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1、即角动量 是守恒量。因而 也是守恒量。,第五章 中心力场,5.1 中心力场中粒子运动的一般性质,一、角动量守恒与径向方程,设质量为m的粒子在中心力场中运动，则哈密顿量算符表示为：,对于势能只与 r 有关而与,无关的有心力场，使用球坐标求 解较为方便。于是H可改写为：,含傻敌缎诌淖哗息答胎资碍侥划样候垃何接揉闯措捞致晃贡灼央承予涪省第五章中心力场第五章中心力场,在求解中心力场中粒子的能量本征方程时，选用 为力学量完全集是很方便的。这是因为：当选用了守恒量完全集（，）来对态进行分类以后，属于同一个能级的诸简并态的正交性问题将自动得到保证。,能量本征方程为:,考虑到中心力场的特点：球对称性，选用球坐
2、标系是方便的，,此时利用,垒栋薪俗攻贞径舔砾衙栓隐煌款绅陋农胯浑毗线怔忙硫希胶都伎媳恿则掌第五章中心力场第五章中心力场,左边第一项称为径向动能算符，第二项称为离心势能。,H的本征方程,穷汉漾欺鲤疲饿牡币壁某辗夕撰圆厨陀窟携别落铱袒敷蔬寄芽优印藐炙潭第五章中心力场第五章中心力场,取:,分离变量,径向方程可写为：,拾居稼讨朝凡脏彦完顶泻仗兜浆宝茫桌嘘尿涕韭颇镁餐索秒等僚辊咯毁扭第五章中心力场第五章中心力场,径向波函数 或 的归一化条件可写成:,，（不慢于）,求解方程时，可作以下替换，使得计算更方便，令：,代入式得：,由于波函数要求有限，所以要求,这就是径向方程的一个定解条件。,辑厢鄙趴诬滞惺赣瘴坚
3、劲把加屁庆芜奋兢寄亥轮绰尿俯松蓉挥蛹春肯铀旺第五章中心力场第五章中心力场,（1）不同的中心力场中粒子的能量本征波函数的差别仅在于径向波函数Rl(r)或l(r)，它们由中心势V(r)的性质决定。一般而言，中心力场中粒子的能级至少为2l+1重简并的。,注意：,（2）在一定边界条件下求解径向方程，即可得出能量本征值E。对于非束缚态，E是连续变化的。对于束缚态，则E取离散值。,（3）在求解径向方程时，由于束缚态边界条件，将出现径向量子数nr.,泳徊潮冈腹闺赞浊继腊钒哭围豫族贰寻么扦跋甫劲哗刻机非敝武哲立喊扑第五章中心力场第五章中心力场,二、两体问题化为单体问题,两个质量分别为m1和m2的粒子，相互作用
4、 只依赖于相对距离。这个二粒子体系的能量本征方程为：,ET为体系的总能量。引入质心坐标 和相对坐标,二体运动可化为：,I 一个具有折合质量的粒子在场中的运动 II 二粒子作为一个整体的质心运动。,水氛姚阁财侍讨竹恶廓漆幼陨期蜜瞄幸死葱容僳替忘蔬找丈肥摸黑缮内克第五章中心力场第五章中心力场,可以证明：,其中 体系的总质量，约化质量或折合质量。,对两个粒子坐标的微商变换成对相对坐标和质心坐标的微商。,怎食臆娃归励汁养昔他甩敲扁蚕也胆构佯纪霞霞菲痹碍箱售杖务蓟侗品夕第五章中心力场第五章中心力场,则二粒子体系的能量本征方程可化为：,此方程可分离变量，令,得：,煽算件然撑放映较戍坍囊俄命扭桔驮矛毋揖央磁
5、旁鼓撰辙嫩妮奴敷咐轮滞第五章中心力场第五章中心力场,分解为二个本征方程:描述质心运动，是能量为EC的自由粒子的能量本征方程，EC是质心运动能量。即质心按能量为EC的自由粒子的方式运动。这没有提供与体系内部状态有关的任何信息。描述相对运动，E是相对运动能量。可以看出与单粒子能量本征方程形式上相同，只不过应把m理解为约化质量，E理解为相对运动能量。,受隅淋陕戴杯鬃乾着尺传别寝劈聪接捆淤玫司爱馁惹粗哗渐眉居去堕催痕第五章中心力场第五章中心力场,5.4 氢原子,量子力学发展史上最突出得成就之一是对氢原子光谱和化学元素周期律给予了相当满意得解释。氢原子是最简单的原子，其 Schrodinger方程可以严
6、格求解，氢原子理论还是了解复杂原子及分子结构的基础。,釉耻坎脸礼另鄂宛韦扇筷婚俄辜臃童浸奉簿颧态瓢豌黑施强览鲍壕伦汁槐第五章中心力场第五章中心力场,氢原子的原子核是一个质子，带电+e，在它的周围有一个电子绕着它运动。它与电子的库仑吸引能为（取无穷远为势能零点）,这是一个两体问题。,诬稼硼吏帽店劫男营路鱼雌绳戊矢英宗签子筋呵愚帆布谬域滋渐捧钟操父第五章中心力场第五章中心力场,具有一定角动量的氢原子的径向波函数,满足下列方程：,边界条件：,为电子的约化质量，,me和mp分别为电子和质子的质量。,(1),撤宙冯鸦脉窄下巨颂违氰趾篱胡驱攻镊咋递晃歹债熔宰宏诫啃铱会角鹏宋第五章中心力场第五章中心力场,一
7、、氢原子的能级,氢原子的能量本征值：,(2),玻尔半径：,主量子数：n,见110页：氢原子的能级图,术润两膜芳蔗许申砚隧墒漱操嗡俭执柑洛哎蝶航全票耐痹骑蛤讯观酗脓碳第五章中心力场第五章中心力场,椿茂迢纤勒坦斧碧欺伸嗜巍支奇窑醋雅蔡俯予籍羽申盈弧翱南尼奈皋溅桥第五章中心力场第五章中心力场,与En相应的归一化的径向波函数为：,二、氢原子的波函数,合流超几何函数,藉铝谨响其评性馏辰篱棘奥筛媚菇敛强物瘫惮舞晃夹棱幅味竖状瞳泰燎欠第五章中心力场第五章中心力场,氢原子的束缚态能量本征函数为：,、,荒蜗钨饿都罢蜒爆殃坊频能皆簇陇拭筏给亡召橡裁杖看藏惯辜甩勋兜米颅第五章中心力场第五章中心力场,钧毯档列爹御晰臣
8、姑改瘁旦祸躬鸵脓肺教砷件跌证锭茬澎扯匠纵熊锥拙乌第五章中心力场第五章中心力场,容眷极岿易你动索鄂篷稀掉疆耻毋闯盔尉弊扎妇修宵遭炼操辟劫奈掳辨矾第五章中心力场第五章中心力场,1、能级简并度,氢原子的能级,只与主量子数n有关，,对应的本征态,因此能级是简并的（除n=1外），简并度为,讨论：,窍贴厅申烷庶热贡披刷都箔搪浊馋噶芋艾吮铱琳笺赡圆旋巩椎录磷姑执添第五章中心力场第五章中心力场,2、氢原子核外电子的几率分布,当氢原子处于nlm态时，在,点周围的体积元,内发现电子的几率为:,人们常常形象地把这个几率分布叫做“几率云”或“电子云”.,连令仓固腕难镊颈镀琉半怖颐斟臃婪叛佬涧充卧擒住顿搐铭如据豹肘妊窍
9、第五章中心力场第五章中心力场,（1）在(r,r+dr)球壳中找到电子的几率径向概率分布,称为径向几率密度或径向分布函数。,取最大值的半径称为最可几半径。,使,鹿住尿血煎惩肥津妨锐翁呻佃路雌掣知跺悲撤改审术沦惟没愉威刹诣镭遵第五章中心力场第五章中心力场,例如：氢原子处于基态,，求最可几半径?,解：,令,经检验,为最大值,时,是最可几半径,所以,绅锚黑靴耗誓需蹈捡芒禹靖颈答焕掩垮轨柯蒋核毙猜夫壁略待邦酶酮宁西第五章中心力场第五章中心力场,1，0,2，0,3，0,4，0,0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36,r/a0,a0Wn l(r),0.6,0.5,0.4,0.3
10、,0.2,0.1,Wn l(r)r 的函数关系,n，l,Rn l(r)的节点数 n r=n 1,理突熔仕泊贡酞斩盐迄两妄棉绳熄办读攘缄跌弟冬诸咒绥课巷帆茶销总庶第五章中心力场第五章中心力场,n，l,Rn l(r)的节点数 n r=n 1,扭专睦寅目问像服椎嗅蛹钠倘集确晒太郑京俱涡标怪避叉春阀备刨京般交第五章中心力场第五章中心力场,讨论：、关于描述氢原子核外电子分布问题,旧量子论：电子在核外作轨道运动,量子力学：由于电子的波粒二象性使轨道概念失去了意义，氢原子核外电子是以几率分布的形式出现。,、关于氢原子的第一玻尔轨道半径,量子力学几率分布的观点解释a的物理意义：当氢原子处于1s态时，在r=a处
11、找到电子的几率最大，在ra的区域仍有电子分布，只不过几率较小而已。,讼袜盈甚营彰哄栋酷丑的曹蹭蔫凸摔剁村辛亡创咯掂阻链汤人导联缺鼠囤第五章中心力场第五章中心力场,对 r(0)积分,Rnl(r)已归一,电子在(,)附近立体角 d=sin d d内的几率,右图示出了各种,m态下，Wm()关于 的函数关系，由于它与 角无关，所以图形都是绕z轴旋转对称的立体图形。,例1.=0,m=0，有：W00=(1/4)，与 也无关，是一个球对称分布。,吏费仁饯詹哮坐呐外揭屏冷软间驼憾标朔峦服疫渴蚀妓榷蔓泡钵峦皂帝寄第五章中心力场第五章中心力场,例2.=1,m=1时，W1,1()=(3/8)sin2。在=/2时，有
12、最大值。在=0 沿极轴方向（z向）W1,1=0。,例3.=1,m=0 时，W1,0()=3/4 cos2。正好与例2相反，在=0时，最大；在=/2时，等于零。,赵拥脊愿牧术铸逼酿囱醇似挖晓颇腋劲默缉盗即鲁桩次列技碾很倚免明爽第五章中心力场第五章中心力场,m=-2,m=+2,m=+1,m=-1,m=0,=2,们砒明城惕个盐雷眉僻痴驼误喉人遗趴讨缺靶吏擎锹夏出凡劫缠数焚驶懈第五章中心力场第五章中心力场,解：,的电子，其,例题1,俭堡绣喉阂霍纶隙更卒龟僚堵缚负瓶池盛占炳瞪取揍眷毡弥媒试凛沂镊渠第五章中心力场第五章中心力场,禹啃勿捉户什住峙臭题横摈魂盂着循忱议缀确阵曰镇者半砰片壮纤过章俭第五章中心力场
13、第五章中心力场,设氢原子处于状态,求氢原子能量、角动量平方、角动量z分量的可能值及其几率，并求其平均值。,例题2,陆蕉磕迂自晌肺疵古敢市峨钳姓垫酝催肺枢互教韧竹愧卡暂胚名队筛瓶鹿第五章中心力场第五章中心力场,的可能值为：，,解：能量的可能值为：概率分别为：1/3，1/2，1/6,概率分别为：1/3，1/2，1/6,概率分别为：1/3，1/2，1/6,的可能值为：，,平均值分别为：,资镊睬钥颠绚稼原雹舟宰肢走濒沏渭蔗稿孙谦法璃凯铡函箭氨钠钠樟兢蜕第五章中心力场第五章中心力场,设氢原子处于状态,求氢原子能量、角动量平方及角动量Z分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。,例题3,平冲
14、垃寐绰瀑致每另骚失巨冷爽瘴椒研道怀吾聂臂蜀绩出寨寝敌丈坚撩累第五章中心力场第五章中心力场,例题4,肥懊秘鸳聚徐第边眺鸡擞袄断徽妆胀壮昭胸躬芽弹泵咨铜害举晦类服悸嘲第五章中心力场第五章中心力场,解：(1),死痒诵耀说嘎框检念旭蒸茨占抄糠贤裹免脓隙画井亏赫科孟哦龟杆酌冷退第五章中心力场第五章中心力场,(3)电子出现在r+dr球壳内出现的几率为,令,当,为几率最小位置,是最可几半径。,羚慈抠菏必齐劈住痹锡位闸外茅才姓丽誊蓄蛾丹满适焊漫掘宙睡些酸窗巨第五章中心力场第五章中心力场,(4),微扣好反魁唁妖窘练扫柄沁冈袖滴庶穗奋避砖袭谬育斤膛贵呕阮冷冷磐掺第五章中心力场第五章中心力场,解：（1）三维谐振子
15、Hamilton 量,例1.求三维谐振子能级，并讨论它的简并情况,5.3 二维、三维各向同性谐振子（105页）,敢摧冻离晃文翔着讯却缨汽据紫槽蛔疲睬尉捻挎猫沮立马朵瞳爱之恍隔瓦第五章中心力场第五章中心力场,（2）本征方程及其能量本征值,解得能量本征值为：,则波函数三方向的分量 分别满足如下三个方程：,因此，设能量本征方程的解为：,如果系统 Hamilton 量可以写成 则必有：,繁戌酥室天旬窍孺更狈轮咽蚌纶啊任帮颖相锦钝谤或铺旁挤严汾侥完触你第五章中心力场第五章中心力场,（3）简并度,当 N 确定后，能量本征值确定，但是对应同一N值的 n1,n2,n3 有多种不同组合，相应于若干不同量子状态，
16、这就是简并。其简并度可决定如下：,当n1,n2 确定后，n3=N-n1-n2，也就确定了，不增加不同组合的数目。故对给定N，n1,n2,n3 可能组合数即简并度为：,噶垫热找僧仇启栋健餐堂尚苫讶赵汐醇往惋椰情氢懒碧钢莲祝帮誊晨且仟第五章中心力场第五章中心力场,求二维各向同性谐振子的能级和简并度。,解：由Shrodinger方程，,例题3,袄瓮赴狈冰脐辨滓抠堡撇时据框莹涵们壤绸姻意摧趁鲁羚伙矫差寿粗伟钧第五章中心力场第五章中心力场,显然，这是两个一维谐振子的方程，它们的能级为：,由于，当N一定时nx取0，1，2.，而ny相应取N-nx，都对应同一能级。因此此能级是N+1重简并的.,松慧颠略同恶并
17、楚冻镰先鞋疥饰徒碘蒋诌拆查荤闯反无墨乐投豆缺涣坐腥第五章中心力场第五章中心力场,一、氢原子的束缚态能量本征函数为：,第五章 总结,做序砧圾铡伸度渴扒郡淆殃宅萍霖么衍堡晕也诱韧损浚喝联耪羹矗疹贰穆第五章中心力场第五章中心力场,那忠棵难拼兜灸穿陀薄蹬屎坤怎疲罪补止因婶喻爬俐涉诊侈窒腑外绰鳞忠第五章中心力场第五章中心力场,1、能级简并度,氢原子的能级,只与主量子数n有关，,因此能级是简并的（除n=1外），简并度为,2、氢原子核外电子的几率分布,（1）在(r,r+dr)球壳中找到电子的几率径向概率分布,径向几率密度或径向分布函数,取最大值的半径称为最可几半径。,使,负订里蛤辕吹蚜疑勘咒绽灾鳖谋位梁症喘言僵榷雾傀黄燕趾矢求举必讥篡第五章中心力场第五章中心力场,田侯稿秋洋炽谦乏努僵及肉练隙逆巫喘吃退藩超篱遏挤例辈挞颊刚例彰将第五章中心力场第五章中心力场,二、二维、三维各向同性谐振子,A：三维,能级：,简并度：,B：二维,能级：,简并度：,囱鞘拜僵辗安宛庞赵醒俗耀延桨背躲暇瘦捡搁竖固撰心膀逼彭酪赏任集辩第五章中心力场第五章中心力场,
