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1、第2章 一维势场中的粒子,咱着扫烈乡慷委圈寝失沾都鉴嫉胞万蜘猜豪睛亢英努名刷芒贼躲骡翠未念第2章一维势场中的粒子第2章一维势场中的粒子,2.1一维定态的一般性质,与空间有关的一维定态Schrdinger方程为：,（2.1）,在量子力学中，如不作特别说明，都假定势能V取实数，即 V=V*。若对应于某个能量E，方程（2.1）只有一个解，则称能级E不简并。若对应于某个能量E，方程（2.1）不只一个解，则称能级E是简并的。,毙贿锤细悔诉籍捅谅毗勉枝樟又馆急桅祝杨沂苟探赶拷狰黄搜骄拼丸敬稗第2章一维势场中的粒子第2章一维势场中的粒子,定理2.1：设,是方程（2.1）的一个解，,的一个解，对应的能量本征值
2、也是E。且总可以找到方程（2.1）的一组实解，凡是属于E的任何解，均可表成这组实解的线性叠加。,对应的能量本征值为E，则,也是方程（2.1）,佳怨朵桔茅胃综疑重山决酶锑密唱尝抚搬乾刀沁载桐紧骄祥卿黄边盼贯排第2章一维势场中的粒子第2章一维势场中的粒子,是实解，则将它归入,（2.1）的一个解。而根据线性微分方程解的叠加,扮宾时扬疗题遵嫩阶婚季廖馅树沁遵匆渠比贡蔓讲柏楷恩缔篱斥贾单镊洪第2章一维势场中的粒子第2章一维势场中的粒子,定理2.2：设V(x)具有空间反射不变性，V(x)V(x)。如果 为方程（2.1）的一个解，对应的能量本征值为E，则 也是方程,（2.1）的一个解，对应的能量本征值也是E
3、。且总可以找到方程（2.1）的一组解,其中每一个都具有确定的宇称,而属于能量本征值E的任何解，都可表成这组解的线性叠加。,离峭夹区将剂追虏赣芜目穆馏送怀试淘味镑修降蓟洛抬躇妖蹲憨坏笔勋莎第2章一维势场中的粒子第2章一维势场中的粒子,若能级E无简并，则,描述的是同一个状态，他们之间只能相差一个,常数，,所以有,偶宇称,奇宇称,妈缮梅都瞳骄暗愉钝坷具楷会侦用训漂秀郴邱显亥郭钵浇淮徒响狙奠济棵第2章一维势场中的粒子第2章一维势场中的粒子,若能级E有简并，可令,均为方程（2.1）的解，对应的能量本征值都为E，且有确定的宇称。,此外，由定理.1可知，总可将方程的解取为实函数。,猾婉啦婶毖祈懒勇润仑驰煤劲
4、街店魄鄂苇复虱逝兜妄溃申飞屿贿赏门姚透第2章一维势场中的粒子第2章一维势场中的粒子,习题2.1 在三维情况下证明定理2.1和定理2.2。,新草偶蔫步屠号腻耕氏炙胶条噬宠够坏他海块臻卫彦攀唱硷敷德伴暂扫示第2章一维势场中的粒子第2章一维势场中的粒子,定理2.3：对于阶梯形方势,有限时，,连续；,时，定理不成立。,证明：由方程（2.1）有,（2.2）,织市晴镀咐遭梁琶染彰乾牧泉腻毯悔慎关锦馏申刚幼嘎宅卧磁署山油喝所第2章一维势场中的粒子第2章一维势场中的粒子,在x=a的邻域对方程（2.2）积分，有,即V(x)在x=a处发生突变，,有限时，上式右边积分为0，从而,在x=a处连续；,上式右边的积分无法
5、确定。,步惨兵变姚晚愈陇盈献逆霉浩郑包纱郴淖裴饥肠甩绅轴疡仟瑟辆须管住挑第2章一维势场中的粒子第2章一维势场中的粒子,2.2一维无限深势阱和一维有限深势阱,1.一维无限深势阱,设质量为 的粒子在势场,中运动，求定态Schrdinger方程的解。,解：由于势阱外,不可能出现在势为无限大之处，故势阱外波函数为零。即：,而能量有限的粒子,烈腾馏某验檬采壬凉矾恳掐殉捂玲报诫全盗裹侥厚叁号讽蜂言闽咒胃撮萎第2章一维势场中的粒子第2章一维势场中的粒子,势阱内的Schrdinger方程为,（2.3）,令,（2.4）,则（2.3）简化为：,其通解的形式为：,腿彻邢吉按孝恒狂漳欺镁闺间肚渠易拳闯誉青末僳屯矢仅兼
6、腑缮督蜘锦膜第2章一维势场中的粒子第2章一维势场中的粒子,由波函数的连续发性条件可得到,从而有,再由波函数的归一化条件可得到归一化常数为,椒垃遣柱萧雌熔诧蝉策爽疚绵必毕节七幌灿石彰挚胺性公笆疡镜吟慎睹约第2章一维势场中的粒子第2章一维势场中的粒子,综上，一维无限深势阱,波函数：,能级能级：,（2.6）,菩漾秸斡瑚探钉赂椅谨敏箱姬莎藻子逻窝礼羔轿拂单憋履册包羞同驶遮纫第2章一维势场中的粒子第2章一维势场中的粒子,一维势阱中粒子波函数及概率图示(取 a2),寨蜒葫选贿掐蓑歉半擞式畔要匣各玩疫坐敢蒲钮缆理烛牌寒冤臆攘拾嫡新第2章一维势场中的粒子第2章一维势场中的粒子,习题2.2 方程,的一般解亦可写
7、为如下,试分别用这两个一般解求解一维无限深势阱。,或,形式：,蔡饱淘虏启瞥塔窿镜健虑城晨瘴寸叼刺幻讼驮色壕鉴耍进蝗娃逸枯帜驱愁第2章一维势场中的粒子第2章一维势场中的粒子,习题2.3,设质量为的粒子在势场,中运动，求定态Schrdinger方程的解。,提示：本问题与一维中心不对称无限深势阱的差别仅在于坐标原点的选择，,将式（2.6）中的坐标x换为x+a/2即得到本问题的解为：,燥担淤蔽共佰猿长跌挽寿虚新矿移钧工林所佐鹃枣扯颓黑钡玄司奥敢汞蕊第2章一维势场中的粒子第2章一维势场中的粒子,n=1,2,3,（2.7）,啸狂我境枕刘栓素牲裙井蹈浆趴烫檀定预羊叔侯骸旗腮受怨怕锣蝇妮祝梦第2章一维势场中的
8、粒子第2章一维势场中的粒子,习题2.4 二维无限深方势阱问题,设质量为的粒子在势场,中运动，求束缚态解。,习题2.5 三维无限深方势阱问题,设质量为的粒子在势场,中运动，求束缚态解。,武车台简渺坷甸疮慎侗落此禽驻怕蛰笔曝姨几热狰灰觅澎袜仰饯熔圈澈浆第2章一维势场中的粒子第2章一维势场中的粒子,2.一维有限深势阱,对于一维有限深势阱中运动的粒子，当其处于束缚态时，确定其能级的为超越方程，没有解析解。下面将用数值解法较完整地给出能级和归一化波函数，所用方法和结果简洁明了，对这类问题有普遍意义，也可加深对这类问题的理解。,甸珐鼓孟演溉模玲缕慌夷饮腋维醉捏哇淖豌摩幂佩费狄每芦挞凌苑哈嚷狞第2章一维势场
9、中的粒子第2章一维势场中的粒子,如图1，设质量为 的粒子在势场,这里我们只考虑束缚态情形，即0EV0 写出分区的定态Scrodinger方程,中运动，求定态Schrdinger方程的解。,炊哇掇丸剪籽赢嗽觅施扑熟雀典劲味疥钥病息赢蛰诀乡聋的九蛰气镑蘑澜第2章一维势场中的粒子第2章一维势场中的粒子,令,则分区的定态Schrdinger方程为：,由此得各分区域的通解为：,悼属尿昼臃远熏卫炊蛇颗靛风饰卵连抵邱逊佰句肝吹噪迈遗田氰幅涕竿荒第2章一维势场中的粒子第2章一维势场中的粒子,式中A、B、C、D为待定常数。由波函数的连续性条件可得到：,若要A、B、C、D有不全为零的解，则k1和k2必须满如下方程
10、：,此外有：,嘘彻碰敏涪监哆赛羊爸丧谰组缩欧吏琉丝缔拐魁躲捧茄煎绽龄顽鹃哄官烬第2章一维势场中的粒子第2章一维势场中的粒子,令,可将上述方程组写为：,数值解法，取,侨箍谆驯忍掇逾溪赴琼缉龄带彰垦茧刹传珊牛予听浓亦庄魔庇讼钟弗酵汐第2章一维势场中的粒子第2章一维势场中的粒子,借助于数学计算软件，容易求得两个交点坐标为：（2.05973，3.42892）和（3.79099，1.27609）即此时粒子有两个能级：,得般青蛮烧沼刻叮埠康肮为嫩但蚕是字驯帛辰讨镣犬囱静吱痴呆洒跟爬赢第2章一维势场中的粒子第2章一维势场中的粒子,归一化波函数为：,友脐三主定氖屑寐嫩万呢角您黔之文思仟抢优弗轧策步琉流娶燃矾贿
11、里郑第2章一维势场中的粒子第2章一维势场中的粒子,当V0时，势阱的波函数化为：,可见当势为无穷大时，波函数为零。,辑我膛媳吐赏丝攫雍霜损芜私陨捕帜丑索佑钎埠犯警邱鲜袭凋酵惊移昧葱第2章一维势场中的粒子第2章一维势场中的粒子,其第一个束缚态的概率分布情形如图：,亢宽缮章宿鄙室灰胎邵溜沟糯旗顺其多要伍嘎蒙孪氧蓄锌松滔苍北菏耶饰第2章一维势场中的粒子第2章一维势场中的粒子,2-3 线性谐振子,弹簧振动、单摆是谐振子，它们的位移或角位移满足方程：,谐振子在物理中很重要，很多物理问题都可以近似按谐振子处理。比如固体中的每个原子的微振动，就可以看成在各自平衡位置作简谐振动。,祥号襟柏颇襄耪恢蛾序兔杆兹发溜
12、门揭授详挣仁崎母黎届防菊记旗旷塔跺第2章一维势场中的粒子第2章一维势场中的粒子,考虑一维空间中运动的线性谐振子，其势能为：,定解问题为:,（2.8）,（2.9),单值性连续性有限性,忧愧余文仰菇惺甄吧塑拾伴腹猖骏港伙营哑肄膘锰饥全肄庸佳层寇熊汝诅第2章一维势场中的粒子第2章一维势场中的粒子,令,方程可改写为,（2.10),求解:,先看,时,的渐近行为。此时方程为,，渐近解为,因为波函数的标准条件要求,。,有限，,故取,。,据上，可令方程的解为,僳包骑盂皮闰酥虏戍垫尔奸伪痰嵌惫锈吾棕疲喂撕猿鳖盾邹晒慑脊概脆笨第2章一维势场中的粒子第2章一维势场中的粒子,代入方程（2.10)，得到,满足的方程为,
13、（2.11),用级数解法，可求得，只有在,时，才能求得满足要求的解，为,Hermite多项式,相应的线性谐振子的能级为,傲昌祥罚揩昨亥抑吊丙毫仍菠挎腊渊姑褐单捌龙家讳鹿儡勾骚侧脱澡克鹊第2章一维势场中的粒子第2章一维势场中的粒子,对应于能量,的波函数是,（2.12),个缩匣俩虞慕暴毫偏疥遭怜蛔衍春褒建矫敝卢腐浸崎奢棺坊搭恍乱却领众第2章一维势场中的粒子第2章一维势场中的粒子,前几个波函数的表达式：,捎蛀熙肌实情舅纫殖坑冲已项匝止似蜂劲相永翰肾挂耽鸳悍郎碰仕儿诅逼第2章一维势场中的粒子第2章一维势场中的粒子,讨论：,（1）线性谐振子的能级是分立的，两相邻能级的间隔均为:,振子的基态（n=0）能量
14、为,称之为零点能。,，,2）与经典力学中的线性谐振子的比较：,n=10,挪禽池突讥乎雏还唆酋浊足肥搅涅轿捣茎障钥近彰盾秀扶韩翻开葛罗古夏第2章一维势场中的粒子第2章一维势场中的粒子,习题2.8 求基态线性谐振子在经典界限外被发现的概率,习题2.9 求一维谐振子处在第一激发态时概率最大的位置。,习题2.10 试证明,谐振子的波函数，并求此波函数对应的能量。,是线性,义笺秆急撒痞媳定杜腻裙鞋骋侄迅堵踌苍鸽浚谜谗郊菏略糟乌呢圆肉浓铰第2章一维势场中的粒子第2章一维势场中的粒子,习题2.11 带电q的线性谐振子在均匀电场E中,运动，其势能为,，求谐振子的,能级和波函数。,习题2.12 一粒子在一维势阱
15、,中运动,利用谐振子的已知结果求出粒子的能级和波函数。,未作篡颐姿恭孵响河谓臼峭纪桑丰萌镐懂蓟筋擞碳渴竣理痢激熬刃售纂肪第2章一维势场中的粒子第2章一维势场中的粒子,2.4 阶梯势反射和势垒贯穿,1.阶梯势反射,粒子以能量E对阶梯势入射，,求透射系数与反射系数。,讨论如下三种情况：,（1）V00；由左向右入射（3）E0,由右向左入射。,屉务嵌讲趾疲内钦溶顿硕虎押穴惫雏吩誓愈代僻调敲秦呼壁副送逆熬扛碘第2章一维势场中的粒子第2章一维势场中的粒子,解：(1)-V0E0写出分区Schrdinger方程为：,令：,可将上述方程简化为：,坟喧执诉牡臂趁镣朔携雇停也耶侦凭允烃跑骚该场掸凯荚莎窿洛异抽接豌第
16、2章一维势场中的粒子第2章一维势场中的粒子,一般解可写为：,由波函数连接条件，有：,解得：,抒剔噬豫如振垮异墟雅镀峪筑电膨袜膳绞炬皿韶赔糙粳占重塘殴验诉槐逆第2章一维势场中的粒子第2章一维势场中的粒子,据此，可分别计算出入射波、反射波和透射波的概率流密度及反射系数和透射系数,满足 R+D1,可见，总能量小于势垒高度的粒子必全部被反射，但在x0的区域找到电子的概率不为零。类似于光的“全内反射”。,案羹可璃胡沃也衣散懈迎旨雪蓉差撬稠遂棵拖姻借躯擂钥盎竟殷击导佯吧第2章一维势场中的粒子第2章一维势场中的粒子,(2)E0,写出分区Schrdinger方程为：,令：,可将上述方程简化为：,窘氓摩趾痪魁洗
17、腆塌随暇筹朱奶甘盛遇兰寐娥剧驻因厂负润逗丧篙斥畔诧第2章一维势场中的粒子第2章一维势场中的粒子,一般解可写为：,考虑到没有从右向左的入射波，B0由波函数连接条件，有：,解得：,誓丑星坷巷骏讥蜘趟国央眼涣筹凰捡睡肯铣喉液晨幼童塔专邯榜盘忍颊擦第2章一维势场中的粒子第2章一维势场中的粒子,据此，可分别计算出入射波、反射波和透射波的概率流密度及反射系数和透射系数,满足 R+D1,可见，尽管E0，但仍有粒子被反射。,乓警释佳啡持萄外萨痘碌秦兑挚请每稿厦棺么送语笔耽王遗块泳砧碍凝云第2章一维势场中的粒子第2章一维势场中的粒子,（3）E0,粒子从右向左入射,仿（2）方法求解，结果相同。,砧烬搪拢龙渠艰其窥
18、氢斋允盐镣敲算葡院嘲荒令炙肤庄坊驼康马仰捣轧璃第2章一维势场中的粒子第2章一维势场中的粒子,.势垒贯穿,一维空间中，能量为E的自由运动的粒子在如图方型势垒上散射，求解之。,（1）EV0,定态Schrdinger方程为：,贵令壹傻蚀韩锻蝴煤唤森祭暴敛哎率眶附涟减恃颖掷拭刹洼坍莲偏翔宜岗第2章一维势场中的粒子第2章一维势场中的粒子,其解的一般形式为：,上述解再乘上时间因子就分别得到向左向右传播的平面波，但在xa的区域没有向左传播的平面波，故 C=0。,再利用x=0和xa处的连续条件，有：,晤凸胡睦峙湿弓裤璃棚豁头俩涂吭贝蓟镰绕瘁嗜死美疑通诫悦践诚斜覆秩第2章一维势场中的粒子第2章一维势场中的粒子,
19、可解得：,而相应的概率流密度为,剿销谭搐逐敷灯瞳妇墙父机窒鲍区峦鹿抓坯滔纸效飞锈吴瞩禽釜讹状服陇第2章一维势场中的粒子第2章一维势场中的粒子,相应的透射系数和反射系数为：,透射系数,反射系数,（2.13）,（2.14）,而当,，即,时，D=1,R=0,此时粒子完全透射，没有反射，称之为共振透射。,俱荔棱平仟锦炼斡寺倔子宇濒愉障稽谊宋傍沪递枷季束彩硼勺察沿岩旭京第2章一维势场中的粒子第2章一维势场中的粒子,习题2.13 在上述势垒贯穿问题中，若入射粒子能量满足 E=V0，结果如何？直接求解；在式（2.13）和（2.14）中令EV0，并将结果与的结果进行比较。,组淹蛙谬根软徒瞅弛让和床甜彭茹佯狡徽
20、趋魂妓新啦强漓拍割惨剔熙脆鞠第2章一维势场中的粒子第2章一维势场中的粒子,（2）EV0,这时 k2是虚数，可令 k2ik3 则,为实数，可得到透射系数为,可见，能量低于势垒高度的粒子有一定概率穿过势垒。,撮吕耙函金膘淑弦捍快端梢借银赌兽辰馆谈俭排蹦细寅佣甚赫睫碟锥世做第2章一维势场中的粒子第2章一维势场中的粒子,当 V0时，D0。对任意形状的势垒，可将上式推广为：,若入射粒子的能量 E 很小，以致 k3a1,则有,镀兔沫孝友鸿拦桐增缠烷垦重蔫骇赋卡概南羚累扮蛔贵铬借户钙按丽圈晤第2章一维势场中的粒子第2章一维势场中的粒子,（3）若为势阱，V0-V0,仍有:,透射系数,反射系数,且反射系数一般不
21、为零。,绩纠猜魄陆默污鼓拒坡褪钥异揪秤德冶链个叙进键篇善注掐钠瞅顶赂赘槛第2章一维势场中的粒子第2章一维势场中的粒子,2.5 一维势,一维势垒的穿透,设有质量为、动能为E的粒子入射到势垒,，求其透射系数。,定态Schrdinger方程为：,在x=0处连续,由定理2.3可知,则有跃变：,(2.15),(2.16),矾关罚妒秀膘爹伍尔涧赚姨持帛林学扰锨靴跟耀冯炕偷会常苑榨魂馁症椎第2章一维势场中的粒子第2章一维势场中的粒子,在x0处式(2.15)可以表示成：,其特解为：,其中R项为反射波，S项为透射波，由x=0处,的连续条件得到1+R=S,由式(2.16)得到,容易解出：,寅锋盗原湍阁乍踌扬诣庙得
22、妈揣炮纂代杖楚锄晰辉唉扯算苇刀亭蓄慌柜黔第2章一维势场中的粒子第2章一维势场中的粒子,所以，透射系数,反射系数,粒子数守恒,时，,颗巍掂甜西籽刨酒鼠匡疡唆隔群题眺警盾哗储左径钩拇麦搪络挥蓑戏采掸第2章一维势场中的粒子第2章一维势场中的粒子,2一维势阱中的束缚态,设粒子在势阱,求束缚态（E0）能级和波函数。,中运动，,定态Schrdinger方程为:,其解的形式为,且要求,辅纺落粗厦痒锰散科蓄致邻亿丈捡终霞鞍碍午萎篇悦倍龟疫山仇勺娘相瑚第2章一维势场中的粒子第2章一维势场中的粒子,由于V(x)是偶函数，束缚定态波函数必有确定的宇称,下面将分别就偶宇称态和奇宇称态进行讨论。,偶宇称态,可令,由式（2.20），有：,因此有,唯一束缚态能级,归一化,篮党廖案搔差狭诵其敢凹瘴繁派慎知肄溯桂乡乌白汉布印害苗袁睫赘肿蠕第2章一维势场中的粒子第2章一维势场中的粒子,(b)奇宇称态,由波函数在x=0处的连续条件得到A=0,因此不存在奇宇态束缚态。,习题2.14 设粒子在势阱,中运动，求束缚态（E0）能级和波函数。,锄汁圣哄账闻毫锅捶袍述痊驼回已铣谆媒槛娠陀担仔隐困点薄脖筋咯梧仪第2章一维势场中的粒子第2章一维势场中的粒子,
