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1、第8章理想流体的有旋流动和无旋流动,8.1 微分形式的连续方程,控制体的选取:,边长为dx，dy，dz的微元平行六面体。,形心坐标：x,y,z,三方向速度：vx,vy,vz,密度：,一、微分形式的连续方程,8.1 微分形式的连续方程,x轴方向流体质量的流进和流出,左面微元面积流入的流体质量：,右面微元面积流出的流体质量：,x轴方向流体的净流出量：,8.1 微分形式的连续方程,y轴方向流体的净流出量：,同理,y、z轴方向流体质量的流进和流出,z轴方向流体的净流出量：,x轴方向流体的净流出量：,8.1 微分形式的连续方程,每秒流出微元六面体的净流体质量,微元六面体内密度变化引起的每秒的流体质量的变
2、化,微分形式的连续方程,8.1 微分形式的连续方程,二、其它形式的连续方程,矢量形式：,可压缩流体的定常流动：,不可压缩流体的定常或非定常流动：,8.1 微分形式的连续方程,二、其它形式的连续方程（续）,二维可压缩流体的定常流动：,二维不可压缩流体的定常或非定常流动：,8.2 流体微团运动的分解 有旋流动和无旋流动,流体和刚体的主要不同在于它有流动性，极易变形。因此，流体微团在运动过程中不仅像刚体那样可以有移动和转动，而且还会发生变形运动。,控制体的选取:,边长为dx，dy，dz的微元平行六面体。,M点处速度：,一、流体微团上各点速度的表示,同时加减等于零的数,点A,点B,点D,点C,8.3
3、理想流体的运动微分方程,一、欧拉运动微分方程式,控制体的选取:,边长为dx，dy，dz的微元平行六面体。,形心坐标：x,y,z,三方向质量力：fx,fy,fz,压强：p,8.3 理想流体的运动微分方程,一、欧拉运动微分方程式(续),x轴方向的受力,左面中心受力：,右面中心受力：,质量力：,x方向的运动微分方程：,8.3 理想流体的运动微分方程,一、欧拉运动微分方程式(续),同理,y、z方向的运动微分方程。,欧拉运动微分方程式,矢量形式,8.3 理想流体的运动微分方程,一、欧拉运动微分方程式(续),8.3 理想流体的运动微分方程,二、兰姆运动微分方程式,8.3 理想流体的运动微分方程,二、兰姆运
4、动微分方程式(续),兰姆运动微分方程式,兰姆运动微分方程式直接反映了流体流动的特性.即不仅包含线速度,也包含角速度.,理想流体流动的定解条件,表述流动的方程(4个),方程中的未知量(5个),补充方程:,或,一、起始条件,起始瞬时所给定的流场中每一点的流动参数。,定常流动：,无需起始条件。,非定常流动：,必须起始条件。,二、边界条件,任一瞬时运动流体所占空间的边界上所必须满足的条件,固体壁面上的运动学条件:,不同流体交界面上的运动学条件：,不同流体交界面或固体壁面上的动力学条件：,固体壁面静止,8.4 欧拉积分式和伯努利积分式 伯努利方程,一、两个积分式的前提条件,(1)流动是定常的,(2)质量
5、力是有势的,(3)流体不可压缩，流体是正压流体,1.前提条件,8.4 欧拉积分式和伯努利积分式 伯努利方程,一、两个积分式的前提条件(续),2.常见的正压流体,(1)等温流动的可压缩完全气体,(2)绝热流动的可压缩完全气体,(3)不可压缩流体,8.4 欧拉积分式和伯努利积分式 伯努利方程,一、两个积分式的前提条件(续),3.前提条件下的兰姆方程,8.4 欧拉积分式和伯努利积分式 伯努利方程,二、欧拉积分式,无旋流动,8.4 欧拉积分式和伯努利积分式 伯努利方程,二、欧拉积分式(续),方程组三式分别乘以任意微元线段的三个轴向分量dx,dy,dz后再相加,欧拉积分式,物理意义：非粘性的不可压缩流体
6、和可压缩的正压流体，在有势的质量力作用下作无旋流动，流场中任一点的单位质量流体质量力的位势能、压强势能和动能的总和保持不变，且这三种机械能可以相互转换。,8.4 欧拉积分式和伯努利积分式 伯努利方程,三、伯努利积分式,有旋流动,8.4 欧拉积分式和伯努利积分式 伯努利方程,二、伯努利积分式(续),方程组三式分别乘以某一条流线上任一微元线段的三个轴向分量dx,dy,dz,三式相加,8.4 欧拉积分式和伯努利积分式 伯努利方程,二、伯努利积分式(续),伯努利积分式,物理意义：非粘性的不可压缩流体和可压缩的正压流体，在 有势的质量力作用下作有旋流动时，沿同一条流线上各点单位质量流体质量力的位势能、压
7、强势能和动能的总和保持不变，且这三种机械能可以相互转换。,8.4 欧拉积分式和伯努利积分式 伯努利方程,三、伯努利方程,伯努利方程,质量力仅仅是重力,不可压缩流体,物理意义：在重力作用下不可压缩理想流体作定常流动时，对于有旋流动，沿同一条流线单位质量流体的位势能、压强势能和动能的总和保持不变；对于无旋流动，在整个流场中总机械能保持不变.,8.6 涡线 涡管 涡束 涡通量,一、涡线,一条曲线，在给定瞬时，这条曲线上每一点的切线与位于该点的流体微团的角速度的方向相重合。,涡线的微分方程,8.6 涡线 涡管 涡束 涡通量,二、涡管,在给定瞬时，在涡量场中任取一不是涡线的封闭曲线，通过封闭曲线上每一点
8、作涡线，这些涡线形成一个管状表面。,三、涡束,涡管中充满着作旋转运动的流体,四、涡通量,旋转角速度的值与垂直于角速度方向的微元涡管横截面积的乘积的两倍。,8.7 速度环量 斯托克斯定理,一、速度环量,速度在某一封闭周线切线上的分量沿该粉笔周线的线。,速度环量是标量，其正负号不仅与速度的方向有关，而且与线积分的绕行方向有关规定沿封闭周线绕行的正方向为逆时针方向。,8.7 速度环量 斯托克斯定理,二、斯托克斯定理,1.微元封闭周线的斯托克斯定理,沿微元封闭周线的速度环量等于通过该周线所包围的面积的涡通量。,证明:,8.7 速度环量 斯托克斯定理,二、斯托克斯定理(续),3.空间表面上的斯托克斯定理,沿空间任一封闭周线的速度环量等于通过该周线上的空间表面的涡通量。,8.8 汤姆孙定理 亥姆霍兹旋涡定理,一、汤姆孙定理,正压性的理想流体在有势的质量力作用下沿任何由流体质点组成的封闭周线的速度环量不随时间而变化。,8.8 汤姆孙定理 亥姆霍兹旋涡定理,二、亥姆霍兹旋涡定理,1.亥姆霍兹第一定理,在同一瞬间涡管各截面上的涡通量都相同,2.亥姆霍兹第二定理,正压性的理想流体在有势的质量力作用下，涡管永远保持为由相同流体质点组成的涡管。,3.亥姆霍兹第三定理,在有势的质量力作用下，正压性的理想流体中任何涡管的强度不随时间而变化，永远保持定值。,
