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1、第三章 导数的应用,第四节 曲线的凹凸性与拐点及函数图形的描绘,在讨论函数图形的时候，仅仅知道函数的单调性是不够的，如图：,学习要求能熟练地求出函数的水平渐近线和铅垂渐近线熟练掌握判断函数的凹向与拐点的方法了解函数图形描绘的步骤,一、曲线凹向的定义,问题:如何研究曲线的弯曲方向?,图形位于任意点切线的下方,图形位于任意点切线的上方,定义1：如果在某区间内，曲线弧总位于其上任一点切线的上（下）方，则称曲线在该区间内是上（下）凹的。,二、曲线凹向的判定,定理1,例1,解,注意到,三、曲线的拐点及其求法,1、定义,注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.,2、求拐点的步骤,例2,解,上凹,下凹,上凹,
2、拐点,拐点,例3,解,四、渐近线,定义:,1.铅垂渐近线,例如,有铅直渐近线两条:,2.水平渐近线,例如,有水平渐近线两条:,例4,解,二、图形描绘的步骤,利用函数特性描绘函数图形.,确定函数的定义域和值域；,讨论函数的奇偶性（对称性）、周期性；,讨论函数的增减性和极值；,讨论函数的凹向与拐点；,确定曲线的渐近线；,求出曲线的一些特殊点（例如曲线与x轴、y轴的交点等）；,作出函数的图形。,三、作图举例,例5,解,非奇非偶函数,且无对称性.,列表确定函数升降区间,凹向区间及极值点和拐点:,不存在,拐点,极值点,间断点,作图,例6,解,无奇偶性及周期性.,列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点:,拐点,极大值,极小值,小结,曲线的弯曲方向凹向;,改变弯曲方向的点拐点;,凹凸性的判定.,拐点的求法,渐近线的求法,铅垂渐近线、水平渐近线,单减,函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是导数应用的综合考察.,最大值,最小值,极大值,极小值,拐点,上凹,下凹,单增,思考题,思考题解答,例,思考题,思考题解答,练 习 题,作业,书本P110 习题3-4 1.1）2）还要判断单调性,
