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1、习题3-1已知ACnn是正定Hermite矩阵,Cn.定义内积(,)=A*.试证它是内积;写出相应的C-S不等式,:Cauchy-Schwarz不等式：,习题3-3(1),#3-3(1):已知A=,试求UUnn使U*AU=R为上三角矩阵.解:det(E-A)=(+1)3给出=-1是A的3重特征值.显然,1=(0,1,0)T是A的一个特征向量.作酉矩阵V=(1,2,3),2=(1,0,0)T,3=(0,0,1)T,则 V*AV=子矩阵A1的特征值仍是-1,对应的单位特征向量是1=(-2/5,1/5)T,作2阶酉矩阵W1=(1,2),2=(1/5,2/5)T,则W1*A1W1=作3阶酉矩阵W=di
2、ag(1,W1),U=VW,则 U*AU=为上三角矩阵.,习题3-9,#3-9:若S,T分别为实对称,反实对称矩阵,则A=(E+T+iS)(E-T-iS)-1为酉矩阵.证:A*A=(E-T-iS)*)-1(E+T+iS)*(E+T+iS)(E-T-iS)-1=(E+T+iS)-1(E-(T+iS)(E+(T+iS)(E-T-iS)-1=(E+T+iS)-1(E+T+iS)(E-T-iS)(E-T-iS)-1=E注:可以不证 AA*=E;(E-(T+iS)(E+(T+iS)=(E+(T+iS)(E-(T+iS)=(E+T+iS)(E-T-iS),习题3-12设A,B均是正规矩阵,试证:A与B酉相
3、似的充要条件是A与B的特征值相同,证:充分性：因为A,B是正规矩阵,所以存在U,VUnn 使得 A=Udiag(1,n)U*,B=Vdiag(1,n)V*,其中1,n是A,B的特征值集合.于是B=VU*AUV*=W*AW,W=UV*Unn即得证A与B酉相似.必要性:显然,因为,相似矩阵有相同的特征值.,习题3-13,#3-13:若AHnn,A2=A,则存在UUnn使得 U*AU=diag(Er,0),r=rank(A).证:存在UUnn使得 A=Udiag(1,n)U*,(*)其中1,n是A的特征值的任意排列.A2=A 和 A2=Udiag(1,n)U*Udiag(1,n)U*=Udiag(1
4、2,n2)U*i2=i,即i0,1,i=1,n,.取1,n的排列使特征值0全排在后面,则(*)式即给出所需答案.,习题3-14,#3-14:若AHmn,A2=E,则存在UUnn使得 U*AU=diag(Er,-En-r).证:存在UUnn使得 A=Udiag(1,n)U*,(*)其中1,n是A的特征值的任意排列.A2=E=Udiag(1,1)U*和 A2=Udiag(1,n)U*Udiag(1,n)U*=Udiag(12,n2)U*i2=1,即i=1,i=1,n,.取1,n的排列使特征值1(设共有r个)全排在前面,则(*)式即给出所需答案.,习题3-16,#3-16:设若A,BHnn,且A为正
5、定Hermite矩阵,试证:AB与BA的特征值都是实数.证1:由定理3.9.4,A1/2是正定矩阵,于是A-1/2(AB)A1/2=A1/2BA1/2=MHmn,即AB相似于一个Hermite矩阵M.(AB)=(M)R,得证AB的特征值都是实数.又 A1/2(BA)A-1/2=A1/2BA1/2=MHmn,即BA相似于一个Hermite矩阵M.(BA)=(M)R,得证BA的特征值都是实数.,#3-16:设若A,BHmn,且A正定,试证:AB与BA的特征值都是实数.证2:由定理3.9.1,PAP*=E,则PABP-1=PAP*(P*)-1BP-1=(P*)-1BP-1=MHmn,即AB相似于一个
6、Hermite矩阵M.(AB)=(M)R,得证AB的特征值都是实数.又因BA的非零特征值与AB的非零特征值完全相同,故BA的特征值也都是实数.证3:det(E-AB)=det(A(A-1-B)=det A det(A-1-B)=0.但det A 0,和det(A-1-B)=0的根全为实数(见例的相关证明),习题3-19设A是正定Hermite矩阵且AUnn,则A=E,证:存在UUnn使得 A=Udiag(1,n)U*,(*)其中1,n是A的特征值的任意排列.A 是正定蕴含 i0,i=1,n AUnn 蕴含|i|=1,i=1,n 因此 i=1,i=1,n A=Udiag(1,n)U*=UEU*=
7、UU*=E.,习题3-20 试证:两个半正定矩阵之和是半正定;半正定矩阵与正定矩阵之和是正定矩阵,解:设A,BHnn 分别是半正定矩阵,正定矩阵.则A*=A&B*=B(A+B)*=A+B Hnn xCn,x*Ax0,x*Bx0 xCn,x*(A+B)x0 A+B是半正定Hermite矩阵.0 xCn,x*Ax0,x*Bx0 0 xCn,x*(A+B)x=x*Ax+x*Bx0 A+B是正定Hermite矩阵.,习题3-22设A,B均是正规矩阵,试证:A与B相似的充要条件是A与B酉相似,证:因为A,B是正规矩阵,所以存在U,VUnn 使得 A=Udiag(1,n)U*,B=Vdiag(1,n)V*
8、,其中1,n,1,n分别是A,B的特征值集合的任意排列.必要性：若A与B相似,则i=i,i=1,n,于是B=VU*AUV*=W*AW,W=UV*Unn即得证A与B酉相似.充分性:显然,因为,酉相似必然相似.,习题3-23设A*=A.试证:总存在t0,使得A+tE是正定;A-tE是负定,证:因为A是Hermite矩阵,所以存在UUnn 使得 A=Udiag(1,n)U*,其中1,n是A的特征值并且全为实数.令tMax|1|,|n|,于是,A+tE是Hermite矩阵并且特征值全为正数，即得证A+tE是正定Hermite矩阵.AtE是Hermite矩阵并且特征值全为负数，即得证AtE是负定Herm
9、ite矩阵.,习题3-25,#3-25:A*=-A(ASHnn)U=(A+E)(A-E)-1Unn.(ASHnnAE的特征值全不为0,从而AE可逆)解:U*=U-1(A-E)*)-1(A+E)*=(A-E)(A+E)-1(-A-E)-1(-A+E)=(A-E)(A+E)-1(A+E)-1(A-E)=(A-E)(A+E)-1(A-E)(A+E)=(A+E)(A-E)A2-E=A2-E 因最后一式恒成立,得证U*=U-1,从而 U=(A+E)(A-E)-1Unn.,习题3-26设A为正规矩阵特征值为1,n.试证:A*A的特征值为|1|2,|n|2.,证:因为A是正规矩阵,所以存在UUnn 使得 A
10、=Udiag(1,n)U*,其中1,n是A的特征值.于是,A*A=Udiag(|1|2,|n|2)U*.因对角矩阵diag(|1|2,|n|2)酉相似于A*A,故A*A的特征值为|1|2,|n|2,习题3-27,#3-27(1):A*A,AA*都是半正定Hermite矩阵.(2):若ACmn,则A*A,AA*的非零特征值相同(它们的谱可能不一样)证:(1):(A*A)*=A*A,(AA*)*=AA*.xCn,x*(A*A)x=(Ax)*Ax=(Ax,Ax)0.(2):对AA*的任意非零特征值有AA*x=x,x0.于是 A*A(A*x)=(A*x).因 x0,故A*x0,从而得证AA*的任意非零
11、特征值也是A*A的非零特征值.同理可证:A*A的任意非零特征值也是AA*的非零特征值.,习题3-27(2)另一解法,证:不难验证下列矩阵等式:因S=可逆,故从而det(E-AA*)=0与det(E-A*A)=0有相同非零解,得证AA*与A*A有相同的非零特征值.,习题3-28设A为正规矩阵.试证:若Ar=0,则A=0.若A2=A,则A*=A.,证:因为A是正规矩阵,所以存在UUnn 使得 A=Udiag(1,n)U*,其中1,n是A的特征值.于是,Ar=Udiag(1r,nr)U*=0蕴涵ir=0,i=1,n.后者又蕴涵 1=n=0.A=Udiag(0,0)U*=0.若 A2=A,则i2=i,
12、i=1,n.后者又蕴涵i=0或1,i=1,n,(即正规矩阵A的特征值全为实数).A*=Udiag(1,n)U*=A.,习题3-30,#3-30:若ACnn,则A可唯一地写为A=B+C,其中BHnn,CSHnn.证:存在性 取 B=(1/2)(A+A*),C=(1/2)(A-A*),则显然B,C分别是Hermite矩阵和反Hermite矩阵,并且满足A=B+C.唯一性 若 A=B+C,其中BHnn,CSHnn,则A*=(B+C)*=B*+C*=B-C.于是 B=(1/2)(A+A*),C=(1/2)(A-A*).证毕注:令T=-iC,则T*=iC*=i(-C)=T,即THnn.由此推出:A可唯一
13、地写为A=B+iT,其中B,THnn.,习题3*1试证：向量长度的齐次性,#3*1:试证证:令=(a1,an)T,则 k=(a1,an)T,习题3*2试证：在酉空间V中成立广义商高定理,#3*2:试证 1,kV&(i,j)=0,ij 或等价地(1+k,1+k)=(1,1)+(k,k)证:对k用归纳法证明.k=2时,有(1+2,1+2)2=(1,1)+(1,2)+(2,1)+(2,2)=(1,1)+(2,2)若k-1时结论成立,则(1+k-1,k)=0(1+k,1+k)=(1+k-1)+k,(1+k-1)+k)=(1+k-1,1+k-1)+(k,k)=(1,1)+(k,k)+(k,k),习题3*
14、3令1=(1,1,1,1)T,2=(3,3,-1,-1)T,3=(-2,0,6,8)T,求Span1,2,3的标正基,解:1,2,3就是所要求的标正基.,习题3*5(i)用归纳法证明1+3+5+(2n-1)2=n2,证:对k用归纳法证明.k=1时结论显然成立.若n-1时结论成立1+3+5+(2n-3)=(n-1)2则 1+3+5+(2n-1)2=1+3+5+(2n-3)+(2n-1)=(n-1)2+(2n-1)=n2-2n+1+2n-1=n2,习题3*6,试证:为正规矩阵解所以A为正规矩阵.易见:A不是对角阵且A*A和A*-A因此,A不是Hermite矩阵,也不是反Hermite矩阵.,习题3
15、*7证明:对任意正定矩阵A,任意正整数k 都有正定矩阵S 使 Sk=A,证:因为A是正定矩阵,所以存在UUnn 使得 A=Udiag(1,n)U*,其中1,n是全为正数.令S=Udiag(11/k,n1/k)U*,其中i1/k是正数i的k次算术根,也全为正数.由此推出:Sk=A,并且S酉相似于对角元全为正数的对角矩阵,从而得证S是正定Hermite矩阵,习题4-1(1),4-1:求 A=的满秩分解.解1:A=C A=BC,B=(A5,A3,A1)=,习题4-1(1),4-1:求 A=的满秩分解.解2:A=C A=BC,B=(A1,A2,A3)=,习题4-1(2),4-1(2):求 A=的满秩分
16、解.解:A=C A=BC,B=(A1,A3)=,习题4-2,求 A=的奇异值分解.解:A的奇异值是:2,1;=diag(2,1)AA*的对应于特征值2,1的单位特征向量是(1/2,1/2,0)T,(1,0,0)T,A的奇异值分解是:,习题4*1A与B酉等价A与B奇异值相同,必要性:A=UBV AA*=UBVV*B*U*=UBB*U*BB*AA*与BB*有相同的特征值集,得证A与B有相同的奇异值集.充分性:作A,B的奇异值分解A=UDV*,B=U1DV1*,D=diag(,0),其中,是由它们的全部正奇异值组成的正对角矩阵.于是U*AV=D=U1*BV1 A=(UU1*)B(V1V*)因酉矩阵的
17、乘积 UU1*,V1V*仍为酉矩阵,故上式表明A酉等价于B.,习题4*2,4*2:设ACrmn,UUmm,VUnn使B=U*AV=diag(,0),=diag(b1,br),(*)则|b1|,|br|为A的全部正奇异值.证:U*AA*U=BB*=diag(*,0)写成2不对！=diag(|b1|2,|br|2,0,0)AA*|b1|,|br|为A的全部正奇异值.,奇异值分解定理另一(更强)表述,定理:令1,r为ACrmn的全部正奇异值;=diag(1,r),则有UUmm,VUnn使 U*AV=DCrmn(*)反之,若有UUmm,VUnn使(*)成立,其中=diag(d1,dr),i,di0,则
18、d1,dr为A的全部正奇异值.(奇异值分解的某种唯一性)证:AA*=U V*V U*=U U*diag(d12,dr2,0,0)d1,dr为A的全部正奇异值.注:后半部等价于补充题4*2.,4*3已知A奇异值求AT,A*,A-1的奇异值,补充题4*3:令1,r为ACrmn的全部正奇异值;=diag(1,r),则有UUmm,VUnn使 A=U V*=Udiag(,0)V*(*)易见 A*=Vdiag(,0)U*AT=(Udiag(,0)V*)T=(V*)Tdiag(,0)UT 1,r为A*,AT,的全部正奇异值(利用奇异值分解定理的更强表述).A-1=(UV*)-1=V-1U*=Vdiag(1-
19、1,n-1)U*1-1,n-1为A-1的全部正奇异值.,习题#5-1(2),试证:x,yV,xy|x-y|.证：首先x=(x-y)+yx-y+y x-yx-y.其次x-y=-(y-x)=y-x y-x=-(x-y)x-y|x-y|.此外 x+y=x-(-y)|x-y|=|x-y|xy|x-y|.,习题#5-2试证A=n maxi,j|aij|是矩阵范数,A=(aij)Cnn证:非负性,齐次性显然三角不等式:A+B=n maxi,j|aij+bij|n maxi,j|aij|+n maxi,j|bij|=A+B相容性:AB=n maxi,j|ai1b1j+ainbnj|n2 maxi,t|ait
20、|maxtj|btj|=n maxi,j|aij|(n maxi,j|bij|)=AB,习题#5-3设是诱导范数detA0,试证:ACnn,A-1A-1和 A-1-1=minx0(Ax/x).证:1=E=AA-1AA-1 detA0 A0 A-11/A=A-1.A-1=maxx0(A-1x/x)=maxy0(y/Ay)y=A-1x0 x0=maxy0(1/(Ay/y)=1/miny0(Ay/y)A-1-1=minx0(Ax/x).,同一向量的三种范数之间的大小关系,习题#5-4:对n维线性空间的任意向量x成立 x x2 x1 nx nx2 nx1 n2x 证:x=max|x1|,|xn|(i=
21、1n|xi|2)1/2=x2(|x1|+|xn|)2)1/2=x1 n max|x1|,|xn|=nx,习题#5-6ACnn是正定矩阵,xCn,证明:x=(x*Ax)1/2 是向量范数.解1:因A是正定Hermite矩阵A,故存在可逆矩阵B使得A=B*B.则x的上述表示式可写为:x=(x*Ax)1/2=(Bx)*(Bx)1/2=Bx2 其中2 是向量2-范数.再注意可逆矩阵B的性质:x=0 Bx=0,即可直接推出非负性.kx=B(kx)2=|k|Bx2=|k|x 推出齐次性;三角不等式则由下式推出:x+y=B(x+y)2Bx2+By2,#5-6 A正定,定义xCn,x=(x*Ax)1/2,试证
22、:是一个向量范数.解2:验证矩阵范数3条公理成立.前两条显然成立.只须证三角不等式.x+y2=(x+y)*A(x+y)=(x*+y*)(Ax+Ay)=x*Ax+y*Ay+x*Ay+y*Ax=x2+y2+2Re(x*Ay)令B为A的正定Hermite平方根:A=BB,则 x*Ay=x*BBy=(Bx)*(By)=(Bx,By)标准内积由Cauchy-Schwarz不等式|2Re(x*Ay)|2|x*Ay|2(Bx,Bx)1/2(By,By)1/2=2xy x+y2(x+y)2,得证所需结论.,习题#5-7,试找一个收敛的2阶可逆方阵序列其极限矩阵不可逆 解:下列矩阵序列满足所提条件:Ak的行列式
23、都大于0,故可逆,但极限矩阵是行列式不为0的不可逆矩阵:,习题#5-9 计算矩阵幂级数,试计算幂级数:解1:利用Jordan标准形B=Pdiag(.5,-.3)P-1,P=解2:利用谱半径小于1的矩阵性质,(B)=0.51.E+k=1Bk=(E-B)-1=答案是k=1Bk=解3:也可利用(B)B1=B=0.91,补充题5*1,A=(i)试用归纳法证明:解:k=1时结论显然成立.设k时结论已成立,来证k+1时结论必成立.(ii):求(Ak);Ak1;Ak解:(Ak)=ak;Ak1=Ak=ak+kak-1,补充题5*1,已知 A=(iii):求A2 解:,补充题5*2,试证:若k=1Ak绝对收敛;
24、且则k=1Bk绝对收敛.解:k=1Ak绝对收敛蕴涵对任意i,j正项级数收敛,从而由正项级数比较判别法,对任意i,j,正项级数收敛,从而得证矩阵级数k=1Bk绝对收敛.,补充题5*3,已知幂级数k=0Ak是否收敛?若收敛,又收敛于什么矩阵?解:所以,k=0Ak绝对收敛于下列矩阵:,补充题5*4,试证:矩阵幂级数 对一切ACnn绝对收敛.解:因它所对应的数项幂级数 的收敛半径是所以,对一切ACnn绝对收敛.,补充题5*5下列矩阵幂级数是否绝对收敛?,(1):解:因A是上三角矩阵,不难看出它的特征值是1和2,从而其谱半径是:21=R.所以,此矩阵幂级数发散.(2):解:因A1=MAX0.9,0.8,
25、0.9=0.91=R,补充题5*5下列矩阵幂级数是否绝对收敛?,(3)解1:此矩阵幂级数对应幂级数的收敛半径因A=MAX1.7,1.9=1.9R发散？）解2:此矩阵幂级数等价于而的矩阵幂级数绝对收敛(B=0.951).,习题#6-5求已知矩阵A的最小多项式,已知 A=解I:解II:A()=dn()=Dn()/Dn-1()=(-1)3/(-1)=(-1)2,习题#6-5求已知矩阵A的最小多项式,已知 A=解I:因 A+E 和 A-2E都 0,并且(A-2E)(A+E)=0,故A()=(-2)(+1),习题#6-5求已知矩阵A的最小多项式,已知 A=解II:A()=dn()=Dn()/Dn-1()
26、=(-2)(+1)2/(+1)=(-2)(-1),习题#6-6已知矩阵A求f(A)的Jordan表示式,已知 A=解:因(A-E)(A-2E)0,故A()=(-1)(-2)2,从而得A的初等因子为:-1,(-2)2.设变换矩阵为P=(1,2,3),则 A(1,2,3)=(1,2,3)给出(A-E)1=0,(A-2E)2=0,(A-2E)3=2 解这些方程组求得 P=(1,2,3)=,习题#6-6续,:,注:f(x)=arctg(x/4)f(x)=,补充题#6*1 已知A和p(),求p(A),已知 A=p()=4-23+-1,f()=12-411+410-+3解I:易见的特征多项式D()=(-2
27、)3.(A-2E)2=0&A-2E0 A()=(-2)2=2-4+4p()=(2+2+4)(2-4+4)+9-17 p(A)=0+9A-17E=f()=10(2-4+4)-+3 p(A)=0-A+3E=,解II:由D()=(-2)3.和A()=(-2)2=2-4+4A有Jordan标准形 并有变换矩阵P满足,补充题#6*2求已知A的Jordan标准形用于计算,已知 A=求 etA,Sin(A)解:det(E-A)=(-3)(+3)+8=2-1从而得A的初等因子为:-1,+1.设变换矩阵为P=(1,2),则 A(1,2)=(1,2)给出(A-E)1=0,(A+E)2=0.解这些方程组求得 P=(
28、1,2)=,补充题#6*2续,:,补充题#6*2续,注:也可直接计算 Sin(A).,习题#8-1 求已知矩阵A的全部减号逆,已知 A=求它的全部减号逆 解:,习题#8-2 求已知矩阵A的加号逆,已知 A=求它的加号逆 解:显然,A是满行秩,有秩分解:A=E3A,A+=A*(AA*)-1,习题#8-4 证明有关加号逆的等式,证明:AA+=AA*(AA*)+=(AA*)+(AA*)解:A+=A*(AA*)+定理8.3.3 AA+=AA*(AA*)+AA+=(AA+)*=(AA*(AA*)+)*=(AA*)*)+(AA*)*与+可交换=(AA*)+(AA*),习题#8-4证明有关加号逆的等式,证明
29、:若A*=A,则 AA+=A+A解I:A+A=(A+A)*=A*(A+)*=A*(A*)+=AA+解II:(AA*)(AA*)+=AA*(A+)*A+用了定理8.3.3=A(A+A)*A+=AA+AA+=AA+(AA*)(AA*)+=(AA*)+(AA*)加号逆是3逆=A+A+AA=A+(A+A)*A=A+A*(A+)*A=A+AA+A=A+A,补充题#8*1 求已知矩阵A的减号逆,已知 A=求它的全部减号逆 解:,补充题#8*2,试证:ACmn的减号逆是Cnm的任一矩阵,当且仅当A是零矩阵.解:必要性显然,因为若A的减号逆是零矩阵推出A也是零矩阵:A=A0A=0.充分性 当A=0时,因为 X
30、Cnm,0=0X0,所以,X=A-.,补充题#8*3,试证:V,WCnm,X=A-+V(Em-AA-)+(En-A-A)WCnm 是=ACmn的减号逆.解:直接验证 AXA=A(A-+V(Em-AA-)+(En-A-A)W)A=AA-A+AVA-AVAA-A+AWA-AA-AWA=A+AVA-AVA+AWA-AWA=A,补充题#8*4完成定理的证明,定理:设ACrmn,A=BC为满秩分解,则A+=C*(CC*)-1(B*B)-1B*是A的一个加号逆证:直接验证 AA+A=BCC*(CC*)-1(B*B)-1B*BC=BC=A A+AA+=C*(CC*)-1(B*B)-1B*BCC*(CC*)-1(B*B)-1B*=C*(CC*)-1(B*B)-1B*=A+AA+=BCC*(CC*)-1(B*B)-1B*=B(B*B)-1B*和 A+A=C*(CC*)-1(B*B)-1B*BC=C*(CC*)-1C都是Hermite矩阵(AA+)*=(B(B*B)-1B*)*=B(B*B)-1)*B*=B(B*B)-1B*=AA+,补充题题#8*5 求已知矩阵A的加号逆,已知 A=求它的加号逆 解I:A显然是列满秩,故A+=(A*A)-1A*=,补充题题#8*5 求已知矩阵A的加号逆,已知 A=求它的加号逆 解II:,祝大家考试顺利通过！,Happy 牛 year！,
