带电粒子在匀强磁场中匀速圆周运动的临界问题.docx

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1、带电粒子在匀强磁场中匀速圆 周运动的临界问题题1：两边界MN PQ足够长，相距为d,中间有 垂直 纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B,质 量为m 电荷量为+q的粒子，从磁场边缘MP的正中间O 点沿图示方向垂直进入磁场，不计重 力，要使粒 子从MN板离开磁场，求：粒子进入磁场的速度应满足什么条件？（ e二300）要使粒子在磁场中运动的时间最长，粒子要从 哪一条边界射出，最长时间为多少？析：（1）（方法1：过定点吹气球，找到临界点。方法2:画圆找弧Me移边界）当粒OdNXmn eX PqBdVmin :子运动轨迹跟 相切时速度最小，则有：顶又5得.血3又域得：当粒子运动轨迹与PQ相切而从MN射出时

2、，速度 有最大值：r d得: V二故得速度应满足的条件是：mqBd . qBd v3mm要使粒子运动时间长，则对应圆心角最大，则粒子从MP边射出，T型式 max 360360 qB顼题2:如图，真空室内存在匀强 磁场，磁场方向垂直于纸面向 里，磁感应强度的大 务一小B=0.60T,磁场内有一块平面感 召光板ab，板X ：X面与磁场方向平行，在距ab的距离L=16cm处，有一个点状的a放射源S,它向各个方向发射a粒子，a粒子的速度都是V=3.0 X 106m/s,巳知a粒子的电荷与质量之比 半二5.0 X 107C/kg，现只考 虑在图纸平面中运动的a粒子，求ab上被a粒子 打中的区域的长度。析

3、：（过定点旋转定圆） 粒子带正电，故在磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动，用R表示轨道半径，有葺由此得：R=4=10cm可见2RLRqvBR（）B因朝不同方向发射的a粒子的圆轨迹都过S,由此可知，某一圆轨迹在图中N左侧与ab 相切，则此切点R是a粒子能打中的左侧最 远点， 为定出R点的位置，可作平行于ab的直 线cd，cd 到ab的距离为R,以S为圆心，R为 半径，作弧交 cd于Q点，过Q点作ab的垂线，它与ab的交点 即为R，由图中几何关系得：NR =血项）2再考虑N的右侧，任何a粒子在运动过程中离S的 距离不可能超过2R,以2R为半径，S为圆心 作圆， 交ab于N右侧的廿点，此即右侧能打到

4、的最远 点。由图中几何关系得：NF=、，（2R）w 所求长度为 PP=NR+NP=20cm.题 3:2如图甲所示，x轴正方向水平向右，y轴正方向竖 直向上。在xoy平面内有与y轴平行的匀强电场， 在半径为R的圆形区域内加有与xoy平面垂直的匀 强磁场。在坐标原点0处放置一带电微粒发射装 置，它可以连续不断地发射具有相同质量m、度大小为电荷量q (粒子和醐速为力的带电 q oV0g。(1 )当带电微粒发射装置连续不断地沿 yy轴正 方向发射这种带电微粒 时，这些带电微 粒将沿圆-形磁场区域的水平直径。方向离开磁 场，并继续沿x轴正方向运动。族电场强度和磁感应强度的大小和方向。BO田中带电撤粒规射

5、淮置发射去置(2)调节坐标原点0处的带电微粒发射装 置，使其在xoy平面内不断地以相同速率V沿 不 同方向将这种带电微粒射入第1象限，如图乙所 示。现要求这些带电微粒最终都能平行于x轴正 方向运动，则在保证匀强电场、匀强磁场的强 度及 方向不变的条件下，应如何改变匀强磁场的 分布区 域？并求出符合条件的磁场区域的最小面积。(1)由题目中“带电粒子从坐标原点O处沿y 轴正方向进入磁场后，最终沿圆形磁场区域的水 平 直径离开磁场并继续沿x轴正方向运动”可 知， 带电微粒所受重力与电场力平衡。设电场强度大小为E,由平衡条件得:mg=qE八 2分 . mgq电场方向沿y轴正方向。带电微粒进入磁场后，做

6、匀速圆周运动，且圆运动半径r=R。设匀强磁场的磁感应强度大小为B。由牛顿第 二定律得：启普2分 B烽2分磁场方向垂直于纸面向外 1分 (2 )设由带电微粒发射装置射入第I象限的带电微粒的初速度方向与、轴 匕翁 承夹角r ,。导则：满足0 W ” ；，由于带电微粒最终将 “1沿x轴正方向运动，故B应垂直于xoy平面向外，带电微粒在磁场内做半径为匀速圆周运qB动。由于带电微粒的入射方向不同，为使这些带 电微粒经磁场偏转后沿x轴正方向运动。由图可 知，它们必须从经0点作圆运动的各圆的最高点 飞离磁场。这样磁场边界上P点的坐标P (x，y)应满足 方 程：x Rsinry = R(1 -cosR ,所

7、以磁场边界的方程为fR.2分由题中0：-的条件可知，以八肓的角度射入磁场区域的微粒的运动轨迹(x-R). y*.即为所求磁场的另一侧的边界。2分因此，符合题目要求的最小磁场的范围应是圆x x(y-R)=R 与圆(x-R) y =R 的 222 22交集部分(图中阴影部分)。1分由几何关系，可以求得符合条件的磁场的最小面积为：，.七-1)罟2 22分2 q b题4：如图所示，左侧为两块长为L=10cm间距%cm的平行金属板，匚 匚 竟乂*由* k X NX X Xk x x x k、fl*乂 X * 章 X H r %M x k x y占 X 彦 5c X X x Xst V 、c1U= 3的电

8、压，上板电势 10 V高；现从左端沿中心轴线10kg带电量q=+10方向入射一个重力不计的电微粒，微粒质量m= 10_%，初速度v = 105m/s;中间用虚线框表示的正 三 角形内存在垂直纸面向里的匀强磁场B ,三角形 的上顶点A与上金属板平齐，BC边与金属板 平 行，AB边的中点斗恰好在下金属板的右端点；三 角形区域的右侧也存在垂直纸面向里，范围足够 大的匀强磁场B2，且B= 4B;求；(1) 带电微粒从电场中射出时的速度大小和方向；(2) 带电微粒进入中间三角形区域后，要垂直 打 在AC边上，则该区域的磁感应强度B是多 少？(3) 画出粒子在磁场中运动的轨迹，确定微粒 最 后出磁场区域的

9、位置。解(1)设带电微粒在电场中做类平抛运动时间t， 加速度a,出电场时竖直方向的速度为Uq =ma d=1011m/S2 dm 3t 10，s t Vo2、3速度与水平方向夹角ytan匕v Ve = 30o3v = at510 m/sV =at:-粒子出电场的速度“厂（1分）Vo vT 10 m/s分)即垂直与AB出射。（1分）（2）带电粒子出电场时竖直方向偏转的位移yV3 d代入（1）（2）得而Lm粒子由P1点垂直人8射入磁场。 （2分）带电粒子在磁场中运动轨迹如图所示。c设匀速圆周运动P1Q1段半径R1,根据几何关系 有cos3020 103( 2分）qvB（ 2 分）带电粒子在B2磁场

10、中以02为圆心做匀速圆周 运动，即Q1Q2段，其半径IM（ 2分）再次进入81区域时做以03为圆心，半径仍为R1的匀速圆周运动，即Q2P2段，最后从P2点出磁场区域，如图所示。在三角形P2COV中，根据数学知识，有P2C = -13一i R =一 i m = （= 7.68cm）460题5、在边长为2a的.abC内存在垂直纸面向里的磁感 强度为B的匀强磁场，有一带正电q，质 量为的粒子从距 A点- 3a的D点垂直AE方向进入磁场，如图5所示， 若粒子能从AC间离开 磁场，求粒子速率应满足什么条件 及粒子从AC间什么范围内射出.解析：如图6所示，设粒子速率为时，其圆轨迹 正好与AC边相切于E点.

11、由图知，在moze中，OE二，ota二询-v得一，解得RIK-Vg，贝0iA2 寸 3aOA 二 j3aT由C0S300i=Rj.WaRiAE - 一 2 2(2 3 _3)aC又由BqV-mV得塑23,则要粒Rm mF子能从AC间离开磁场，其速率应大于E；次时，其。图db圆轨迹正22与AC相交于v A.如图7所示，设粒子速率为 好与EC边相切于F点，G点易知A点即为粒子轨迹的圆心，贝UR2 = AD = AG = 3a2 又由BqvV23aqB，则要粒子能从AC2 得5 _ 间离开磁场，其速率应小等于 V.2综上，要粒子能从AC间离开磁场，粒子速率应满足3(23： sWgB*mm粒子从距A点

12、厂沥的eg间射出.：广d产x题6、如图9所示，空间分x ； X X H 布着有理想边界的匀强电场和X I K* 1匀强磁场.左侧匀强电场的场强图大小为E、方向水平向右，电场宽度为L;中间区域匀强磁场的磁感应强度大小为B,方向 垂直纸面向里.一个质量为m、电量 为q、不计重力的带 正电的粒子从电场的左边缘的0点由静止开始运动，穿过 中间磁场区域进 入右侧磁场区域后，又回到0点，然后 重复上述运动过程.求：(1) 中间磁场区域的宽度d;(2) 带电粒子从0点开始运动到第一次回 到O点所用时间t.解析：(1)带电粒子在电场中加速，由动能定理，可得：qEL = - mV?带电粒子在磁场中偏转，由牛顿第

13、二定律，可得：BqV由以上两式，可得看el.可见在两磁场区粒子运动半径相同，如图11所示，三段圆弧的圆心组成的三角形a O1O2O3是等边三角形，其边长为2R 所以中间磁场区域的宽度为Rsi n601 6mEL2Bl qti =在电场中2V 2mV 2mLqE在中间磁场中运动时间3 3qB在右侧磁场中运动时间t 翟，3=6 3qB 7则粒子第一次回到0点的所用时间为t =t t2 i 2,qE 3qB、核聚变反应需要几百万度以上的高 题7j2mL Tim温，为把高温条件下高速运动的离子约束 在小范围内（否则不可能发生核反应）， 常采用磁约束的方法（托卡马克装置）。图5所示，环状匀强磁场围成中空

14、区域，中空区 域中的带电 粒子只要速度不是很大，都不会穿出磁场的外边缘而被约 束在该区域内。设环状磁场 的内半径为R05m，外半径 R2=1.0m，磁场的 磁感强度B=1.0T，若被束缚带电粒子的荷 质比为q/m=4 x ioc田，中空区域内带电粒子具有各 个方 向的速度.试计算(1) 粒子沿环状的半径方向射入磁场，不 能穿越磁 场的最大速度.(2) 所有粒子不能穿越磁场的最大速度.解析：(1)要粒子沿环状的半径方向射入磁 场，不能穿 越磁场，则粒子的临界轨迹必须要与 外圆相切，轨迹如图6 所示所以粒子沿环状的半径方向射入磁场，不 能穿越磁场的最大速度为V =1.5 107m/s(2)当粒子以

15、v的速度沿与内圆相切 方向射入磁场且轨道与外圆相切时，则以X由图中知r:R2=(R2 -r)2 ,解得 r, = 0.375m由rBqV = mv彳得 v,=1.5 107m/s mVi速度沿各方向射入磁场区的粒子都不能穿出 磁场边界，如 图7所示.由图中知a二邑迥=0 25mU.25II12由 BqV2 =m2彳得 V2 =炒2 =1.0 107 m/s rm所以所有粒子不能穿越磁场的最大速度V2 =1.0 107m/s010年高考课标全国卷)如图8 2 28所示，在 题 8. (200xa、0wyw-范围内垂直于xOy平面向外的匀强磁场，磁感 应强度大小为B.坐标原点O处有一个粒子源，在某

16、 时刻发 射大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，它 们的速度 大小相同，速度方向均在xOy平面内，与y轴 正方向的夹 角分布在0 90。范围内.已知粒子在磁场中 做圆周运动 的半径介于a/2到a之间，从发射粒子到粒 子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周 运动周期的四分之一.求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的T 1a/2:*0a x图 8 2 28(1) 速度的大小；(2) 速度方向与y轴正方向夹角的正弦.(1)设粒子的发射速度为v，粒子做圆周运动的轨道半径为R，由牛顿第二定律和洛伦兹力公式，得qvB = mWmv由式得R二不当a/2 v Rv a时，在磁场中运动时间最长的粒子，

17、其轨 迹是圆心为。的圆弧，圆弧与磁场的上边界相切，如图 所示.t?R设该粒子在磁场运动的时间为t,依题意t=T/4 ,得/OCA 一设最后离开磁场的粒子的发射方向与y轴正方向的夹角为a,由几何关系可得Rsin a= R-Rsin a= a Rcos a又 sin 2 a+ COS 2 a= 1 由式得R= (2 - - 由得v=(2 )由式得sin a=& aqB答案：(1)(2-) 25. (18分)如图所示，匀强磁场分布 在 0W xw (2+3)a且以直线PQ为下边界的区域内，沿y轴正向的匀 强电场。一质量为m、电荷 量为q的带正电粒子(不计粒 子重力)从电场中一点M ( 2a, 3a)以初速度vo沿x轴 正向射出后，恰好经坐标原点0进入第【象限，最后刚好 不能从磁场的右边界飞出。/ OPQ= 30。y W0的区域内存在着求：(1) 匀强电场的电场强度的大小E;(2) 匀强磁场的磁感应强度的大小B;(3) 粒子在磁场中的运动时间。