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1、第3章 离散傅立叶变换,DFSDFS的性质DFTDFT的性质圆周卷积利用DFT计算线性卷积频率域抽样,有限长序列的傅里叶分析,一、四种信号傅里叶表示,1.周期为T0的连续时间周期信号,频谱特点：离散非周期谱,2.连续时间非周期信号,频谱特点：连续非周期谱,3.离散非周期信号,频谱特点：周期为2的连续谱,4.周期为N 的离散周期信号,频谱特点：周期为N的离散谱,为了便于更好地理解DFT的概念，先讨论周期序列及其离散傅里叶级数（DFS）表示。一个周期为N的周期序列，即，k为任意整数，N为周期周期序列不能进行Z变换，因为其在 n=-到+都周而复始永不衰减，即 z 平面上没有收敛域。但是，正象连续时间
2、周期信号可用傅氏级数表达，周期序列也可用离散的傅氏级数来表示，也即用周期为N的正弦序列来表示。,离散傅里叶级数（DFS）,周期为N的正弦序列其基频成分为：K次谐波序列为：,但离散级数所有谐波成分中只有N个是独立的，这是与连续傅氏级数的不同之处，即 因此,将周期序列展成离散傅里叶级数时，只需取 k=0 到(N-1)这N个独立的谐波分量，所以一个周期序列的离散傅里叶级数只需包含这N个复指数，利用正弦序列的周期性可求解系数。将上式两边乘以，并对一个周期求和,上式中 部分显然只有当k=r时才有值为1,其他任意k值时均为零,所以有 或写为 1)可求 N 次谐波的系数 2）也是一个由 N 个独立谐波分量组
3、成的傅立叶级数 3）为周期序列，周期为N。,时域上周期序列的离散傅里叶级数在频域上仍是一个周期序列。,是一个周期序列的离散傅里叶级数(DFS)变换对，这种对称关系可表为：习惯上：记，,DFS变换对公式表明，一个周期序列虽然是无穷长序列，但是只要知道它一个周期的内容（一个周期内信号的变化情况），其它的内容也就都知道了，所以这种无穷长序列实际上只有N个序列值的信息是有用的，因此周期序列与有限长序列有着本质的联系。,则DFS变换对可写为,DFS 离散傅里叶级数变换IDFS离散傅里叶级数反变换。,DDFS的几个主要特性：假设 都是周期为 N 的两个周期序列，各自的离散傅里叶级数为：1）线性 a,b为任
4、意常数,2）序列移位 证因为 及 都是以N为周期的函数，所以有,由于 与 对称的特点，同样可证明,3）共轭对称性 对于复序列 其共轭序列 满足,证:,同理:,进一步可得,共轭偶对称分量,共轭奇对称分量,4）周期卷积若 则 或,周 期 卷 积,证：这是一个卷积公式，但与前面讨论的线性卷积的差别在于，这里的卷积过程只限于一个周期内（即 m=0N-1），称为周期卷积。例：、，周期为 N=7,宽度分别为 4 和 3，求周期卷积。结果仍为周期序列，周期为 N。,由于DFS与IDFS的对称性，对周期序列乘积，存在着频域的周期卷积公式，若 则,我们知道周期序列实际上只有有限个序列值有意义，因此它的许多特性可
5、推广到有限长序列上。一个有限长序列 x(n)，长为N，为了引用周期序列的概念，假定一个周期序列，它由长度为 N 的有限长序列 x(n)延拓而成，它们的关系：,离散傅里叶变换（DFT）,周期序列的主值区间与主值序列：对于周期序列，定义其第一个周期 n=0N-1，为 的“主值区间”，主值区间上的序列为主值序列 x(n)。x(n)与 的关系可描述为：数学表示：RN（n）为矩形序列。符号（n）N 是余数运算表达式，表示 n 对 N 求余数。,例：是周期为 N=8 的序列，求 n=11 和 n=-2 对 N的余数。因此,频域上的主值区间与主值序列：,周期序列 的离散付氏级数 也是一个周期序列，也可给它定
6、义一个主值区间，以及主值序列 X(k)。数学表示：,再看周期序列的离散傅里叶级数变换（DFS）公式：,这两个公式的求和都只限于主值区间（0N-1），它们完全适用于主值序列 x(n)与 X(k)，因而我们可得到一个新的定义有限长序列离散傅里叶变换定义。,长度为N的有限长序列 x(n)，其离散傅里叶变换 X(k)仍是一个长度为N 的有限长序列，它们的关系为：x(n)与 X(k)是一个有限长序列离散傅里叶变换对，已知 x(n)就能唯一地确定 X(k)，同样已知 X(k)也就唯一地确定 x(n)，实际上 x(n)与 X(k)都是长度为 N 的序列（复序列）都有N个独立值，因而具有等量的信息。有限长序列
7、隐含着周期性。,1.线性,需将较短序列补零后，再按长序列的点数做DFT,2.循环位移(Circular shift of a sequence),循环位移定义为,离散傅里叶变换的性质,DFT频域循环位移特性,DFT时域循环位移特性,3.对称性(symmetry),周期共轭对称(Periodic conjugate symmetry)定义为,周期共轭反对称(Periodic conjugate antisymmetry)定义为,当序列xk为实序列时，周期偶对称序列满足,当序列xk为实序列时，周期奇对称序列满足,对称特性,当xk是实序列时,4.循环卷积,h(-n)N,h(1-n)N,h(2-n)N
8、,h(3-n)N,卷积定理,序列DFT与z变换的关系,xk的 Xm等于其z变换X(z)在单位圆上等间隔取样,设序列xk的长度为N,(内插公式),问题提出:,实际需要：LTI系统响应 yk=x khk,可否利用DFT计算线性卷积？,例：x1k=1,1,1,x 2k=1,1,0,1,N=4,一、两个有限长序列的线性卷积,利用DFT计算线性卷积,线性卷积的矩阵表示,循环卷积的矩阵表示,循环卷积的矩阵表示,若xk的长度为N，hk的长度为M，则L=N+M-1点循环卷积等于xk 与hk的线性卷积。,直接计算与由DFT间接计算结果比较,若x1k为 M 点序列,x2k为L 点序列，LM,x1k L x2k中哪
9、些点不是线性卷积的点?,问题讨论,0 k M-2不是线性卷积的结果，即前(M-1)个点与线性卷积不一样。,线性卷积的矩阵表示,循环卷积的矩阵表示,k=0 M-2,前M-1个点不是线性卷积的点,k=M-1 L-1,L-M+1个点与线性卷积的点对应,线性卷积 L L+M-2 后M-1点没有计算,则L点循环卷积,结论,若x1k为 M 点序列,x2k为L 点序列，LM,长序列和短序列的线性卷积,直接利用DFT计算的缺点：,(1)信号要全部输入后才能进行计算，延迟太多,(2)内存要求大,(3)算法效率不高,解决问题方法：采用分段卷积,分段卷积可采用重叠相加法 和 重叠保留法,1.重叠相加（overlap
10、 add）,将长序列xk 分为若干段长度为L的序列,其中,y0k的非零范围,y1k-L的非零范围,序列 y0k,y1k的重叠部分,重叠的点数,L+M-2-L+1=M-1,依次将相邻两段的M-1个重叠点相加，即得到最终的线性卷积结果。,重叠相加法分段卷积举例,方法：(1)将xk长序列分段，每段长度为L；(2)各段序列xnk与 M点短序列hk循环卷积；(3)从各段循环卷积中提取线性卷积结果。,2.重叠保留法(overlap save),前M-1个点不是线性卷积的点,故分段时，每段与其前一段有M-1个点重叠。,y0k中的M-1,L-1点对应于线性卷积 xk*hk中的0,L-M点,y1k中的M-1,L
11、-1点对应于线性卷积xk*hk中的,L-(M-1),2L-M-(M-1)点,例 已知序列xk=k+2,0k12,hk=1,2,1试分别利用重叠相加和保留法计算线性卷积,取L=5。,yk=2,7,12,16,20,24,28,32,36,40,44,48,52,41,14,解:重叠相加法,x1k=2,3,4,5,6,x2k=7,8,9,10,11,x3k=12,13,14,y1k=2,7,12,16,20,17,6,y2k=7,22,32,36,40,32,11,y3k=12,37,52,41,14,解:重叠保留法,yk=2,7,12,16,20,24,28,32,36,40,44,48,52,41,14,x1k=0,0,2,3,4,x2k=3,4,5,6,7,x3k=6,7,8,9,10,y1k=x1khk=11,4,2,7,12,x4k=9,10,11,12,13,y2k=x2khk=23,17,16,20,24,y3k=x3khk=35,29,28,32,36,y4k=x4khk=47,41,40,44,48,x5k=12,13,14,0,0,y5k=x5khk=12,37,52,41,14,
