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1、三 阶 幻 方,风子编辑,第一课 基础部分,幻方起源：大约两千多年前西汉时代，流传夏禹治水时，黄河中跃出一匹神马，马背上驮着一幅图，人称河图；又洛水河中浮出一只神龟，龟背上有一张象征吉祥的图案称为洛书.他们发现，这个图案每一列，每一行及对角线，加起来的数字和都是一样的。中国不仅拥有幻方的发明权，而且是对幻方进行深入研究的国家。公元13世纪的数学家杨辉已经编制出310阶幻方。,幻方的发展：经过国内外幻方数学家和爱好者的研究，幻方得到了快速的发展。从最初的三阶幻方发展到现在的高阶幻方，由和幻方发展到乘幻方。对平面幻方的构造，分为三种情况：N为奇数、N为4的倍数、N为其它偶数(4n+2的形式）。,清
2、末民初数学家寿孝天,三阶幻方：就是将9个自然数填在33（三行三列）的正方形内，使每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数的和都相等。,例1：（p.45例1）将1-9这9个数填入上图，使它成为一个三阶幻方。,动动手：p.45随堂1,幻和与中央数：一个幻方的幻和=3中央数=总和3,例1：（p.46例3）,动动手：p.46随堂3,已知三个数填写幻方,例1：（p.47例4）,动动手：p.47随堂4,对九宫格每个格子进行编号为A-I，设S=A+B+C+D+E+F+G+H+I，即九个数的和。定义：幻和=A+B+C=D+E+F=G+H+I=A+D+G=B+E+H=C+F+I=A+E+I=C+E+G，即每条横
3、、竖、斜线上的三个数的和相等，为幻和。,3幻和=（A+B+C）+（D+E+F）+（G+H+I）=S，即幻和是总和的1/3。D+E+F=B+E+H=A+E+I=C+E+G，即4幻和=A+B+C+D+E+F+G+H+I+3E=3幻和+3E所以，3E=幻和，即E是幻和的1/3，是总和的1/9S=（A+B+C）+（A+E+I）+（A+D+G）=（A+B+C）+（D+E+F）+（G+H+I）所以，2A=F+H同理可得：2G=B+F，2I=B+D，2C=D+H,例：在下图空格上填上互不相等,且不大于15的自然数，使每行、每例、对角线上的和为30。,为方便表述，对每个空格编号为A-H。1、根据中心数是幻和的
4、1/3，可得到E=102、根据幻和为30，可知C=30-10-8=123、根据A+H=B+G=D+F=20,且每个数不大于15，则最小为5。符合条件的数对还 有四对：5,15、6,14、7,13、9,11，只有一堆为偶数。4、选6、14放入任何格对中，因为偶数+偶数+偶数=偶数，但剩下的数都 是奇数，所以不符合。5、选择包含最大数的一对5，15，如果15与12在同一行或列，则这行或列 的另一个数为3，小于5。所以，15不能与12在同一行或列，因此放在D格。对应的F格则为5。6、剩下的空格就很容易了。,2倍角格=不相邻的两个边格之和,？=（13+19）2=16,三条直线上的数字的和=幻方所有数字
5、之和+2个？-（19+13）幻和=一条直线上的三个数字之和所有数字之和=3幻和所以：三条直线上的数字的和=幻方所有数字之和则：？=（13+19）2,原先每条边的和为：30+10+10=50新的填法每条边的和为：50+15=65总和减少，每边和增加，则应该把大数移到公共角的位置则有：30+10+30=70 70-65=5所以，四个10各减5，合计正好减了20.,三组22，26，30，为等差数列，所以先把中间数放中间；以中间格为中心，画四条直线；在一条对角线上放与中间格相同的数，另一条对角线上放两个不同的数；剩下四个位置只要保证同一行或列上没有重复的数字。,利用角格是不相邻的两个边数和的一半，可以
6、得到右下角方格的数字；其次利用红线和相等关系，知道下中间的数为2；利用蓝线和相等，得到中右格数为4。利用幻和=3中间数 3幻和=所有数，可知中间那个数为6。这样其他几个利用幻和可以得到了。,本题与上体方法一样，自己尝试下,先在两条蓝线上确定左下角的数：1102=5，在两条线段上的公共格不用考虑；再找有两个确定数的线段，通过未知角画出另外的线段，如图红线，则可知左中格为：2105=4，右上格为：2101=20。利用一条对角线上的三个数的积51020=1000，可以得到其它几个数。,三个数相乘的幻方的属性：1、等差数列或者三组等差数列：找一个包含10的等差数列（如图）或者：1、2、4、5、10、2
7、0、25、50、100 2、角格的平方=不相邻的边格之积,按三条红线排列三组等差或等比数列，再按红数字位置调整,上下对调,左右对调,第二课 拓展部分,平面幻方的构造一,奇幻方：N 为奇数时 将1放在第一行中间一列；从2开始直到nn止各数依次按下列规则存放：按 45方向行走，如向右上 每一个数存放的行比前一个数的行数减1，列数加1 如果行列范围超出矩阵范围，则回绕。例如1在第1行，则2应放在最下一行，列数同样加1;如果按上面规则确定的位置上已有数，或上一个数是第1行第n列时，则把下一个数放在上一个数的下面。,双偶幻方：N为4的倍数。采用对称元素交换法。1)把数1到nn按从上至下，从左到右顺序填入
8、矩阵 2)将方阵的所有44子方阵中的两对角线上位置的数关于方阵中心作对称交换，即a(i,j）与a(n+1-i,n+1-j）交换，所有其它位置上的数不变。（或者将对角线不变，其它位置对称交换也可）*以上方法只适合于n=4时*,平面幻方的构造二,单偶幻方：N 为4m+2的偶数 1）把大方阵分解为4个奇数(2m+1阶）子方阵。按上述奇数阶幻方给分解的4个子方阵对应赋值。由小到大依次为上左子阵（i），下右子（i+v），上右子阵（i+2v)，下左子阵（i+3v），即4个子方阵对应元素相差v，其中v=n*n/4 四个子矩阵由小到大排列方式为 2）此时各列和与幻和相同，对角线、上三行与下三行之和不符合幻和要
9、求。因此，只需在同列间交换数字。上述交换使行列及对角线上元素之和相等。,Merzirac法生成奇阶幻方：在第一行居中的方格内放1，依次向右上方填入2、3、4，如果右上方已有数字，则向下移一格继续填写。,loubere法生成奇阶幻方：在居中的方格向上一格内放1，依次向右上方填入2、3、4，如果右上方已有数字，则向上移二格继续填写。,3.横补角，以中间行为基准，将突出的数字补回本行所缺的方格内，4，5补到1的前，10补到6前，16补到20后，21，22补到25后。从而重新得到一个n*n方格。,错位补角,1.对于所有的奇阶幻方，1-n*n从小到大填入n*n的方格中。以n=5时，1-25为例。,2.横错位，将方格横向错位，每行错位数为 n-行数，即第一行横向移动n-1位，第二行横向移动n-2位.直到形成一个左低右高的楼梯。,小结：错位补角可以先横后竖，也可以先竖后横。楼梯可以左低右高，也可以左高右低。只要保证横竖做出的楼梯方向相同，就能得到正确结果。一共可以求出4个答案。,4.竖错位，将方格纵向错位，每列错位数为 n-列数，即第一列横向移动n-1位，第二列横向移动n-2位.直到形成一个左低右高的楼梯。,5.竖补角，以中间列为基准，将突出的数字补回本列所缺的方格内，17，23补到4上，24补到5上，2补到21下，3，9补到22下。从而重新得到一个n*n方格，及得到结果。,
