0)处可微，则函数u在点M0处沿l方向的方向导数必定存在，且其数值由如下公式给出：,其中，是在点M0处的偏数，为 l 方向的方向余弦。,证明
2、：M点的坐标为M(x0+x,y0+y,z0+z)，由于函数u在M0处可微，故,其中在0时趋于零，上式两边除以，可得：,令0取极限，注意到此时有0，则得到定理1.,例1：,求函数 在点M(1,0,1)处沿 方向的方向导数。,解：,在点M(1,0,1)处有：,而l的方向余弦为：,由定理1可得：,定理2.若在有向曲线C上取定一点M0作为计算弧长s的起点，并以C之正向作为s增大的方向；M为C上的一点，在点M处沿C之正向作一与C相切的射线l,如图，则当曲线C光滑，函数u在点M处可微时，函数u沿l方向的方向导数就等于函数u对s的全导数，即：,证明：,由于曲线C是光滑的，因此可用弧长s作为参数在描述其参数方
3、程：,x=x(s),y=y(s),z=z(s).,沿曲线C,函数表示为 u=ux(s),y(s),z(s).,点M处，函数u可微，则u对s的全导数为：,注意到，是曲线C的正向切线l的方向余弦，即：,即有：,证毕!,函数沿曲线方向的方向导数：,定义：,如图，从M点出发沿C之正向取一点M1,记弧长,若当M1M时，比式：,的极限存在，称之为函数u在点M处沿曲线（正向）的方向导数记为：,定理3.,若曲线C光滑，在点M处函数u可微，则有：,证明：由于曲线C光滑，在点M处函数可微，故全导数 存在。而 按定义实际上是一个右极限,故当 存在时，就有,推论：,若曲线C光滑，在点M处函数u可微。则有：,也就是说，
4、函数u在点M处沿曲线C（正向）的方向导数与函数u在点M处沿C的切线方向（指向C的正向一侧）的方向导数相等。,例2：,求函数 在点M（2,3）处沿曲线 朝x增大一方的方向导数。,解：根据推论，只需求出函数u沿曲线 在点M(2,3)处沿x增大方向的切线方向导数即可。,将曲线方程改为矢量形式：,其导矢：,就是曲线沿x增大方向的切向矢量，代入点M（2,3）得,其方向余弦为：,函数u在点M处的偏导数为：,所求方向导数为：,2.数量场的梯度,考察方向导数的公式：,可以看成是矢量G与矢量 的数量积,其中：,显然 为 方向上的单位矢量，因此函数u在 方向上的方向导数等于G在 方向上的投影，如下式：,因此当方向
5、 与G 的方向一致时，即 函数u的方向导数取得最大值为：,由此可见矢量G的方向就是函数u（M）变化率最大的方向，其模就是最大变化率的数值，我们把G称为函数u在给定点处的梯度。,（1）梯度的定义：,在数量场u(M)中的一点M处，存在这样一个矢量G，其方向为函数u(M)在点M处变化率最大的方向，其模也正好是这个最大变化率的数值。则称矢量G为函数u(M)在点M处的梯度，记作grad u,即：,我们可以借助于方向导数的公式求出梯度在直角坐标系中的表达式为：,（2）梯度的性质：,性质1：函数u沿l方向的方向导数等于梯度在该方向 的投影。写作：,性质2：数量场u(M)中每一点M处的梯度，垂直与过该点的等值
6、面，且指向函数u(M)增大的一方。,由性质2可知：在等值面上任一点处的单位法矢量，就可以通过在该点的梯度表示为：,符号由 的取向来确定。,把数量场中每一点的梯度与场中之点一一对应起来就得到一个矢量场，成为此数量场产生的梯度场。,例3：,设 为点M(x,y,z)的矢径r的模，试证：,证明：,同理,于是,例4：,求数量场 在点M(2,-1,1)处的梯度及在矢量 方向的方向导数。,解：,M点的梯度为：,l 方向的单位矢量为：,M点在l 方向的方向导数为（梯度在l方向的投影）,例5：,求常数a,b,c之值，使函数 在点M(1,2,-1)处沿平行于z轴方向上的方向导数取得最大值32.,解：,由题意知梯度
7、方向平行于z轴，且其模等于32，则有,解得：a=3,b=12,c=-4;或 a=-3,b=-12,c=4,（3）梯度运算的基本公式：,例7：,设有一温度场u(M),由于场中各点的温度各不相同，因此就有热的流动，由温度高的点流向温度低的点，根据热传导理论：在场中任一点处，沿任一方向的热流强度与该方向的上的温度变化率成正比。则场中任一点处，沿 l 方向的热流强度为：,其中k称为内导热系数，负号表示热流方向与温度增大的方向相反,记：,则热流强度：,只有当 l 的方向与q 的方向一致时,热流强度取得最大值|q|。即矢量q 的方向表达了热流强度最大的方向，其模表示最大热流强度的数值。称q 为热流矢量。是传热学中的重要概念。,例8：,设有位于坐标原点的点电荷q，由电学知道，在其周围空间的任一点M(x,y,z)处所产生电位为：,其中为介电常数，试求电位v的梯度。,解：,利用公式（6）得,由例3知,所以,由于电场强度：,则有：,此式说明：电场中电场强度等于电位的负梯度。从而可知，电场强度垂直于等位面，且指向电位减小的一方。,作业P48 习题3：1，2，4，6,8,Homework 4,
