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1、1.3 简单几何体的表面积和体积,三都民族中学 高一数学组,回忆复习有关概念,1、直棱柱：,2、正棱柱：,3、正棱锥：,4、正棱台：,侧棱和底面垂直的棱柱叫直棱柱,底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱,底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥,正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫正棱台,作直三棱柱、正三棱锥、正三棱台各一个，找出斜高,斜高的概念,2、分别作出一个圆柱、圆锥、圆台，并找出旋转轴,分别经过旋转轴作一个平面，观察得到的轴截面是 什么形状的图形.,矩 形,等腰三角形,等腰梯形,直棱柱：设棱柱的高为h，底面多边形的周长为c，则S直棱柱侧.圆柱：如果圆柱的底面半径为r，母
2、线长为l，那么S圆柱侧.,ch,2rl,知识点一：柱、锥、台、球的表面积与侧面积,(1)柱体的侧面积,把直三棱柱侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？侧面积怎么求？,思考：把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线 展开，分别得到什么图形?展开的图形与原图 有什么关系？,宽,长方形,正棱锥：设正棱锥底面正多边形的周长为c，斜高为h，则S正棱锥侧.圆锥：如果圆锥的底面半径为r，母线长为l，那么S圆锥侧.,ch,rl,(2)锥体的侧面积,把正三棱锥侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？侧面积怎么求？,思考：把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线 展开，分别得到什么图形?展开的图形与原图 有什么关系？,扇形
3、,正棱台：设正n棱台的上底面、下底面周长分别为c、c，斜高为h，则正n棱台的侧面积公式：S正棱台侧.圆台：如果圆台的上、下底面半径分别为r、r，母线长为l，则S圆台侧,12(cc)h,l(rr),(3)台体的侧面积,注：表面积侧面积底面积,把正三棱台侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？侧面积怎么求？,思考：把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线 展开，分别得到什么图形?展开的图形与原图 有什么关系？,扇环,例1：一个正三棱台的上、下底面边长分别是3cm和6cm，高是3/2cm，求三棱台的侧面积.,分析：关键是求出斜高，注意图中的直角梯形,O1,O,D,D1,E,例3：圆台的上、下底面半径分别为
4、2和4，高为，求其侧面展开图扇环所对的圆心角,分析：抓住相似三角形中的相似比是解题的关键,小结：1、抓住侧面展开图的形状，用好相应的计算公式，注意逆向用公式；2、圆台问题恢复成圆锥图形在圆锥中解决圆台问题，注意相似比.,答：1800,例：圆台的上、下底半径分别是10cm和20cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是1800，那么圆台的侧面积是多少？（结果中保留）,小结：1、弄清楚柱、锥、台的侧面展开图的形状是关键；2、对应的面积公式,例1：一个正三棱柱的底面是边长为5的正三角形，侧棱长为4，则其侧面积为 _;,答：60,例2：正四棱锥底面边长为6,高是4，中截面把棱锥截成一个小棱锥和一个棱台，求棱
5、台的侧面积,例3 已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S-ABC，求它的表面积,B,C,A,S,分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成,因为BC=a，,所以：,因此，四面体S-ABC 的表面积,交BC于点D,解：先求 的面积，过点S作，,例4(2010年广东省惠州市高三调研)如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长是2，D，E是CC1，BC的中点，AEDE.(1)求此正三棱柱的侧棱长；(2)正三棱柱ABCA1B1C1的表面积,【思路点拨】(1)证明AED为直角三角形，然后求侧棱长；(2)分别求出侧面积与底面积,【点评】求表面积应分别求各部分面的面积，所以应弄清图形的形状，利用
6、相应的公式求面积，规则的图形可直接求，不规则的图形往往要再进行转化，常分割成几部分来求,思考：怎样求斜棱柱的侧面积？1）侧面展开图是 平行四边形 2）S斜棱柱侧=直截面周长侧棱长 3）S侧=所有侧面面积之和,1高考中对几何体的表面积的考查一般在客观题中，借以考查空间想象能力和运算能力，只要正确把握几何体的结构，准确应用面积公式，就可以顺利解决,几何体的表面积问题小结,2多面体的表面积是各个面的面积之和圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和3几何体的表面积应注意重合部分的处理,(1)长方体的体积V长方体abc.(其中a、b、c
7、为长、宽、高，S为底面积，h为高)(2)柱体(圆柱和棱柱)的体积V柱体Sh.其中，V圆柱r2h(其中r为底面半径),Sh,知识点二柱、锥、台、球的体积,(3)锥体(圆锥和棱锥)的体积V锥体 Sh.其中V圆锥，r为底面半径,13r2h,(4)台体的体积公式V台h(SS)注：h为台体的高，S和S分别为上下两个底面的面积其中V圆台 注：h为台体的高，r、r分别为上、下两底的半径(5)球的体积V球.,13h(r2rrr2),13R3,例从一个正方体中，如图那样截去4个三棱锥后，得到一个正三棱锥ABCD，求它的体积是正方体体积的几分之几？,1求空间几何体的体积除利用公式法外，还常用分割法、补体法、转化法
8、等，它们是解决一些不规则几何体体积计算问题的常用方法,几何体的体积小结,2计算柱体、锥体、台体的体积关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分利用多面体的截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题,第一步：分割,O,球面被分割成n个网格，表面积分别为：,则球的表面积：,则球的体积为：,设“小锥体”的体积为：,知识点三、球的表面积和体积,（,O,第二步：求近似和,O,由第一步得：,第三步：转化为球的表面积,如果网格分的越细,则:,由 得:,设球的半径为R，则球的体积公式为V球.,43R3,例1(2009年高考上海卷)若球O1、O2表面积之比4，则它们的半径之比_.,(1)若球的表面积变为原
9、来的2倍,则半径变为原来的倍。(2)若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的倍。(3)若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是。(4)若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是。,例2：,例3.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各个顶点都在球O的球面上，问球O的表面积。,分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。,略解：,变题1.如果球O和这个正方体的六个面都相切，则有S=。变题2.如果球O和这个正方体的各条棱都相切，则有S=。,关键：,找正方体的棱长a与球半径R之间的关系,例4已知过球面上三点A、B、C的截面到球
10、心O的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=cm，求球的体积，表面积,解：如图，设球O半径为R，截面O的半径为r，,例5、有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三个球的体积之比.,作轴截面,规律方法总结,1直棱柱的侧面展开图是一些矩形，正棱锥的侧面展开图是一些全等的等腰三角形，正棱台的侧面展开图是一些全等的等腰梯形2斜棱柱的侧面积等于它的直截面(垂直于侧棱并与每条侧棱都相交的截面)的周长与侧棱长的乘积,3如果直棱柱的底面周长是c，高是h，那么它的侧面积是S直棱柱侧ch.4应注意各个公式的推导过程，不要死记硬背公式本身，要熟悉柱体中的矩形、锥体中的直角三角形、台体中的直角梯形等特征图形在公式推导中的作用,规律方法总结,5如果不是正棱柱、正棱锥、正棱台，在求其侧面积或全面积时，应对每一个侧面的面积分别求解后再相加6求球的体积和表面积的关键是求出球的半径反之，若已知球的表面积或体积，那么就可以得出其半径的大小7计算组合体的体积时，首先要弄清楚它是由哪些基本几何体构成，然后再通过轴截面分析和解决问题,8计算圆柱、圆锥、圆台的体积时，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，应注意充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解,
