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1、在继续阐述量子力学基本原理之前，先用 Schrodinger 方程来处理一类简单的问题一维定态问题。其好处有四：（1）有助于具体理解已学过的基本原理；（2）有助于进一步阐明其他基本原理；（3）处理一维问题，数学简单，从而能对结果进行细致讨 论,量子体系的许多特征都可以在这些一维问题中展现出来；（4）一维问题还是处理各种复杂问题的基础。,第2章 一维势场中的粒子,一维定态薛定谔方程,求定态问题：,一维：,归一化条件，波函数的标准条件，边界条件。U（x）*=U（x），即U（x）取值。,2.1一维势场中的粒子能量的一般性质,定理1：设 是方程（1）的一个解，对应的能量本征值是E，则 也是方程的一个解
2、，对应的能量也是E。,一维问题的一般性质,证：方程（1）取复共轭，注意E取实值，容易证明。如果对应于能量的某个本征值E，方程（1）的解无简并（即只有一个解），则解为实解。,定理2：对应能量的某个本征值E，总可以找到方程（1）的一组实解，凡是属于E的任何解，总可以表示为这一组实解的线性叠加。,证：如果 是实解,就可以将其归为实解集合。如果 是复解，是方程（1）的实 解，且：和 也是方程（1）的解，属于能量E，且均为实解。和 均可以表示为 和 的线形叠加。,定理3：设U（x）具有空间反射不变性，U（-x）=U（x）。如果 是方程（1）的对应能量的本征值E的解，则 也是方程（1）对应能量E的解。证（
3、略）如果对应某能量E，方程的解无简并，则解必有确定的宇称。,定理3：设U(x)具有空间反射不变性，U(-x)=U(x)。如果 是方程（1）的对应能量的本征值E的解，则 也是方程（1）对应能量E的解。,证（略）如果对应某能量E，方程的解无简并，则解必有确定的宇称。,空间反演算符定义：将空间矢量反向的操作叫空间反演算符。即：,宇称定义：则称波函数(r,t）具有宇称。在一维情况下，宇称的奇偶性与函数的奇偶 性是一致的。,定理4：设，则对应任何一个能量本征值E，总可以找到方程（1）的一组解(每个解都有确定的宇称），而属于能量本征值E的任何解，都可以用它来展开。,证：构造两个函数（偶宇称）（奇宇称）均为
4、方程（1）的解。则f(x),g(x)可以表示出(x),(-x),定理5：对于阶梯性方位势，有限，则能量本征函数 及其导数必定是连续的。,定理6：对于一维粒子，设 与 均为方程（1）的属于同一能量的E的解，则：,对于束缚态（bound state指粒子局限在有限空间中，即无限远处找到粒子的概率为零）则有,定理7：设粒子在规则势场V(x)V(x)无奇点中运动，如存在束缚态，则必定是不简并的。,2.2 一维方势,(1)一维势阱实例 如：金属中的自由电子。金属粒子有规则的排列成行，1）电子在金属内部势能为常数，认定为零；2）表面有一个势阶。总之，此时电子势能可以近似认为是一个方势阱形式。,一维无限深方
5、势阱，离散谱,(2)微分方程 的三种形式解。,这是二阶常系数微分方程，有三种等价的解：a.b.c.依方便,随取一种形式的解.,（3）求解定态问题的步骤,讨论定态问题就是要求出体系可能有的定态波函数(r,t)和在这些态中的能量 E。其具体步骤如下：,（1）列出定态 Schrodinger方程,（2）根据波函数三个标准条件求解能量 E 的本征值问题，得：,（3）写出定态波函数即得到对应第 n 个本征值 En 的定态波函数,（4）通过归一化确定归一化系 数 Cn,1、一维不对称无限深势阱,该问题的定态薛定谔方程建立方法如下：,1）先写出一维自由粒子的哈密顿函数：,其中，T 为粒子动能，V 为粒子势能
6、，m为粒子质量，px 为粒子在 x 方向的动量。,2）用动量算符及坐标算符代入上式得到一维自由粒子哈密顿算符,在区域 I 与 III，因为V=，所以发现粒子的概率为零。(x)=0。,一维自由粒子定态薛定谔方程为：,在区域 II，V=0，薛定谔方程简化为：,该方程通解为：,因为边界条件及连续性要求，,(0)=0,(a)=0,所以：ka=n,n=1,2,3.,一维无限深方势阱中粒子的能量是量子化的，即构成的能谱是离散的。,En 为方程本征值，对应本征函数为：,得,由归一化条件：,其中n 为量子数，我们看到它是由于边界条件而自然引入的。,一维方势阱波函数图象,1）对束缚态粒子，其能级是量子化的。此为
7、边界点上波函数连续性要求决定，非人为的。而在经典力学中，能量是连续的。通常把在无限远处为零的波函数所描写的状态称为束缚态。一般地说，束缚态所属的能级是分立的。,称为零点能。量子力学体系中零点能的存在，是测不准原理的必然结果。,在经典力学中，粒子最低能量为 0。,对一维势阱中粒子的讨论，可得以下重要概念与结论：,2）一维势阱中粒子能量最低态，即基态，为：,3）当 n 1 时，使波函数 n(x)=0 的点（节点）的数目为 n 1。在节点处 发现粒子的几率为 0。这在经典力学中也是不可理解的。随着节点数增多，能量值增大。,一维势阱中粒子的波函数图,小结 由无穷深方势阱问题的求解可以看 出，解S方程的
8、一般步骤如下：,一、列出各势域上的S方程；二、求解S方程；,三、利用波函数的标准条件（单值、有限、连续）定未知数和能量本征值；,四、由归一化条件定出最后一个待定系数（归一化系数）。,2、一维对称无限深势阱,-a,a,定态薛定谔方程:,及,方程的解为：,根据波函数的连续性及边界条件：,n=偶数；,n=奇数,能量本征值：,本征波函数：,根据归一化条件：,一维无限深 势阱中粒子 的状态,（2）n=0,E=0,=0，态不存在，无意义。而n=k,k=1,2,.,可见，n取负整数与正整数描写同一状态。,-a 0 a 图 A-a 0 a 图 B,波函数(A)与几率(B)分布图,例如，一维无限深势阱，势阱坐标
9、为-aa 势能是对称的，则其波函数具有宇称，,n=偶数，奇宇称；,n=奇数，偶宇称。,3、波函数宇称,宇称是一个十分重要的物理概念。传统认为高能物理中某一物理过程宇称是守恒的。杨振宁与李政道发现了弱作用下宇称不守恒，并被吴健雄所做实验证实，从而获诺贝尔物理奖。,若粒子在0,d范围、无限深势阱作一维运动，其状态由波函数 描述。求(1)归一化常数A;(2)概率密度,及最大的几率密度;(3)0,d/2之间粒,例题 1,解:(1)由归一化条件,所以,（6）基态能可由以下二种方法求得：,例题 2,计算电子在长度a1nm的一维势阱内运动，处于基态和第一激发态的能量及由基态跃迁到第一激发态时的激发能。已知电
10、子的质量为9.11031kg。,解：由式在基态，n1，E18.091020J,例题 3,已知一维势箱中粒子的归一化波函数为：,式中l是势箱的长度，是粒子的坐标（0 xl），,计算（1）粒子的能量；（2）粒子坐标的平均值；（3）粒子动量的平均值。,解:,（1）将能量算符直接作用于波函数，所得常数即为粒子的能量：,即：,（2）由于 无本征值，只能求粒子坐标的平均值：,（3）由于 无本征值。按下式计算 px的平均值:,一个粒子处在a=b=c的三维势箱中，试求能量最低的前5个能量值以(h2/8ma2)为单位。计算每个能级的简并度。,E111=3E112=E121=E211=6E122=E212=E22
11、1=9E113=E131=E311=11E222=12,例题 4,例题 5,例题 6,2.2.2 有限深对称方势阱(曾教程p33),势垒贯穿,当微观粒子为x正方向运动时，即使前方碰到的势垒U0 E，只要势垒不是太高太宽，则粒子就有可能穿过势垒而到达势垒的另一侧。这一量子力学现象叫做势垒穿透或隧道效应。势垒贯穿能量低于势垒高度的粒子有一定几率穿过势垒。,应用:1973年:固体中的隧道效应,半导体中的隧道效应.约朔夫森,江琦,迦埃非.1986年:设计世界上第一架电子显微镜,设计隧道 效应显微镜.鲁斯卡,宾尼(德国),罗雷尔因(瑞士).1997年：量子隧道效应。,经典物理无法理解势垒贯穿。ETV，T
12、EV0，不可能.本节介绍量子力学如何解释势垒贯穿，以及如何计算穿过势垒的几率。,问题是具有一定能量E的粒子沿x轴正方向射向方势垒,一维方势垒,解：(1)三个区域的Schrdinger方程可写为：,考虑Ea,令,解得:,在III区域没有反射波，所以须令C=0。,.波函数连续,(4),(5),.波函数导数连续,(6),(7),(2)利用波函数标准条件来定系数。,(3).透射系数和反射系数、透射系数：透射波几率流密度与入射波几率流密度之比称为透射系数,用S表示；这就是势垒贯穿几率。,、反射系数：反射波几率流密度与入射波几率流密度之比称为反射系数,用F表示；,显然有R+T=1即 这是粒子数守恒的表现.
13、,由上可知：R0，即有部分反射，这是一种量子效应；隧穿效应（tunnel effect）：粒子能穿透比它动能更高的势垒的现象。当R=0，即 时，T=1，粒子产生完全透射，没有反射，这种现象称为共振透射，产生共振透射的能量称为共振能量。,例1:入射粒子为电子。,设 E=1eV,V0=2eV,a=2 10-8 cm=2，算得 T 0.51。,若a=5 10-8cm=5，则 T 0.024，可见 透射系数迅速减小。,质子与电子质量比 p/e 1840。对于a=2 则 T 2 10-38。可见透射系数明显的依赖于 粒子的质量和势垒的宽度。,量子力学提出后，Gamow 首先用势垒穿透成功的说明 了放射性
14、元素的衰变现象。,例2:入射粒子换成质子。,例3 任意形状的势垒,则 x1 x2贯穿势垒V(x)的 透射系数等于贯穿这些小 方势垒透射系数之积，即,此式的推导是不太严格的，但该式与严格推导的结果一致。,对每一小方势垒透射系数,可把任意形状的势垒分割成许 多小势垒，这些小势垒可以近 似用方势垒处理。,（四）应用实例,(1)原子钟(2)场致发射（冷发射）(3)STM,除了大家熟悉的衰变、隧道二极管是势垒穿透现象外，下面介绍两个典型实例。,（1）原子钟,原子钟的频率标准就是利用氨分子(N H3)基态势垒贯穿的振荡频率。,氨分子(NH3)是一个棱锥体，N 原子在其顶点上，三个 H 原子 在基底。如图所
15、示：,如果N原子初始在N处，则由于隧 道效应，可以穿过势垒而出现在 N点。当运动能量小于势垒高度,1.R-S之间或T-U之间的振荡（谐振子）；,如图中能级 E 所示，则N原子的运动由两种形式组成。,2.这两个区域之间通过势垒的缓慢得多的振荡运动。对于NH3基态，第二种振荡频率为2.3786 1010 Hz。这就是原子钟在规定时间标准时所利用的氨分子的势垒贯穿运动。,（2）场致发射（冷发射）,欲使金属发射电子，可以将金属加热或用光照射给电子提供能量，这就是我们所熟知的热发射和光电效应。,但是，施加一个外电场，金属中电子的所感受到的电势如图(b)所示。金属中电子面对一个势垒，能量最大的电子就能通过
16、隧道效应穿过势垒漏出，从而导致所谓场致电子发射。,(3)扫描隧道显微镜 scanning tunneling microscope,（1）何谓谐振子,量子力学中的线性谐振子就是指在该式所描述的势场中运动的粒子。,在经典力学中，当质量为 m 的粒子，受弹性力F=-kx作用，由牛顿第二定律可以写出运动方程为：,其解为 x=Asin(t+)。这种运动称为简谐振动,作这种运动的粒子叫谐振子。,若取V0=0，即平衡位置处于势 V=0 点，则,2.4 一维谐振子,（2）为什么研究线性谐振子,自然界广泛碰到简谐振动，任何体系在平衡位置附近的小振动，例如分子振动、晶格振动、原子核表面振动以及辐射场的振动等往往
17、都可以分解成若干彼此独立的一维简谐振动。简谐振动往往还作为复杂运动的初步近似，所以简谐振动的研究，无论在理论上还是在应用上都是很重要的。例如双原子分子，两原子间的势V是二者相对距离x的函数，如图所示。在 x=a 处，V 有一极小值V0。在 x=a 附近势可以展开成泰勒级数：,3.一维谐振子的量子力学处理：,一维谐振子的哈密顿算符是：,其定态薛定谔方程是：,理想的谐振子势是一个无限深势阱,只存在束缚态,即,在 处,因为其求解较复杂，以下直接给出其解：,其中：n 为振动量子数，为谐振子经典基频（见上），Av 为归一化常数，,令:,S方程化为:,由上面的递推公式，可得到厄米多项式的具体地推表达式：,
18、为v 阶厄米多项式。它具有以下的递推性质：,Hv(),（4）讨论,1、上式表明，Hn()的最高次项是(2)n。所以：当 n=偶，则厄密多项式只含的偶次项；当 n=奇，则厄密多项式只含的奇次项。,2.n具有n宇称,上式描写的谐振子波函数所包含的 exp-2/2是的偶函数，所以n的宇称由厄密多项式 Hn()决定为 n 宇称。,3.对应一个谐振子能级只有一个本征函数，即一个状态，所以能级是非简并的。值得注意的是，基态能量 E0=1/2 0，称为零点能。这与无穷深势阱中的粒子的基态能量不为零是相似的，是微观粒子波粒二相性的表现，能量为零的“静止的”波是没有意义的，零点能是量子效应。,（5）波函数,然而
19、，量子情况与此不同 对于基态，其几率密度是：0()=|0()|2=N02 exp-2 分析上式可知：一方面表明在=0处找到粒子的几率最大；另一方面，在|1处，即在阱外找到粒子的几率不为零，与经典情况完全不同。,以基态为例，在经典情形下，粒子将被限制在|x|1,范围中运动。这是因为振子在这一点(|x|=1)处，其势能V(x)=(1/2)m2 x2=1/2=E0，即势能等于总能量，动能为零，粒子被限制在阱内。,分析波函数可知量子力学的谐振子波函数n有 n 个节点，在节点处找到粒子的几率为零。而经典力学的谐振子在-a,a 区间每一点上都能找到粒子，没有节点。,（6）几率分布,第一章和第二章（小结）一
20、.波函数统计解释 二.态迭加原理 三.薛定谔方程 四.粒子流密度和粒子数守恒定律 五.定态薛定谔方程 六.一维无限深势阱 七.势垒贯穿 八.线性谐振子,几个概念：波函数，宇称，定态，简并，束缚态，量子化，零点能，隧道效应，,试证明:,是线性谐振子的波函数，并求此波函数对应的能量。,证：线性谐振子的S-方程为,把,代入上式，有,例题 7,把,代入式左边，得,当,时，左边=右边。n=3,，是线性谐振子的波函数，其对应的能量为,。,求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置,例题 8,设在一维无限深势阱中运动的粒子的状态用：,描述，求粒子能量的可能植及相应的几率。,例题 9,解:一维无限深势阱的本征态波函数是,题给波函数可用本征函数展开：,因此,是非本征态，它可以有二种本征态，处在,态上的几率是,这时能量是,处在,态上的几率是,这时能量是,。,例题 10,
