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1、直接证明与间接证明,2.2,演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程.,数学结论、证明思路的发现,主要靠合情推理.,复习,例:已知a0,b0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)4abc,因为b2+c2 2bc,a0所以a(b2+c2)2abc.,又因为c2+b2 2bc,b0所以b(c2+a2)2abc.,因此a(b2+c2)+b(c2+a2)4abc.,证明:,在数学证明中，我们经常从已知条件和某些数学定义、定理、公理、性质等出发通过推理导出所要的结论。,利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法也叫顺推
2、法,用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论.,则综合法用框图表示为:,1、综合法：,综合法是由一个个推理组成的,特点：由因导果,例：求证：,证明：因为 都是正数，,所以为了证明,只需证明,展开得,即,只需证明2125，因为2125成立，,所以不等式 成立。,一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做分析法也叫逆推法。,特点：执果索因.,用框图表示分析法的思考过程、特点.,2，分析法,22.1综合法和分析法,学习导航,学习目标,重
3、点难点重点：了解直接证明的两种基本方法综合法和分析法及其思考过程、特点 难点：对综合法和分析法的思考过程和特点的概括,综合法和分析法,已知条件,定义,公理,定理,推理论证,要证明,充分条件,定理,定义,公理,已知条件,定义,公理,定理,所要证明的结论,想一想1.综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？提示：综合法与分析法的推理过程是演绎推理，因为综合法与分析法的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”,2.分析法是把所要求证的结论当作已知条件来推理吗？提示：分析法并不是把所要求证的结论当作已知条件来推理，而是寻求使结论成立的充分条件,做一
4、做1.以下命题中正确的是()A综合法是执果索因的逆推法B综合法是由因导果的顺推法C综合法是因果互推的两头凑法D综合法就是举反例答案：B,解析：选B.从数据来看，宜用分析法,分析基本不等式：(a0,b0)的证明.,证明:要证;只需证;只需证;只需证;因为;成立所以 成立,还原成综合法：,题型一综合法的应用,【名师点评】综合法证明问题的步骤：第一步：分析条件，选择方向仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法第二步：转化条件，组织过程把题目的已知条件，转化成解题所需的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化组织
5、过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路第三步：适当调整，回顾反思解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取,互动探究1.已知abc6.求a2b2c2的最小值,题型二分析法的应用【思路点拨】题目条件适合使用分析法证明不等式，只需要注意分析法证明问题的格式即可,名师微博分类讨论是关键！,名师微博平时练习时，这一步你想到、做到了吗？【名师点评】应用分析法证明问题的模式(若p则q形式)如下：为了证明命题q为真，只需证命题p1为真，从而有只需证命题p2为真，从而有只需证明命题p为真，而已知p为真，故q必为真,变式训练,题型三综合法与分析法的应用AB
6、C的三个内角A，B，C成等差数列求证：(ab)1(bc)13(abc)1.,只需证c(bc)a(ab)(ab)(bc)，需证c2a2acb2.ABC三个内角A，B，C成等差数列，B60.由余弦定理，有b2c2a22cacos60.即b2c2a2ac，c2a2acb2，此式即分析中欲证之等式，即原式得证法二：ABC三个内角A，B，C成等差数列，B60.,【名师点评】综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易于寻找解题思路，在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析、综合法，其结构特点是：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P
7、.若由P可推出Q，即可得证,变式训练,1.定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x2)，当x1时，f(x)单调递增，如果x1x22且(x11)(x21)0，则f(x1)f(x2)的值()A恒小于0B恒大于0C可能为0 D可正可负,解析：选B.由f(x)f(x2)知函数yf(x)关于点(1，0)对称由(x11)(x21)1，则x22，x12x2.由x21，故x12x21.f(x1)f(2x2)，f(2x2)f(x2)，f(x1)f(x2)，即f(x1)f(x2)0.,答案：ABC,3.已知ABC的三边a，b，c的倒数成等差数列，试分别用综合法和分析法证明：B为锐角,方法技巧分析法与综合法的优缺
8、点综合法和分析法是直接证明的两种基本方法，两种方法各有优缺点分析法解题方向较为明确，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后用综合法有条理地表述解题过程,失误防范1.利用综合法证明问题时，要把产生某结果的具体原因写完整，不可遗漏另外，要注重对已知条件的分析、利用2.用分析法书写证明过程时，格式要规范，一般为“欲证，只需证，只需证，由于显然成立(已知，已证)，所以原结论成立”其中的关联词语不能省略,小结：,分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中:分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由因导果，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。,
