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1、,计算机图形学,杨 武 影像科学与技术实验室 东南大学计算机学院,2,第十章三维对象表示,3,第十章之第四节 显示曲线和曲面,4,主要内容,介绍绘制曲线的方法用直线段近似有限差分推导出计算Bzier曲线和曲面的递推方法学会如何把多项式数据转化为Bzier多项式所需要的数据,5,多项式的计算,显示多项式曲线的最简单方法就是计算出多项式上许多点的值，从而形成一条近似的折线对于曲面，可以形成近似的三角网格或者四边网格应用Horner方法计算p(u)=c0+u(c1+u(c2+uc3)对于三次的情形，只需要三次乘法,6,有限差分,对于等间距的 uk，如下定义有限差分,对于n次多项式，n 阶差分的结果是
2、一个常数,7,建立有限差分表格,p(u)=1+3u+2u2+u3,8,求出下一个值,从底部开始，依次向上可以求出多项式的新值,9,De Casteljau 算法,从3个点P0,P1,P2开始选定一个 t0,1A(t)=(1-t)P0+tP1；B(t)=(1-t)P1+tP2P(t)=(1-t)A+tB P(t)=(1-t)2 P0+2t(1-t)P1+t2 P2,B,A,P,10,De Casteljau 算法,4个控制点呢？P(t)=(1-t)3 P0+3t(1-t)2 P1+3t2(1-t)P2+t3 P3,1-t,t,1-t,t,t,1-t,P0,P1,P2,P3,P(t),11,De
3、Casteljau 算法,扩展到任意n+1个控制点从Pi0(t)=Pi开始，结束于 P(t)=P0n(t)Bezier曲线的另一定义,12,Bzier曲线分割,P(t*)把曲线一分为二：0,t*、t*,1怎样求出这两段曲线的控制点？给出了一种曲线绘制方法,13,示例,p0,p1,p2,p3 确定了一条三次Bezier曲线,考虑左半部分 l(u)和右半部分 r(u),14,l(u)和 r(u),l(u)和r(u)也是Bezier曲线，控制顶点分别为：l0,l1,l2,l3 和 r0,r1,r2,r3,15,有效形式,l0=p0r3=p3l1=(p0+p1)r2=(p2+p3)l2=(l1+(p1
4、+p2)r1=(r2+(p1+p2)l3=r0=(l2+r1),只需要移位和加法!,16,所有曲线都是Bezier曲线,如果能找到给定多项式曲线表示为Bzier曲线所需要的控制顶点，那么就可以应用递推方法显示它假设p(u)是以插值曲线的形式给出，数据点为q:那么存在Bzier控制点p使得列出方程并求解，可得 p=MB-1MIq,p(u)=uTMIq,p(u)=uTMBp,17,矩阵,插值形式到Bezier形式,B样条到Bezier形式,18,示例,生成这些曲线的初始数据是相同的，但生成时都是把它们转化为Bzier控制顶点，然后采用Bzier递推方法,Bezier,Interpolating,B
5、-Spline,19,曲面,由于Bezier曲面片对应的u（v）线为Bezier曲线，因此曲面也可用递推方法首先，沿 u 方向细分 得到新的点 原来的某些控制顶点被抛弃,被保存下来的初始点,新增加的点,被抛弃的初始点,20,第二次细分,生成1/4曲面片创建了16个点,21,Utah 茶壶,计算机图形学中最著名的数据集通常用到的是由306个三维顶点定义的32张Bzier曲面片,22,二次曲面,任何二次曲面都可以表示成 pTAp+bTp+c=0，这儿 p=x,y,zT A,b 和 c 为系数用光线跟踪方法绘制求解参数方程 p(a)=p0+ad 表示的光线 与曲面的交解一个二次方程无解:光线错过曲面一个解:光线与曲面相切两个解:穿入并穿出曲面,
