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1、1,第2章 一维势场中的粒子,2.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质,一维粒子能量本征态问题数学处理较为简单，便于得到严格解。作为量子体系，同样可展现量子问题的主要特征，因而是处理复杂问题的基础。,1.一维粒子的能量本征值方程,质量为m，沿x方向运动，势能为V(x)的粒子，则含时Schrdinger方程可表为,2,对于定态问题，能量E确定，波函数中时空变量可分离，形如,代入方程可得,3,4,2.一维粒子能量本征态的性质定理,简并的概念：,一个能级对应于两个波函数,5,故,6,定理2：对于能量的某个本征值E，总可找到方程的一组实解，凡是属于 E 的任何解，均可表成这一组实解的线性叠加.即这组
2、实解是完备的。,7,即,8,如(x)是定态方程的属于能量为E的解，则(-x)也是方程的相应于能量为E的解。,定理3：,设V(x)具有空间反射不变性,V(-x)=V(x),9,按照前面的讨论,有,引进宇称算符的概念：,10,当能级有简并时，有如下定理,但已经知道,11,上次课复习：,定理1 如果 是方程的一解的话，则 也是方程对应于同一个本征能量的解。,定理2 对应于能量的某一个本征值E，总可以找到方程的一组实解，而属于E 的任何解都是这组实解的线性叠加。,12,定理3 设 具有空间反射不变性，如 是方程的一个解，则 也是方程属于同一本征能量的解。,一维谐振子就属于这种情况。,显然，这里也存在简
3、并问题。,非简并：,有确定宇称,偶宇称解,奇宇称解,如果能级有简并呢？,13,定理4：设V(-x)=V(x)，则对应于任何一个能量本征值E,总可能找到定态方程的一组完备解,它们之中的每一个解都有确定的宇称.,14,则完备得证.,15,为此给出定理5,若V(x)解析（连续等），则问题较为简单；,在量子力学中,经常要涉及波函数(x)的解析性质问题，这应由定态方程出发，由势函数V(x)性质确定：,若V(x)不连续，或有某种奇异性,的连续性问题需具体分析。,16,定理5：对于阶梯形方位势（在a处跃变）,17,分析如何证明导数连续？,证明：,边界处导数相等即可,由Schrdinger方程出发。,18,得
4、,关于波函数及其导数的问题,还有定理6:,19,按照假设,分析见到导数，要联想到Schrdinger方程。,20,或,积分,得,关于此定理的应用,有定理7:,21,22,23,由粒子运动实际情况正确写出势函数V(x)代入定态薛定谔方程解方程解出能量本征值和相应的本征函数求出概率密度分布及其他力学量,量子力学解题的一般思路,2.2 方位势,24,自由粒子,方势阱,几种势函数,什么势？,25,方势阱是实际情况的极端化和简化,三维方势阱,例如,26,粒子在势阱中的运动，是一种较为常见的现象；金属中的自由电子在各晶格结点(正离子)形成的“周期场”中运动，它们不会自发地逃出金属，简化这个模型，可以粗略地
5、认为粒子被无限高的势能壁束缚在金属之中。氢原子中的电子就是在三维库仑势阱中运动，不过“阱壁”不是直立的，而是按-1/r分布。近来，人们设计制作了一种具有“量子阱”的半导体器件，它具有介观(介于宏观与微观)尺寸的势阱，阱宽约在10nm上下。这种材料具有若干特性，已用于制造半导体激光器、光电检测器、双稳态器件等。,27,势垒,其他形式,28,晶格是原子或分子聚集时在一定条件下形成的周期性有序结构。科学家在实验中利用现代技术实现了人工的周期性有序结构，这是人为的周期性结构，它显示出不同寻常的特性，称为超晶格结构，也称超晶格材料。,29,量子力学中常用的二阶常系数 齐次线性微分方程的解,对方程,其特征
6、方程为,30,31,无限深方形势阱 离散谱,32,特点：,粒子在势阱内受力为零势能为零在阱内自由运动在阱外势能为无穷大在阱壁上受极大的斥力 不能到阱外,33,势函数,粒子在阱内自由运动不能到阱外,(1)薛定谔方程和波函数,阱外,34,哈密顿量,定态薛定谔方程阱外：,阱内：,35,根据波函数有限的条件阱外,1)阱外,分区求通解,?,36,令,2)阱内,(为了方便将波函数脚标去掉),将方程写成,通解,式中 A 和 B 是待定常数,37,由波函数标准条件和边界条件定特解通解是,解的形式,解的形式为,能量取值,38,A已经为零了 B不能再为零了即,只能 ka 等于零,要求,故能量可能值,但,由上式,3
7、9,1)每个可能的值叫能量本征值,2)粒子能量取值分立(能级概念)能量量子化 束缚态 3)最低能量不为零-波粒二象性的必然结果 因为静止的波是不存在的。请用不确定关系说明能量的大小 4)随着n 增加,能级间隔越来越大 5)通常表达式写为,L-阱宽,40,一维无限深势阱中，位置不确定度为,按照测不准关系,因此粒子的能量,41,本征函数系由归一性质 定常数 B,得,本征函数,这组函数构成本征函数系。,意义？,42,考虑到振动因子,（驻波解）,定态波函数,概率密度,43,本征能量和本征函数的可能取值,(2)小结：,44,一维无限深方势阱中粒子的波函数和概率密度,o,a,a,o,45,量子经典,符合玻
8、尔对应原理：,平均效应明显,在大量子数极限下，量子体系的行为应该趋于与经典体系相同。,46,2.2.2 有限深方形势阱,势的特点：空间反射对称,47,写出分区定态方程,在阱外(经典禁介区),令,方程(1)变为,其解可写为,都是方程的解？,48,现在是有限深的情况！,49,在阱内(经典允许区),令,则方程变为,其解可以写为,50,按照定理7，一维束缚态是不简并的,按照定理3，对空间反射不变势函数,波函数必有确定的宇称，因此只能取,51,关键是求解波函数的具体形式和能量的本征值问题.,52,令,则(5)式化为,由,有,再利用(6)式,有,53,试考虑：如何由 求,54,图解法：,55,这一激发态仍为束缚态，相应于第二条 线，第一条线仍然存在。,不仅会出现偶宇称基态，还会出现第一激发态。,56,57,作业：,P49 2.2,2.3,2.4,或 时才可能出现最低的奇宇称能级。,由上分析可知，束缚态能量是分立的。相应动量也是分立的。这是束缚态边界条件下求解定态方程的结果。,
