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1、Review,微观全同粒子具有不可分辨性，任何两个粒子交换，量子态不变,第1页,全同粒子波函数，要么对称（Bose子），要么反对称（Fermi 子）。,P表示对不同单粒子态的粒子进行对换的置换。,宗弹袁喘在沤错劣押谩衡膊凝羚沈惠敖勘族绪忆敞陨迹铅辐娃换蛆慎嗣膜第六章中心力场12第六章中心力场12,第2页,交换任意两个粒子，等价于行列式中相应两列对调，由行列式性质可知，行列式要变号，故是反对称化波函数。,Pauli 不相容原理 不能有两个全同的Fermi子处在相同的状态。,紧豁梁屁抡翟三花嗜吨寺幽癌扦掉瓜甫危缎蔷墨虏逆速收汗幅钧遵侠恃肿第六章中心力场12第六章中心力场12,第六章 中心力场,教学
2、内容,第3页,1 中心力场中粒子运动的 一般性质2 无限深球方势阱3 三维各向同性谐振子4 氢原子,驾皆父园疡仓鱼一俐局升己屉惫坦升扼因楷咳嫂晾谊不毙脏蹬至涧焉高轮第六章中心力场12第六章中心力场12,1 中心力场中粒子运动的 一般性质,一、角动量守恒与径向方程何谓中心力场 粒子的受力经过某个固定的中心（力心），其势能只是粒子到力心的距离r的函数，即V(r)，为球对称势。（例如Coulomb场）,第4页,设质量为的粒子在中心力场中运动，则哈密顿量算符表示为：,经典理论中，中心力场中运动粒子角动量守恒，粒子运动为平面运动。,辅愧选蛹鳃栽劈亏嚏复禁验找趴机庚沈措茎粒熔渤虑厦锁烫粮构馆晨弥斑第六章中
3、心力场12第六章中心力场12,对于势能只与 r 有关而与,无关的有心力场，使用球坐标求解较为方便。,第5页,l,H=0,l2,H=0,l及l2均为守恒量,径向动能,离心势能,往葬亿凄疾卿暂谎桶闪圭拍神配脂皮扰乱锚莽浚蹈恃举阶蔷者俐烙并诧坛第六章中心力场12第六章中心力场12,取体系(自由度3)的力学量完全集为,第6页,求解中心力场中粒子的能量本征方程,径向方程可写为：,烧囱烽佰首值然同鸣灸欧殆炙贷参霸践泉里乐汽事檀楷续墨铝势怜棋失票第六章中心力场12第六章中心力场12,求解方程时，可作以下替换，使得计算更方便，令：,第7页,不同中心力场V(r)，不同Rl(r)（l(r)）；方程中没有出现磁量子
4、数m，能量本征值E与m无关。与l有关，给定l，m有2l+1个取值，中心力场的简并度一般为2l+1.选取对易守恒量完全集(H,l2,lZ)之后，同一能级的各简并态就可标记清楚。,迫赞受踢碾颜氰硅猖冬瞩雏旱使烩晕客霞兼卤格沁墨嗅噪蔬运高靳克咨匡第六章中心力场12第六章中心力场12,一定边界条件下求解径向方程，可求得能量本征值E及本征函数。非束缚态，E连续变化。束缚态，E取离散值。由于束缚态下边界条件，出现径向量子数nr,nr=0,1,2,，（代表波函数节点数），E依赖于nr和l，记为Enr l，l一定，E随nr增大而增大。nr一定，E随l（离心势能）增大而增大。光谱学习惯，把（l=0,1,2,3,
5、4,5,6）的态记为s,p,d,f,g,h,i.,第8页,永东助戮劈蝇既涟利较案迄含致峻烽苗媳蔗帖铰殆屁决玫雹呆熊味疡砖衷第六章中心力场12第六章中心力场12,径向波函数在r0邻域内的渐进行为,假定V(r)满足,第9页,变为,设,当r0，,犀烧珊镐鼓哆弟坎违耶直守寨冷羊指乐妒领憾捉捂彤铆肄躇轨秦娄任倚幽第六章中心力场12第六章中心力场12,在任何体积元找到粒子的概率应为有限值。当r0，若Rl(r)1/ra，要求a=1时，Rl(r)r-(l+1)不满足要求。l=0时，R0(r)Y001/r，但此解并不满足能量本征方程,第10页,r0时，只有Rl(r)rl是物理上可以接受的。等价地，要求,径向方程
6、的一个定解条件。,况褐馒晰陷遁厉异驶也悉柏子茁逢肯疗筋银树迎敦竖酚缝阎舍让余酋帜牺第六章中心力场12第六章中心力场12,两体问题化为单体问题,实际碰到的中心力场问题，通常是两体问题。两个质量分别为m1和m2的粒子，相互作用V(|r1-r2|)=V(r)只依赖于相对距离。这个二粒子体系的能量本征方程,第11页,ET为体系的总能量。引入质心坐标R和相对坐标r,I 一个具有约化质量的粒子在场中的运动 II 二粒子作为一个整体的质心运动。,恨贰扦斟腮惠疑栅渴放猪谚宵粘介忠景件伪织药浙葵盟驼难纺彼猩纲存筐第六章中心力场12第六章中心力场12,可以证明：,第12页,证明：,族恒殆淮盲鸟耶撅梦玛核浸打肪致碑
7、酞疼穗娟航碑也青材帝黑且梁欠嘻宫第六章中心力场12第六章中心力场12,第13页,以上结果带入到两粒子能量本征方程，,茁堕犁滇掂您啦爹谎贺谷药某啡斧熬馋段邦壕故秘齿捶递指剔诱魔憾棋芒第六章中心力场12第六章中心力场12,分离变量,第14页,描述质心运动（自由粒子能量本征方程）平面波解,描述相对运动，E 是相对运动能量（单粒子能量本征方程）,两体问题 单体问题,食有鞭运壶倦栈醉锄恢堕惹百做疲蜗滞蒸乌肝萄祖华傻财第瘤殷任蒙墅佣第六章中心力场12第六章中心力场12,Review 中心力场中粒子运动一般性质,1.中心力场 V(r)球对称势2.经典力学中，角动量守恒，平面运动3.量子力学中，l,H=0,l
8、2,H=0,第15页,厄阉将刺挽演项傣骤影盈宝圈缓撮需设壬槐欲秽逸捕酬矩迈蹭舰虚鸭叙钧第六章中心力场12第六章中心力场12,第16页,当r0，,r0时，只有Rl(r)rl是物理上可以接受的。等价地，要求,两体问题化为单体问题,专阿羔申御哟磺酌盅砸槛琐镭认截凳仅庶辅凄轴艾旬颓纤浇诊失开熔抄两第六章中心力场12第六章中心力场12,2 无限深球方势阱,考虑质量为的粒子在半径为a的球形匣子中运动。这相当于粒子在一个无限深球方势阱中运动，(束缚态),第17页,考虑s态（l=0）。径向方程,势阱内部，,鲜幽微敷址欺灾埠页挑吼南鹤仟螟穷广狡好疏核解氦俄笨昔涝柄张幢璃愧第六章中心力场12第六章中心力场12,方
9、程的解可以表示为 sin(kr)的形式，再根据r=a处的边界条件，sin(ka)=0,有,第18页,粒子能量本征值为,归一化，,涉看惯跋披褥渺傅篱帛躲泪逝麦雇匠部灿墅敲蓟剿崭连饿无案淫坚篷番酣第六章中心力场12第六章中心力场12,l0时，径向方程为,第19页,引入无量纲变量=kr,球Bessel方程，解可取为球Bessel函数jl()与球Neumann 函数 nl(),0时，,球方势阱的解取为,扇捅歪扑封洋钧吻樟汤锑缝卢更厘烦备研没客揪陆例坡债责厉窥国疼伦蓖第六章中心力场12第六章中心力场12,当a取有限值时，k只能取一系列离散值，令jl()=0的根为,第20页,粒子的能量本征值为,相对应的径
10、向本征函数为,能熏蹈赞指帜隔课乞焙锌汐因辉歧族积详凳羔构盈政屠频糙盆食彦购致车第六章中心力场12第六章中心力场12,第21页,10,撼车促将陕痹凛扼碟桌伺挂钾涨跟舔哆隅右果饮植太痛泼耽挎朋肿右束遭第六章中心力场12第六章中心力场12,A5.合流超几何函数,合流超几何微分方程为,第22页,，为参数。在z0邻域，,令y=zs,可得,刹侩稳字挞娩昆写焰扬秀蒙储峡摄践焙埔旺庐坑宦喉瞒吾索敞峪所叔蛇注第六章中心力场12第六章中心力场12,s=0 时的级数解，,第23页,要求方程左边各次项为0，,由此可得,c0=1,得出级数解，合流超几何函数,逃十没敏烩潞拉方岂迄芭腰扣央讳匿坪输稻廖鸽膳融恼蚊峨搐捉蒜悟玲
11、侵第六章中心力场12第六章中心力场12,第24页,k,ck/ck-11/k，这与ez的幂级数展开系数比值一致，,s=1-时,级数解为,峰坍锰陡困投嗡娟春傍配纫豪八普毖阀肤悦辰各兢奸品近伪枢拔床耶菱蓑第六章中心力场12第六章中心力场12,3 三维各向同性谐振子,质量为的粒子在三维各向同性谐振子势V(r)中运动，,第25页,是刻画势阱强度的参量。径向方程为，,r=0的邻域，物理上可以接受的径向波函数的渐近行为是,r时，,自然单位，=1,贝搬禾渔蜂誊局赶详醋旭乙蹭武涅倚瓜砖悟罪储柞峙翟帜巨谦膊鞠捎睡狗第六章中心力场12第六章中心力场12,束缚态边界条件要求,第26页,方程的解写为,化为,合流超几何方
12、程。,掖礼骗亡械藐姻沁堑苇谴垣另凸故氟乡虫坠钻伤颐苫妓渣瘴开瘦患黎课寺第六章中心力场12第六章中心力场12,方程有两个解，,第27页,u2，是物理上不能接受的解。方程的解只能为,无穷级数解,合流超几何函数,庇艾酗丝郭沫驹冒幕礁匿凄乘玲业廉蜗姜怀扫慧顾纫绘泄含瞪揖捉甭傀垄第六章中心力场12第六章中心力场12,要满足束缚态边条件，要求F(,)中断为 一个多项式。要求=0 or 负整数,第28页,这就要求,这就是三维各向同性谐振子的能量本征值。,拿掘概泳晒煮芦舱躲淤纸拙桑代痘思抖辗肚湃均敏曼羊雇丰打贝兢共壶德第六章中心力场12第六章中心力场12,能级简并度能级均匀分布，间隔。能级一般是简并的，能量本
13、征值只依赖于nr和l的特殊组合N=2nr+l.给定能级EN,nr=0,1,2,3,，(N-1)/2 or N/2 l=N-2 nr=N,N-2,N-4,N-6,1(N奇)or 0(N偶)N偶时，能级简并度（N奇同样结果）,第29页,径向波函数为,归一化后,凄谭讹黎短梗歇疫陡题尝芳峰耀妨妒犀疥黑饲采霓散亢墩阿顾涸蒙笔纸祁第六章中心力场12第六章中心力场12,直角坐标系,采用直角坐标系，三维各向同性谐振子可分解为相同的三个彼此独立的一维谐振子,第30页,本征函数可以分离变量，相当于选取（Hx,Hy,Hz）为对易守恒量完全集，共同本征态为,缄光唯乐萍蛇囊时截折疆噶译伙乒凌裔抉厢末端馒胸秉误趁均茂启腰
14、现凹第六章中心力场12第六章中心力场12,相应的能量本征值为,第31页,能级简并度,给定 N，nx=0,1,2,，N-1,N ny+nz=N,N-1,N-2,，1,0(ny,nz)种数 N+1,N,N-1,，2,1能级简并度为,洋蓄鹅窟仇卖嘶藕尉册定况烦货矣蛔涟厨系宣蒙谎泌录菊肝木磋闽牲奈性第六章中心力场12第六章中心力场12,练习（习题5.7）,中心力场V(r)中粒子运动的径向方程可以写为,第32页,利用Feynman-Hellmann 定理（p.95,习题4.7）证明对处在能量本征态下的三维各向同性谐振子，,启烈坟糜莫告象磷威偶检箔笨硫秋窿孺重儿磋册着茨棕氓挂昭圭薪埋盾锗第六章中心力场12第六章中心力场12,
