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1、信号与系统,Signals and System,离散时间傅立叶变换,基 本 内 容,1.离散时间傅立叶变换；2.常用信号的离散时间傅立叶变换对;3.离散时间周期信号的傅立叶变换；4.傅立叶变换的性质；5.系统的频率响应与系统的频域分析方法；,注释:,CFS(The Continuous-Time Fourier Series):连续时间傅立叶级数,DFS(The Discrete-Time Fourier Series):离散时间傅立叶级数,CTFT(The Continuous-Time Fourier Transform):连续时间傅立叶变换,DTFT(The Discrete-Time
2、 Fourier Transform):离散时间傅立叶变换,5.0 引言 Introduction,本章将采用与讨论CTFT完全相同的思想方法，来研究离散时间非周期信号的频域分解问题。DFS与CFS之间既有许多类似之处，也有一些重大差别：主要是DFS是一个有限项级数，其系数 具有周期性。,在采用相同方法研究如何从 DFS 引出离散时间非周期信号的频域描述时，可以看到，DTFT与CTFT既有许多相类似的地方，也同时存在一些重要的区别。抓住它们之间的相似之处并关注其差别，对于掌握和加深对频域分析方法的理解具有重要意义。,1 非周期信号的表示,Representation of Aperiodic
3、Signals:The Discrete-time Fourier Thransform,一.从DFS到DTFT:,在讨论离散时间周期性矩形脉冲信号的频谱时,我们看到：当信号周期N增大时，频谱的包络形状不变，幅度减小，而频谱的谱线变密。,因此，可以预见，对一个非周期信号，它的频谱应该是一个连续的频谱。,当 时，有，将导致信号的频谱无限密集，最终成为连续频谱。,从时域看，当周期信号的周期 时，周期序列就变成了一个非周期的序列。,当 时 令,对周期信号 由DFS有,即,有:,当 在一个周期范围内变化时，在 范围变化，所以积分区间是。,将其与 表达式比较有,于是:,表明:离散时间序列可以分解为频率在
4、2区间上分布的、幅度为 的复指数分量的线性组合。,DTFT对,二.常用信号的离散时间傅立叶变换,通常 是复函数，用它的模和相位表示:,1.,由图可以得到:,2.,3.矩形脉冲:,两点比较:,1.与对应的周期信号比较,2.与对应的连续时间信号比较,如图所示:,4.,三.DTFT的收敛问题,当 是无限长序列时，由于 的表达式是无穷项级数，当然会存在收敛问题。,收敛条件有两组：,则 存在，且级数一致收敛 于。,1.则级数以均方误差最小的准则 收敛于。,考察 的收敛过程，如图所示：,但随着 的振荡频率变高，起伏的幅度趋小;,当 时，振荡与起伏将完全消失，不会出现吉伯斯(Gibbs)现象，也不存在收敛问
5、题。,由图可以得到以下结论:,当以部分复指数分量之和近似信号时，也会 出现起伏和振荡;,和连续时间情况相同，利用把一个周期信号的变换表示成频域中的冲激串的办法，就可以把离散时间周期信号也归并到离散时间傅里叶变换中去。对连续时间信号，的傅里叶变换就是0 处的冲激。即由此推断，对离散时间信号可以期待有相似的情况。但由于DTFT一定是以2为周期的，因此，频域的冲激应该是周期性的冲激串，即,2 周期信号的DTFT,The Fourier Transform for Periodic Signals,可见,对其做反变换有：,在任何一个周期内，上述积分内真正包括的只有一个冲激，假设所选区间包括在0 2r处
6、的冲激，则,现在考虑一个周期性信号，周期为N，其傅立叶级数为：,这时，离散周期性信号的傅里叶变换就是：,这样，一个周期信号的傅里叶变换就能直接从它的傅立叶级数得到。,证明：由对离散周期信号,将x(n)用DTFT表示为,（对L 展开）,比较:可以看出与连续时间傅立叶变换中相应的形式是完全一致的。,注意到 也以 为周期，于是有：,例2.,比较:与连续时间情况下对应的相一致。,3 离散时间傅立叶变换的性质,DTFT也有很多与CTFT类似的性质，当然也有某些明显的差别。,通过对DTFT性质的讨论，目的在于揭示信号时域和频域特性之间的关系。,一、周期性(periodic)：,比较：这是与CTFT不同的。
7、,Properties of the Discrete-Time Fourier Transform,二.线性(linearity):,三.时移与频移(shifiting):,四.时域反转(reflaction):,五.共轭对称性(symmetry properties):,由此可进一步得到以下结论:,即,于是有:,于是有:,六.差分与求和(Differencing and Accumulation):,例:,七.时域内插(Interplation):,k1时，该信号在时域上被拉开了（变慢），对应地在频域就被压缩。,信号的时域与频域特性之间有一种相反的关系。,八.频域微分(Differenti
8、on in Frequency):,九.Parseval定理:,4 卷积特性(The Convolution Property),说明：该特性提供了对LTI系统进行频域分析的理论基础。,即是系统的频率特性。,例:求和特性的证明,5 相乘性质（The Multiplication Property),例:,7 对偶性（Duality）,由于ak本身也是以N为周期的序列，当然也可以将其展开成傅立叶级数形式。令-nk，kn，此时上面右式即ak的傅立叶级数展开,一.DFS的对偶,离散时间的傅立叶变换不存在如连续时间傅立叶变换那样的对偶性，但周期性离散时间信号与其傅立叶级数展开之间存在对偶性。,利用对偶
9、性可以很方便的将离散傅立叶级数在时域得到的性质，通过对偶得到频域相应的性质。,这表明：序列an 的傅立叶级数的系数就是,即:,例1:从时移到频移,利用时移性质有:,由对偶性有:,称之为频移特性,二.DTFT与CFS间的对偶*,由 知X(ejt)是一个以2为周期的连续函数,如果在时域构造一个以 2为周期的连续时间信号X(ejt)，则可以将其表示为CFS形式:,由DTFT有：,利用这一对偶关系，可以将DTFT的若干特性对偶到CFS中去；或者反之。,比较x(n)和ak的表达式可以看出,例:从CFS的时域微分到DTFT的频域微分,CFS的时域微分特性,DTFT的频域微分特性,例:从CFS的卷积特性到D
10、TFT的相乘特性,再由对偶性：,由CFS的卷积特性,可以将对偶关系归纳为如下图表:,时域的连续性,可以看出：信号在时域的特性和在频域的特性之间存在以下对应关系：,时域的周期性,时域的离散性,时域的非周期性,频域的离散性,频域的连续性,频域的周期性,频域的非周期性,8 由LCCDE表征的系统,相当广泛而有用的一类离散时间LTI系统可以由一个线性常系数差分方程来表征:,一.由LCCDE描述的系统的频率响应:,Systems Characterized by Linear Constant-Coefficient Difference Equations,方法三:对方程两边进行DTFT变换，可得到:
11、,二.系统的频率响应:,刻画了LTI系统的频域特征，它是系统单位脉冲响应的傅立叶变换。,三.由方框图描述的系统:,如果，则 存在。,但并非所有的LTI系统都一定存在频率响应。,通过对图中两个加法器的输出列方程可得到:,由上式可得：,后一节点,前一节点,四.LTI系统的频域分析方法:,2.根据系统的描述，求得系统的频率响应。,1.对输入信号做傅立叶变换，求得。,3.根据卷积特性得到。,4.对 做傅立叶反变换得到系统的响应。,做傅立叶变换或反变换的主要方法是部分分式展开、利用傅立叶变换的性质和常用的变换对。,9 小结 Summary,通过对DTFT性质的讨论，揭示了离散时间信号时域与频域特性的关系
12、。不仅看到有许多性质在CTFT中都有相对应的结论，而且它们也存在一些重要的差别，例如DTFT总是以2为周期的。,本章与第4章平行地讨论了DTFT，讨论的基本思路和方法与第4章完全对应，得到的许多结论也很类似。,对偶性的讨论为进一步认识连续时间信号、离 散时间信号、周期信号与非周期信号频域描述的几种工具之间的内在联系，提供了重要的理论根据。深入理解并恰当运用对偶性，对深刻掌握CFS、DFS、CTFT、DTFT的本质关系有很大帮助。,通过卷积特性的讨论，对LTI系统建立了频域分析的方法。同样地，相乘特性的存在则为离散时间信号的传输技术提供了理论基础。,与连续时间LTI系统一样，对由LCCDE或由方框图描述的LTI系统，可以很方便的由方程或方框图得到系统的频率响应函数H(ej)，进而实现系统的频域分析。其基本过程和涉及到的问题与连续时间LTI系统的情况也完全类似。,随着今后进一步的讨论，我们可以看到CFS、DFS、CTFT、DTFT之间是完全相通的。,对偶性,连续时间非周期信号,离散时间周期信号,离散时间非周期信号,对偶性,频域采样,频域采样,
