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1、标量场和矢量场,标量场的梯度,矢量场的通量与散度,矢量场的环量与旋度,亥姆霍兹定理,电磁场的特殊形式,电磁场与电磁波,Vector Analysis（矢量分析）,1 标量场和矢量场,补充：01.矢性函数,在二维空间或三维空间内的任一点P，它是一个既存在大小(或称为模)又有方向特性的量，故称为实数矢量，一般用黑体A表示。,若用几何图形表示，它是从该点出发画一条带有箭头的直线段，直线段的长度表示矢量A的模，箭头的指向表示该矢量A的方向。,矢量一旦被赋予物理单位，便成为具有物理意义的矢量，如电场强度E、磁场强度H、速度v等等。,而在实际问题中遇到的更多的是模和方向或两者之一会发生变化的矢量，这种矢量
2、我们称为变矢，如沿着某一曲线物体运动的速度v等。,若某一矢量的模和方向都保持不变，此矢量称为常矢，如某物体所受到的重力。,设t是一数性变量，A为变矢，对于某一区间Ga,b内的每一个数值t,A都有一个确定的矢量A(t)与之对应，则称A为数性变量t的矢性函数。记为,而G为A的定义域。矢性函数A(t)在直角坐标系中的三个坐标分量都是变量t的函数，分别为Ax(t)、Ay(t)、Az(t)，则矢性函数A(t)也可用其坐标表示为,其中ex、ey、ez为x轴、y轴、z轴正向单位矢量。,终点一般称为矢性函数A(t)的矢端曲线。,图1-1 直角坐标系中一点的投影,1）标量积任意两个矢量A与B的标量积(Scala
3、r Product)是一个标量，它等于两个矢量的大小与它们夹角的余弦之乘积，如图1-2所示，记为,图1-2 标量积,02.矢量的乘积,矢量的乘积包括标量积和矢量积。,AB=AB cos,任意两个矢量A与B的矢量积（Vector Product）是一个矢量，矢量积的大小等于两个矢量的大小与它们夹角的正弦之乘积，其方向垂直于矢量A与B组成的平面，如图1-3所示，记为,矢量的叉积不服从交换律，但服从分配律,AB=-BA,2）矢量积,C=AB=enAB sin en=eAeB（右手螺旋）,图 1-3 矢量积的图示及右手螺旋(a)矢量积(b)右手螺旋,1.标量场和矢量场,场：如果在某一空间区域内的每一点
4、，都对应着某个物理量的一个确定的值，则称在此区域内确定了该物理量的一个场。,换句话说，在某一空间区域中，物理量的无穷集合表示一种场。如在教室中温度的分布确定了一个温度场，在空间电位的分布确定了一个电位场。（物理量的值可相等）,场的一个重要的属性是它占有一定空间，而且在该空间域内，除有限个点和表面外，其物理量应是处处连续的。,若该物理量与时间无关，则该场称为静态场；若该物理量与时间有关，则该场称为动态场或称为时变场。,场是一个标量或一个矢量的位置函数，即场中任一个点都有一个确定的标量或矢量。,例如，在直角坐标下：,标量场,在研究物理系统中温度、压力、密度等在一定空间的分布状态时，数学上只需用一个
5、代数变量来描述，这些代数变量(即标量函数)所确定的场为标量场，如温度场T(x,y,z)、电位场(x,y,z)、高度场等。,矢量场,然而在许多物理系统中，其状态不仅需要确定其大小，同时还需确定它们的方向，这就需要用一个矢量场来描述。例如电场、磁场、流速场等等。,其方程为:,图0.1.1 等高线,(1)标量场-等值线(面),形象描绘场分布的工具场线,思考,在某一高度上沿什么方向高度变化最快？,2.标量场的等值面,该曲面上任一点的函数值相等等值面充满了场所在的空间,是单值函数，因此等值面不相交,三维场,二维场,图0.1.2 矢量线,3矢量场-矢量线（力线）,其方程为：,在直角坐标下：,目的：形象地描
6、绘矢量场A的分布,特点：(1)它上面每一点处的切线方向都与矢量场在该点的方向相同(2)矢量场中的矢量线也充满了整个场域，但它们互不相交,图 1-4 矢量场的矢量线,物理意义：矢量线和场量的变化方向一致,矢量管：通过场域某一曲面s上的所有点的矢量线的全体构成的管状区域。,图 1-5 矢量管,0.2 标量场的梯度 Gradient of Scalar Field,1.方向导数：设一个标量函数(x，y，z)，若函数 在点 P 可微，则 在点P 沿任意方向 l 的变化率称为方向导数，即,设,式中,分别是任一方向 与 x,y,z 轴的夹角,则有：,当，最大,也就是只有当l的方向和g的方向一致时，方向导数
7、才取得最大值。,l的方向和g的方向垂直时，方向导数为零,l的方向和g的方向相反时，方向导数为-1，取得最小值，此时 减小的最快,梯度(gradient),哈密顿算子,式中,图0.1.3 等温线分布,梯度的方向为该点最大方向导数的方向。,梯度的大小为该点标量函数 的最大变化率，即最大方向导数。,标量场的梯度是一个矢量，是空间坐标点的函数。,梯度的意义,2.梯度,读作“del(代尔)”或“nabla(那勃拉)”),标量场的梯度函数建立了标量场与矢量场的联系，这一联系使得某一类矢量场可以通过标量函数来研究，或者说标量场可以通过矢量场的来研究。,标量场的梯度垂直 于通过该点的等值 面（或切平面）,例
8、电位场的梯度,图0.2.2 电位场的梯度,电位场的梯度与过该点的等位线垂直；,数值等于该点的最大方向导数；,指向电位增加的方向。,解：点M的坐标是x0=1,y0=0,z0=1，则该点的数量场值为=(x0+y0)2-z0=0。其等值面方程为,或,例1-1 求数量场=(x+y)2-z 通过点M(1,0,1)的等值面方程。,例：试证明在点电荷q产生的静电场中，电位函数的负梯度等于电场强度E.,解：电荷q所产生的电位为,0.3 矢量场的通量与散度,1 通量(Flux),矢量E 沿有向曲面 S 的面积分,若 S 为闭合曲面,Flux and Divergence of Vector,图0.3.1 矢量场
9、的通量,（设曲面S的单位法向矢量en），An为A在en上的投影,若S 为闭合曲面，可以根据净通量的大小判断闭合面中源的性质:,2 散度(Divergence),如果包围点 P 的闭合面 S 所围区域 V 以任意方式缩小到点 P 时：,散度(divergence),通量可看成V内各点处的发散强度的体积分,根据奥式公式,散度的意义,在矢量场中，若 A=0，称之为有源场，称为(通量)源密度；若矢量场中处处 A=0，称之为无源场。,矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数；,散度代表矢量场的通量源的分布特性。,0.3.3 散度定理(Divergence Theorem),图0.3.4 散度定理,高斯定
10、理,矢量函数的面积分与体积分的相互转换。,0.4 矢量场的环量与旋度,0.4.1 环量(Circulation),矢量 A 沿空间有向闭合曲线 L 的线积分,环量,环量的大小与闭合路径有关，它表示绕环线旋转趋势的大小。,Circulation and Rotation of Vector Field,水流沿平行于水管轴线方向流动，=0，无涡旋运动。,图0.4.2 流速场,流体做涡旋运动，0，有产生涡旋的源。,例：流速场,1.环量密度,过点 P 作一微小曲面 S，它的边界曲线记为L，面的法线方向与曲线绕向符合右手定则。当 S 点 P 时，存在极限,环量密度,环量密度是单位面积上的环量。注意：环量
11、密度与所选曲面元的法线方向有关！,2 旋度(Rotation),2.旋度,设,得,记作,上式右面的积分可以看成是矢量 穿过曲面s的通量，s是以曲线l为周界的曲面。,设P为矢量场中的任一点，作一个包含P点的微小面元S，其周界为l，它的正向与面元S的法向矢量n成右手螺旋关系(如图所示)。则矢量A沿l方向的环量为：,rotnA为旋度矢量rotA在n方向的投影，利用中值定理 M为 中的某一点，令 向p点收缩，则有旋度定义的极限形式：,旋度的物理意义,旋度小结：,矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。,它的方向就是该点环量密度的最大值时曲面S的方向其模等于环量密度的最大值。,在矢量场中，若 A=J 0
12、 称之为旋度场（或涡旋场），J 称为旋度源（或涡旋源）。,若矢量场处处 A=0，称之为无旋场。,由此可见，rotnA表示矢量场A在P点的环量密度，它与该点的曲面元的法线方向有关。当旋度rotA与n的方向相同时，环量密度取得最大值。,旋度(curl),在直角坐标下:,4.斯托克斯定理(Stockes Theorem),矢量函数的线积分与面积分的相互转化。,在电磁场理论中，高斯定理 和 斯托克斯定理 是两个非常重要的公式。,例1-12 求矢量场A=x(z-y)ex+y(x-z)ey+z(y-x)ez在点M(1，0，1)处的旋度以及沿n=2ex+6ey+3ez方向的环量面密度。解：矢量场A的旋度,在
13、点M(1，0，1)处的旋度,n方向的单位矢量,在点M(1，0，1)处沿n方向的环量面密度,六、无源场和无旋场,1、无源场 矢量场A中，在场域中的每一点处恒有：,性质1：无源场中穿过场域V中任一个矢量管的所有截面的通量都相等。（证明略）,性质2：无源场存在矢势,由恒等式：,（矢量场的旋度必为无散场）,可知存在一矢量场F满足：,F称为A的矢势,2、无旋场 矢量场A中，在场域中的每一点处恒有：,性质1：无旋场中A沿场域V中任意闭合路径l的环量等于零。,性质2：无旋场必可以表示为某一标量场的梯度,由恒等式：,可知存在一标量场 满足：,矢量场A称为位势场，称为位函数,调和场散度和旋度都等于零的矢量场。,
14、为调和场A的位函数，则有,上式称为拉普拉斯方程，满足该方程的解且具有两阶连续的偏导数的函数称为调和函数,如果矢量场仅为无旋场，则是两场的位函数满足泊松方程。,如：,0.5 亥姆霍兹定理,亥姆霍兹定理：亥姆霍兹定理的简单表达是：若矢量场F在无限空间中处处单值，且其导数连续有界，而源分布在有限空间区域中，则矢量场由其散度和旋度唯一确定，并且可以表示为一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和。,Hymherze Theorem,即在有限区域内，矢量场由它的散度、旋度及边界条件惟一地确定。散度、旋度分别对应通量源密度和漩涡源密度,在无限空间中一个既有散度又有旋度的矢量场，可表示为一个无旋场A1有散度
15、)和一个无散场A2(有旋度)之和：,其中：,分为散度和旋度源，在电磁场中分别指电荷和电流,即散度和旋度源确定后，就相当于确定了“源”的分布,已知：,确定一个场所须条件,0.6 特殊形式的电磁场,如果在垂直某一轴线(设为 z 轴）的一族平行平面上，场 F 的分布都相同，即 F=f（x，y），则称这个场为平行平面场。,1.平行平面场,Special Forms of Electromagnetic Field,如无限长带均匀电荷直导线产生的电场。,0,2.球面对称场,如果在一族同心球面上（设球心在原点），场 F 的分布都相同，即 F=f（r），则称这个场为球面对称场。,如点电荷产生的电场；带电球体
16、产生的电场。,0,1.2 三种常用坐标系中的矢量场,直角坐标系圆柱坐标系圆球坐标系,场点的坐标位置矢量的坐标分量,位置矢量,距离矢量,直角坐标系 场点的坐标位置(x,y,z),圆柱坐标系,柱坐标系中任一点表示为，点 是三个坐标曲面，的交点。,直角坐标系坐标与圆柱坐标系坐标的关系,圆球坐标系,直角坐标系坐标与圆球坐标系坐标的关系,垂直于Z轴及 点组成的平面，沿 增大一侧的方向。,在 点，平行与Z轴的方向。,以Z为轴，半径为 的圆柱面在 点的外法线方向。,矢量场的圆柱坐标系分量,圆柱坐标轴单位矢量,x,y,z,o,x,y,o,矢量场的圆柱坐标系分量,矢量 在 点 的直角坐标分量与柱坐标分量的转换矩
17、阵：,柱坐标系的体积元,过空间任意点 的坐标单位矢量为。它们相互正交，而且遵 循 的右手螺旋法则。,矢量场的圆球坐标系分量,圆柱坐标轴单位矢量,以 半径，原点为球心的球面在 点的外法线方向。,垂直于过Z轴及 点组成的平面，沿 增大一侧的方向。,以原点为顶点，Z为轴的圆锥在点的外法线方向。,矢量场的圆球坐标系分量,特点：1）不同的位置上，圆球坐标轴单位矢量方向不同。2）当矢量场的方向为圆球面的法向或切向时，用圆球 坐标表示不但形式简单，而且形象，更易理解。,矢量 在 点 的直角坐标分量与球坐标分量的转换矩阵：,球坐标系中任意点 可用来表示，点 是，三个坐标曲面的交点。过空间任意点 的坐标单位矢量为。它们相互正交，遵循,（）,的右手螺旋法则。,小结,直角坐标系的单位矢量及矢量的坐标分量圆柱坐标系的单位矢量及矢量的坐标分量圆球坐标系的单位矢量及矢量的坐标分量不同坐标系的单位矢量及矢量的坐标分量之间的关系,1）三种坐标系中场点的坐标位置,直角坐标系点的坐标圆柱坐标系点的坐标圆球坐标系点的坐标不同坐标系中坐标变量之间的关系,2）位置矢量,3）三种坐标系中矢量的坐标分量,常用公式,
