弧度制好题训练含详解.docx

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1、5.设集合M = ja| a=竽一,N = a-n a B. P =+ S180,SZ,166JC. D. IpP =1-2kn,k wZ 3,116J3. 下列说法中，错误的是（）A. “度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位1 1B. 1。的角是周角的-,lrad的角是周角的厂3602兀C. Irad的角比1。的角要大D. 用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关4. 已知角a =5,则a是（）A. 第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角C.D. a =(25)71 B(SZ)7. 若一个扇形的半径为2,圆心角为45。，则该扇形的弧长等于（）7inA. B. C. 45兀

2、D. 90k4 28. 电影长津湖中，炮兵雷公牺牲的一幕看哭全网，他的原型是济南英雄孔庆三.因为前沿观察所距敌方阵地较远，需要派出侦察兵利用观测仪器标定目标，再经过测量和计算 指挥火炮实施射击.为了提高测量和计算的精度，军事上通常使用密位制来度量角度，将 一个圆周分为6000等份，每一等份的弧所对的圆心角叫做1密位.已知我方迫击炮连在占 领阵地后，测得敌人两地堡之间的距离是54米，两地堡到我方迫击炮阵地的距离均是 1800米，则我炮兵战士在摧毁敌方一个地堡后，为了快速准确地摧毁敌方另一个地堡，需要立即将迫击炮转动的角度a =（）.注：（口）当扇形的圆心角小于200密位时，扇形的弦长和弧长近似相

3、等;（口）取兀等于3进行计算.A. 30密位B. 60密位C. 90密位D. 180密位9.如图所示的时钟显示的时刻为10：10，将时针与分针视为两条线段，则该时刻的时针与分针（）A.B.23兀36C.11兀18D.7兀7210. 掷铁饼者取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把郑铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，郑铁饼者的手臂长约为彳米，肩宽约为%米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，则郑4 8铁饼者双手之间的距离约为C2*1.41）（）A. 1.01 米B. 1.76 米C. 2.04 米D. 2.94 米11. 已知扇

4、形OAB的面积为1，周长为4,则弦AB的长度为（A. 2sin1B.2siniD. sin212. 中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴.按如下方法剪裁，扇面形状较为美观.从半径为, 的圆面中剪下扇形OAB，使剪下扇形OAB后所剩扇形的弧长与圆周长的比值为重二,再2从扇形OAB中剪下扇环形ABDC制作扇面，使扇环形ABDC的面积与扇形OAB的面积比值为巨二1 .则一个按上述方法制作的扇环形装饰品（如图）的面积与圆面积的比值为 2（）A.多选题B.4C.25 -12二、13.在-360。360范围内，与-410。角终边相同的角是（A.-50B. -40C. 310D.云2)D. 32014（多选）若

5、a是第三象限的角，则问-f可能是（）B.第二象限的角A.第一象限的角C.第三象限的角D.第四象限的角15. 多选题下列说法正确的有（）A. 终边相同的角一定相等B. 钝角一定是第二象限角C. 第一象限角可能是负角D. 小于90的角都是锐角16. 下列说法正确是（）4A. 240 = 3兀B. 1弧度的角比1的角大C.用弧度制量角时，角的大小与圆的半径有关D.扇形的周长为6厘米，面积为2平方厘米，则扇形的圆心角的弧度数为4第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明三、填空题17. 若角a与角P的终边相同，则a-P =.18. 角a的终边落在第一、三象限角平分线上，则角a的集合是.19. 已

6、知角a,P的终边关于原点对称，则a,P间的关系为.20. 用弧度制表示终边落在第二象限的角的集合为.21 .终边在x轴正半轴上所有角a的集合为.(用弧度制表示)22. 若角a与角P的终边关于y轴对称，则a与P的关系式为.23. 你在忙着答题，秒针在忙着“转圈”，现在经过了 1小时，则分针转过的角的弧度数是24. 若圆的一条弧长等于这个圆的内接正三角形边的一半，则这条弧所对的圆心角的 弧度数为.25. 给出下列说法：(1) 弧度角与实数之间建立了对应；(2) 终边相同的角必相等；(3) 锐角必是第一象限角；(4) 小于口*的角是锐角；(5) 第二象限的角必大于第一象限角，其中正确的是(把所有正确

7、说法的序号都填上).四、双空题26. 如果将钟表拨快10分钟，则时针所转成的角度是 ，分针所转成的角度 是 度.27. 若角a和月的终边满足下列位置关系，试写出a和月的关系式：(1) 重合：；(2) 关于x轴对称： .28. (1)若角9的终边与角a的终边关于x轴对称，则0+a=；(2)若角y的终边与角a的终边关于y轴对称，则Y+a=.29. 与2 019。角的终边相同的最小正角是，绝对值最小的角是.30. 已知一个扇形的弧长等于其所在圆半径的2倍，则该扇形圆心角的弧度数为，若 该扇形的半径为1,则该扇形的面积为.五、解答题31. 将下列角度与弧度进行互化.(1) 20。(2)15(3) 巫

8、rad1211兀,(4) rad 32.把下列各角化成a+2kn ( 0 2n , k g Z )的形式，并分别指出它们是第几象限角：(1)答6(2) 1500 ；(4) 672.33. 用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(包括边界，如图所示).(1) 34. 已知 a=800.(1)把a改写成EkngZQ郅0)当侦为多少弧度时，该扇形面积最大？参考答案:1. D【解析】 【分析】 根据弧度与角度间的互化即可求出答案.【详解】_ .一一 兀、一 _ 31 兀因为1860。= 5x360。+ 60。，所以1860转化为弧度数为5x2兀+= rad，即r

9、ad.I 3)3故选：D.2. D【解析】【分析】将150化为弧度，利用终边相同的角的定义可得结果.【详解】因为150 = 150 x兰=斗，故与150角的终边相同的角的集合为P P = 57 + 2k兀,k g Z.1806I 6故选：D.3. D【解析】【分析】利用角度和弧度的定义及转化关系分别进行判断即可.【详解】根据角度和弧度的概念可知二者都是角的度量单位，1 1, 一1。的角是周角的E，1湖的角是周角的厂，故A、B正确；3602兀1801rad的角是()。7.30。1。，故C正确； 兀无论哪种角的度量方法，角的大小都与圆的半径无关，只与角的始边和终边的位置有关，故D错误.故选：D4.

10、 D【解析】【分析】 把弧度制化成角度制，再判断其所在象限.【详解】 因为5 a 5x57.30 =286.5,所以a是第四象限角.故选：D.5. A【解析】【分析】 将集合中的a代入集合N中的不等式中，得到关于上的不等式，解不等式得出上的范 围，进而可得a的值.【详解】, kn nFR 丸 71 ,2 3得* 轴对称，可得a + P =7i + 2S/eZ,艮pa=(2L + l)K。(上 eZ).故选：D.7. B【解析】【分析】求圆心角的弧度数，再由弧长公式求弧长.【详解】口圆心角为45，兀口圆心角的弧度数为一，又扇形的半径为2, 4在 在口该扇形的弧长l = x2 =，故选：B.8.

11、A【解析】 【分析】求出1密位对应的弧度，进而求出转过的密位.【详解】, 一, 一 、,、2 n 1 、,、一、. 一.一有题意得：1密位=n =-，因为圆心角小于200密位，扇形的弦长和弧长近似相 6000 1000一 543 一， 31 、等，所以a =司有=不，因为苗.向 =30，所以迫击炮转动的角度为30密位. 1800 100100 1000故选：A9. B【解析】【分析】 根据钟表求出“10”至“2”所夹的钝角，再求出时针偏离“10”的度数，进而即可得出结果.【详解】在2丸.在 1 在因为“10”至“2”所夹的钝角为-x4 = 2-，时针偏离“10”的角度为-x 1 =-，所以时针

12、与636 6 36分针的夹角应为2-=籍，3 3636故选：B.10. B【解析】 【分析】 先由题意求出“弓”所在的弧长所对的圆心角，然后利用三角函数求弦长 【详解】 由题意得，“弓所在的弧长为I =77 + 77 + 3 =二,4 4 885兀所以其所对的圆心角以的绝对值为吉壬，5 24所以两手之间的距离d = 2R sin -=、冗x 1.25 1.76 .4故选：BC11. A【解析】【分析】 由题意代入扇形的面积与周长公式列式计算得扇形的半径与弧长，从而得圆心角，再利用三角函数计算弦长.【详解】、，,lr = 1l = 21设扇形的半径为r，弧长为1，则（ 2 n，所以可得圆心角为史

13、=2，过点O作1 + 2r = 4 =1rOH AB 于 h，则 2AOH = 1rad，所以 AB = 2AH = 2x 1xsin1 = 2sin1 .故选：A12. D【解析】【分析】 记扇形OAB的圆心角为a，扇形OAB的面积为S1，扇环形ABDC的面积为S/圆的面积为S，根据扇形面积公式，弧长公式，以及题中条件，即可计算出结果【详解】 记扇形OAB的圆心角为a，扇形OAB的面积为S1，扇环形ABDC的面积为q，圆的面积 为S， 由题意可得，S1 = 2r2a，% = : ，S =兀 r2,1所以S2S因为剪下扇形OAB后所剩扇形的弧长与圆周长的比值为盘三，2所以2兀r - r =匹三

14、，则a =(3 K ，2兀r2所以鸟 15- =土土!% =- 5 - 3 +、号=就_S4兀4兀4故选：D.13. AC【解析】【分析】利用终边相同的角的定义求解.【详解】因为50。= 410。+ 360， 310。= 410。+ 2 x 360，所以与410角终边相同的角是50和310， 故选：AC.14. AC【解析】【分析】根据角限角的定义得出角的范围，再运用不等式的性质可得选项【详解】解：由于以是第三象限的角，故180+ k360V以 270+ k360, kZ，以所以 90 + k 180 一 135 + k 180 ,k g Z，2a .所以 45 k 180 180 90 k

15、180 , k g Z . 2当k为偶数时，180 为第一象限角； 2当k为奇数时，180。为第三象限角. 2所以180。-可能是第一象限角，也可能是第三象限角. 2故选：AC.15. BC【解析】【分析】对于A：取特殊角30和390.即可否定结论；对于B：由第二象限角的范围直接判断；对于C：取特殊角一330即可判断；对于D：取特殊角一45角进行否定结论.【详解】对于A：终边相同的角不一定相等，比如30和390.故A不正确；对于B：因为钝角的大小在（90。,180。），所以钝角一定是第二象限角，故B正确；对于C：如一330角是第一象限角，所以C正确；对于D： 4590。，-45角它不是锐角，所

16、以D不正确.故选：BC.16. AB【解析】【分析】根据角度制与弧度制的相互转化即可判断AB，根据弧度制的定义即可判断C，根据扇形 的弧长公式和面积公式即可判断D.【详解】，一 .一2404 一解：对于A, 240。=顽兀=-k，故A正确； 1803180。对于B, 1rad =1。，故B正确；兀对于C，用弧度制量角时，角的大小与圆的半径无关，故C错误；对于D，设扇形的圆心角为a，半径为r，因为扇形的周长为6厘米，面积为2平方厘米，|aR + 2 R = 6r R = 2 f R = 1则有1 1c ，解得1或1即扇形的圆心角的弧度数为4或1，故D错误.-a R 2 = 2a = 1 a =

17、42故选：AB.17. k -360% g Z) # 2klk g Z)【解析】【分析】根据终边相同的角的定义直接写出即可.【详解】因与角P终边相同连同角P在内的角的集合为们0 = P+ k - 360。侬g Z)，而角 a 与角 P 的终边相同，则 a = p+ k - 360(kG Z)，即 a-p= k - 360(k g Z)，所以 a-p = k - 360。伏 g Z).故答案为：k - 360o(k g Z)18. h|a= 45。+ k-180, k g Z【解析】【分析】分别写出终边落在第一、三象限角平分线上的角a的集合，再求这两个集合的并集即可.【详解】终边落在第一象限角平

18、分线上的角a的集合为板 a = 45 + k -360,k g Z)=(x|a = 45 + 2k -180。,k g Z)，终边落在第三象限角平分线上的角a的集合为a a = 225 + k -360,k g z= (a h = 45 + (2k +1)-180。,k g Z)，于是有(x= 45。+ k - 360。, k g Z)u (x 侦=225。+ k - 360。, k g Z)=x|a = 45。+ k 180。, k g z, 所以角a的集合是b|a= 45。+ k180。, k g Z.故答案为： (a a = 45。+ k .180。, k g Z19. a-p = (2

19、k-1)180o(k gZ)【解析】【分析】由题设a-P是180。的奇数倍，写出a-P的集合即可.【详解】由题意，a-p为180。的奇数倍， a-p = (2k- 1)180o(k gZ).故答案为：a-p= (2 k -1) 180o(k g Z)20. +2k兀,兀+ 2k兀(k g Z )12J【解析】【分析】根据第二象限的角的特点进行求解即可.【详解】终边落在第二象限的角的集合为：f +2k， + 2k (k g Z),k2J故答案为：f +2k,+2k兀(kGZ)k2J21. (a | a = 2k, k g z【解析】【分析】根据终边相同的角的特征即可得到答案.【详解】终边在x轴正

20、半轴上所有角a的集合为(x I x = 0 + 2k,k g Z=(x I x = 2k,k g Z.故答案为： (x I x = 2k, k g Z22. a + p = 2k + (k g Z)【解析】【分析】由角兀-a与角a终边关于J轴对称可得角兀-a与角P的终边相同，再结合终边相同的角 的关系即可得解.【详解】因角兀-a与角a终边关于y轴对称，而角a与角P的终边关于J轴对称，则角兀-a终边与角P的终边相同，于是得P=（兀-a） + 2k兀,k e Z，即a + p = n + 2kn, k e Z，所以a与P的关系式为a + p=2k兀+兀（k eZ）.故答案为：a + P = 2k兀

21、+兀（k e Z） 23. -2兀【解析】【分析】根据1小时，分针针转过1周，一个周角为2兀，即可得到答案.【详解】由于经过1小时，分针转过1个周角，因周角为2兀，又顺时针旋转得到的角是负角，故分针转过的角的弧度数是-2兀.故答案为：-2兀.【点睛】本题考查的知识点是弧度制，属于基础题.24. 工2【解析】【详解】设圆的半径为,，正三角形的边长为。，2 2 3则r =a x-=a，2 331 、./3r 。3 a = *3r，口这条弧所对的圆心角的弧度数a = -ar =孚=T.2 2 r2故答案为归225. (1) (3)【解析】【详解】口角的弧度数是与实数一一对应的，(1)正确；终边相同的

22、角有无数个，它们的关系可能相等，也可能不等，(2)不正确；锐角一定是第一象限角，但第一象限角不一定是锐角，(3) 正确；小于：二的角可能是负角，(4)不正确；象限角不能比较大小，(5)不正确.口(1) (3)是正确的.考点：弧度制；终边相同的角；象限角、轴线角.26. -560【解析】【详解】由题意结合任意角的定义可知，钟表拨快10分钟，则时针所转成的角度是-史x也=-5，6012分针所转成的角度是-10 x 360 =-60.60点睛：角的概念中要注意角的正负，特别是表的指针所成的角要分清楚究竟是顺时针问题 还是逆时针问题.27. a = k360+(kUZ) a = k-360(kDZ)【

23、解析】【详解】据终边相同角的概念，数形结合可得：(1) a = k360+(k1Z)，(2) a = k360 (kDZ).28. k 360。，k e Z(2k +1)-180, k e Z【解析】(1)设角P与角a的终边相同，用角P表示a，-p表示角0，根据终边相同的角即可求出(2) 设角P与角a的终边相同，则180-P与P关于 轴对称，根据终边相同的角写出Y，a即可求解.【详解】设角P与角a的终边相同，则-P与P关于x轴对称，根据终边相同角的表示，可得a = P+ k - 360 k e Z ,6 =-P+ k - 360。，k g Z, 1，1，22故e+a = (-p+ k -360

24、)+ (p + k -360。)=。+ k ). 360 = k-360,k eZ.2112故答案为：k. 360, k e Z .(2)设角p与角a的终边相同，则180-P与P关于y轴对称.根据终边相同角的表示，可得a = P+ k . 360, k e Z, y= 180-P+ k - 360 , k e Z . 3344故Y+a = (180 p+ k4 . 360)+(p+ k3 -360)=2(k3 + k4)+ 1180 =(2k +1).180,k e Z .故答案为：(2k +1).180, k e Z【点睛】本题主要考查了终边相同的角及角的终边的对称性，属于中档题29. 21

25、9141【解析】【分析】利用终边相同的角求解.【详解】与2 019角的终边相同的角为2 019+k360(k1Z).当k=5时，219为最小正角；当k=6时，一141为绝对值最小的角.故答案为：219，14130. 21【解析】根据弧度制的定义以及扇形面积公式，求得圆心角的弧度数以及扇形的面积【详解】根据弧度制的定义可知该扇形圆心角的弧度数为2，由扇形的面积公式得S= 2. |a |. r 2 = 2 x 2 x12 = 1.故答案为：(1). 2(2). 1【点睛】本小题主要考查弧度制的定义和扇形面积公式，属于基础题.兀31. (1) 20 =5 rad一冗(2) -15 = -12 rad

26、(3) 四 rad=10512(4) - 5 rad= 一 396【解析】【分析】一 一 c 对于（1）、（2）根据1=- rad，可将角度转化为弧度;180180对于（3）、（4）根据1 rad=，可将弧度转化为角度.(1) 20。=20 x 10 rad= ； rad (2)-15= -15 x rad = -rad18012(3)7 n 7 180 rad=x =1051212(4)11 rad=-也x 姬=-396。5532. 答案见解析【解析】 【分析】 先化为a+2kn的形式，再判断象限.【详解】八、23 c 11（1）=2+ 6 611 一 .23一. . .二一是第四象限角，二

27、一是第四象限角.6 6-/5 兀(2) .-1500。=-5x360。+ 300。=-1顷+ 3-1500。是第四象限角.(3)18k7c 4k ，=2兀=4兀710k7IOti 3兀18兀曰由一兀 - 入巳弟二象F艮角,7 27(4) .672。=360。+312。=2兀+任兀,二 672。是第四象限角.33.,71,71 ,akTi + CLk7i + ,keZ62715兀a I 2kn- a ,715ti所以终边落在阴影部分内的角的集合为：a I2foi-z .I612Jjr7tT因为 30 = rad , 210 = rad , 6671 由图(2)知：以射线Q4为终边的角为5 =P

28、IP =2nn + -,neZ, 36以射线08为终边的角为S =Iplp=2fi7i + ,nezL3 L6 J所以终边在直线A3上的角为：Z-Xf4 =u P I P =(2n + 1)ti + ,neZ-矿、71同理终边在y轴上的角为1 P I P =kn + -,k eZ,7171所以终边落在阴影部分内的角的集合otl7i + -ot7i + -,eZk 6234. (l)a=号兀+(3)x2;i,a是第四象限角；(2)丫=一村【解析】【详解】试题分析:由题意一800=3x360+280，而280=号们据此可得：a= ?兀+(-3)x 2兀，以是第 四象限角；14.一、一.一 ,一 4

29、(2)由题意结合(1)的结论可知y=2kn+兀，kIZ，结合题意，则取k= 1得y=-兀. 试题解析：(1) 口一800=3x360+280, 280 = n, a= _800=+(3)x2n. a与角二终边相同，口。是第四象限角.(2) 口与a终边相同的角可写为2kn+ ，kIZ的形式，而Y与a的终边相同，口广？*“*I4n，kOZ. n 心 n ,I4n n ，一又 Y口寸,，、2kn+ 2依且仅当M =总即a = 2时周长取得最小值4困 -a36. (1)号一4勇；(2) a= 2 .【解析】 【分析】S = L 一、，即可求其面积;(2)由题意得ar + 2r = c，扇形面积S =竺

30、2利用基本不等式求其最大值，确定最大值时a的值即可.【详解】(1)由题意，如下图示CD = 2，令圆弧的半径为R，ZAOB =当， OD = Rcos=，即 CD = OC OD = R = 2，得R = 4，3 22口弧田面积S = S Sa =1 兀R2 1 OD. AB，而 AB =、赤，OACB AOB 32 S =匝-T.3(2)由题意知：弧长AOB为ar，即该扇形周长ar + 2r = c，而扇形面积S =竺， 2a c 2c 2c 2S =:V =口2(a + 2)2购 4: 4 16当且仅当a = 2时等号成立.2(a + )+ 8 4 ,a + 8aa当a = 2时，该扇形面积最大.【点睛】关键点点睛：(1) 根据“矢”的定义，结合扇形中弦、半径、圆心角的关系求其半径，进而由面积关系求 弧田面积即可；(2) 由扇形周长、面积公式列出扇形面积S关于圆心角a的函数，应用基本不等式求最值 并确定等号成立的条件.