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1、26.2用函数观点看一元二次方程,二次函数,定义：一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a0)的函数叫做x的二次函数。图象：是一条抛物线。图象的特点：（1）有开口方向，开口大小。（2）有对称轴。（3）有顶点（最低点或最高点）。,二次函数y=ax2的图象与二次函数y=ax2+k的图象的关系,二次函数y=ax2+k的图象可由二次函数y=ax2的图象向上（或向下）平移得到：当k0时，抛物线y=ax2向上平移k的绝对值个单位，得y=ax2+k当k0时，抛物线y=ax2向下平移k的绝对值个单位，得y=ax2+k,y=2x2,y=2x2-2,y=2x2+2,二次函数y=ax2的图象与二次函数
2、y=a(x-h)2的图象的关系,二次函数y=a(x-h)2的图象可由二次函数y=ax2的图象向左（或向右）平移得到：当h0时，抛物线y=ax2向左平移h的绝对值个单位，得y=a(x-h)2当h0时，抛物线y=ax2向右平移h的绝对值个单位，得y=a(x-h)2,二次函数y=ax2的图象与二次函数y=a(x-h)2+k的图象的关系,二次函数y=a(x-h)2+k的图象可由抛物线y=ax2向左(或向右)平移h的绝对值个单位,在向上(或向下)平移k的绝对值个单位而得到.,在对称轴的右侧，即当x-时，y随x的增大而增大。简记左减右增。抛物线有最低点，当x=-时，y最小值=,二次函数y=ax2+bx+c
3、的性质,当a0时：抛物线开口向上。对称轴是x=-,顶点坐标是（-，)当a0时,在对称轴的左侧，即当x-时，y随x的增大而减小；,在对称轴的右侧，即当 x-时，y随x的增大而减小。简记左增右减。抛物线有最高点，当x=-时，y最大值=,当a 0时：抛物线开口向下。对称轴是x=-,顶点坐标是(-，)在对称轴的左侧，即当x-时，y随x的增大而增大；,引言,在现实生活中，我们常常会遇到与二次函数及其图象有关的问题。如：被抛射出去的物体沿抛物线轨道飞行；抛物线形拱桥的跨度、拱高的计算等利用二次函数的有关知识研究和解决这些问题，具有很现实的意义。本节课，我将和同学们共同研究解决这些问题的方法，探寻其中的奥秘
4、。,复习.,1、一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况可由 确定。,0,=0,0,有两个不相等的实数根,有两个相等的实数根,没有实数根,b2-4ac,活动1,2、在式子h=50-20t2中，如果h=15，那么 50-20t2=，如果h=20，那50-20t2=，如果h=0，那50-20t2=。如果要想求t的值，那么我 们可以求 的解。,15,20,0,方程,问题1:如图,以 40 m/s的速度将小球沿与地面成 30度角的方向击出时,球的飞行路线是一条抛物线,如果不考虑空气阻力,球的飞行高度 h(单位:m)与飞行时间 t(单位:s)之间具有关系:h=20 t 5 t2 考虑下列问题:(1)球
5、的飞行高度能否达到 15 m?若能,需要多少时间?(2)球的飞行高度能否达到 20 m?若能,需要多少时间?(3)球的飞行高度能否达到 20.5 m?若能,需要多少时间?(4)球从 飞出到落地 要用多少时间?,活动2,h=0,0=20 t 5 t2,解：（1）解方程15=20t-5t2 即：t2-4t+3=0 t1=1,t2=3 当球飞行1s和3s时，它的高度为15m。,（2）解方程20=20t-5t2 即：t2-4t+4=0 t1=t2=2 当球飞行2s时，它的高度为20m。,（3）解方程20.5=20t-5t2 即：t2-4t+4.1=0 因为(-4)2-44.10，所以方程无解，球的飞行
6、高度达不到20.5m。,（4）解方程0=20t-5t2 即：t2-4t=0 t1=0,t2=4 球的飞行0s和4s时，它的高度为0m。即 飞出到落地用了4s。,你能结合图形指出为什么在两个时间球的高度为15m吗？,那么为什么只在一个时间求得高度为20m呢？,那么为什么两个时间球的高度为零呢？,那么从上面，二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程?它们的关系如何?,一般地，当y取定值时，二次函数为一元二次方程。,如：y=5时，则5=ax2+bx+c就是一个一元二次方程。,自由讨论,练习一：如图设水管AB的高出地面2.5m，在B处有一自动旋转的喷水头，喷出的水呈抛物线状，可用二次函数y=-0
7、.5x2+2x+2.5描述，在所有的直角坐标系中，求水流的落地点D到A的距离是多少？,解：根据题意得-0.5x2+2x+2.5=0，解得x1=5，x2=-1(不合题意舍去)答：水流的落地点D到A的距离是5m。,分析：根据图象可知，水流的落地点D的纵坐标为0，横坐标即为落地点D到A的距离。即：y=0。,想一想，这一个旋转喷水头，水流落地覆盖的最大面积为多少呢？,1、二次函数y=x2+x-2,y=x2-6x+9,y=x2 x+1的图象如图所示。,问题2,(1).每个图象与x轴有几个交点？(2).一元二次方程?x2+x-2=0,x2-6x+9=0有几个根?验证一下一元二次方程x2 x+1=0有根吗?
8、(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与 一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?,答：2个，1个，0个,边观察边思考,分析,b2 4ac 0,b2 4ac=0,b2 4ac 0,O,X,Y,2、二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点,则b2-4ac的情况如何。,二次函数与一元二次方程的关系,（1）如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0,那么当x=x0时，函数值为0，因此x=x0就是方程y=ax2+bx+c的一个根,2、二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点 情况如何？（b2-4ac如何）,二次函数与一元二次方程,b2 4ac
9、 0,b2 4ac=0,b2 4ac 0,思考：若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则 b2-4ac.,0,（1）有两个交点,（方程有两个不相等的实数根）,（2）有一个交点,（方程有两个相等的实数根）,（3）没有交点,（方程没有实数根）,.求抛物线与y轴的交点坐标;与x轴的两个交点间的距离.何时y0?,练习.已知抛物线yx2 m xm.,(2)若抛物线与y轴交于正半轴，则m_；,(1)若抛物线经过坐标系原点，则m_；,(3)若抛物线的对称轴为y轴，则m_。,(4)若抛物线与x轴只有一个交点，则m_.,=1,1,=2,=0,、不论x为何值时，函数y=ax2+bx+c（a0）的值永远为正的条
10、件是_,a0,0,试一试,C,A,?,练习:看谁算的又快又准。,1.不与x轴相交的抛物线是()A y=2x2 3 B y=-2 x2+3 C y=-x2 2x D y=-2(x+1)2-3,2.如果关于x的一元二次方程 x2-2x+m=0有两个相等的实数根,则m=,此时抛物线 y=x2-2x+m与x轴有 个交点.,3.已知抛物线 y=x2 8x+c的顶点在 x轴上,则c=.,D,1,1,16,4.抛物线y=x2-3x+2 与y轴交于点,与x轴交于点.,(0,2),1.抛物线y=2x2-3x-5 与y轴交于点,与x轴交于点.,2.一元二次方程 3 x2+x-10=0的两个根是x1=-2,x2=5
11、/3,那么二次函数y=3 x2+x-10与x轴的交点坐标是.,归纳：一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1,x2,则抛物线 y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标是(x1,0),(x2,0),(0,-5),(5/2,0)(-1,0),(-2,0)(5/3,0),(4)已知二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示,则一元二次方程ax+bx+c=0的解是.,X,Y,0,5,2,2,(5)若抛物线y=ax2+bx+c,当 a0,c0时,图象与x轴交点情况是()A 无交点 B 只有一个交点 C 有两个交点 D不能确定,C,X1=0，x2=5,5.如图,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线 x
12、=-1,由图象知,关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.3,x2=,6.已知抛物线y=kx2-7x-7的图象和x轴有交点，则 k的取值范围（）,-3.3,B,5.根据下列表格的对应值:判断方程ax2+bx+c=0(a0,a,b,c为常数)一个解x的范围是()A 3 X 3.23 B 3.23 X 3.24C 3.24 X 3.25 D 3.25 X 3.26,C,例：已知二次函数y=2x2-(m+1)x+m-1,(1)求证：无论m为何值，函数y的图像与x轴总有交点，并指出当m为何值时，只有一个交点。,（2）当m为何值时，函数y的图像经过原点。,（3）指出（2）的图像中，使y0
13、时，x的取值范围及使y0时，x的取值范围,例2：王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞行路线满足抛物线，其中y（m）是球的飞行高度,x（m）是球飞出的水平距离，结果球离球洞的水平距离还有2m（1）请写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴（2）请求出球飞行的最大水平距离（3）若王强再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路线应满足怎样的抛物线，求出其解析式,解：（1）抛物线 开口向下，顶点为，对称轴为（2）令，得：解得：，球飞行的最大水平距离是8m（3）要让球刚好进洞而飞行最大高度不变，则球飞行的最大水平距离为10m 抛物线的对称轴为，顶点为 设此时对应的抛物线解
14、析式为 又 点 在此抛物线上，,练习,C,A,请你把这节课你学到了东西告诉你的同 桌，然后告诉老师？,二次函数与x轴的交点的横坐标是一元二次方程的解,讨 论,这节课应有以下内容：,走近中考,1.已知函数 的图象如图所示，那么关于 的方程 的根的情况是（）,A无实数根 B有两个相等实根C有两个异号实数根 D有两个同号不等实数根,D,2.抛物线 与轴只有一个公共点，则m的值为,8,3.如图，抛物线 的对称轴是直线 且经过点（3，0），则 的值为()A.0 B.1 C.1 D.2,A,4.二次函数 的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程 的两个根（2）写出不等式 的解集（3）写出y随x的增大而减小的自变量的取值范围（4）若方程 有两个不相等的实数根，求的取值范围,3,2,5.杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体(看成一点)的路线是抛物线（1）求演员弹跳离地面的最大高度；（2）已知人梯高BC3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由。,的一部分，如图,解（1）=,函数的最大值是,答：演员弹跳的最大高度是,米,（2）当x4时，,3.4BC，所以这次表演成功。,升华提高,体会两种思想：,数形结合思想,弄清一种关系-函数与一元二次方程的关系,分类讨论思想,
