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1、数学结论的证明主要靠演绎推理,数学结论、证明思路的发现,主要靠合情推理.,复习,2.2 直接证明与间接证明,综合法和分析法,直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推理证明结论的真实性。,常用的直接证明方法有综合法与分析法。,探究（一）：综合法,思考1：对于不等式其左右两边的结构有什么特点？,右边是3个数a，b，c的乘积的4倍，左边为两项之和，其中每一项都是一个数与另两个数的平方和之积.,思考2：利用哪个知识点可以沟通两个数的平方和与这两个数的积的不等关系？,基本不等式,思考3：若已知a0，b0，如何利用不等式性质证明,+,+,+,例:已知a0,b0,求证a(b2+c
2、2)+b(c2+a2)4abc,因为b2+c2 2bc,a0所以a(b2+c2)2abc.,又因为c2+b2 2bc,b0所以b(c2+a2)2abc.,因此a(b2+c2)+b(c2+a2)4abc.,证明:,直接证明法1、综合法,利用已知条件和某些数学定义、公理、定理、性质、法则等，经过一系列的推理论证，最后推导出所证结论成立.,综合法又叫“顺推证法”或“由因导果法”，其基本思想是：由已知推可知，逐步推出未知.若用P表示已知条件和某些数学定义、公理、定理、性质、法则等，Q表示所要证明的结论，则综合法的推理过程用流程框图可怎样表示？,利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理
3、论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法,用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论.,则综合法用框图表示为:,综合法是中学数学证明中最常用的方法。综合法是从已知到未知，从题设条件到结论的逻辑推理方法。,综合法一种由因索果的证明方法。,例:已知a、b、c是不全相等的正数,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)6abc,三式相加得a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)6abc,证明:,所以a(b2+c2)2abc.,同理b(c2+a2)2abc.,同理c(a2+b2)2abc.,a、b、c是不全相等的正数 三式不能全取“=”
4、,因为a、b、c是不全为相等的正数,例3：在中，三个内角、对应的边分别为a、b、c，且、成等差数列，a、b、c成等比数列，求证为等边三角形,例：在中，三个内角、对应的边分别为a、b、c，且、成等差数列，a、b、c成等比数列，求证为等边三角形,证明：,解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言。还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来,补充练习,练习：P42 1,一般地，利用已知条件和某些已经学过的定义、定理、公理等，经过一系列的推理、论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。,特点:“由因导果”,引例：基本不等式：(a
5、0,b0)的证明.,定义：从证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为只需判定一个明显成立的条件（已知条件，定义、定理、公理）为止。,直接证明法2、分析法,【分析法】,从结论出发，寻找结论成立的充分条件直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件。,要证：只要证：只需证：显然成立上述各步均可逆所以 结论成立,格 式,分析法，又叫“逆推证法”或“执果索因法”，其基本思想是：由未知探需知，逐步推向已知.若用Q表示所要证明的结论，则分析法的推理过程用流程框图可怎样表示？,例4 求证：.,【例5】如图：过A作SB的垂线，垂足为E，过E作SC 的垂线，垂足为F。求
6、证：,例6 已知sincos2sin，sincossin2，其中，求证：,直接证明（数学理论）,上述两种证法有什么异同？,都是直接证明,证法1 从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止 综合法,相同,不同,证法2 从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件吻合为止 分析法,【探究1】将9个球分别染成红色或白色无论怎样染色，至少有5个球同色的。正确吗？,间接证明法反 证 法,直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推理证明结论的真实性。,常用的直接证明方法有综合法与分析法。,综合法的思路是
7、由因导果；分析法的思路是执果索因。,在解决有关问题时，常常把分析法和综合法结合起来使用。先用分析法寻求解题思路，再用综合法解答或证明；有时要分析法和综合法结合起来交替使用。,间接证明不是从正面证明命题的真实性，而是证明命题的反面为假，或改证它的等价命题为真，间接地达到证明的目的。,反证法就是一种常用的间接证明方法。,反证法：,假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.,思考1：用反证法证题的核心问题是什么？,在正确的推理下得出矛盾.,思考2：在反证法应用中，矛盾的构设有哪几种情形？,（1）与已知条件矛盾；,（2）与
8、假设矛盾；,（3）与定义、公理、定理、性质矛盾；,（4）与客观事实矛盾.,2.2直接证明与间接证明,2.2.2 反证法,反证法：假设命题结论不成立（即命题结论的反面成立），经过正确的推理,引出矛盾，因此说明假设错误,从而证明原命题成立,这样的的证明方法叫反证法。,反证法的一般步骤：（1）反设：假设命题结论不成立（即假设结论的反面成立）；（2）归缪：从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；（3）下结论：由矛盾判定假设不成立，从而肯定命题成立。,归缪矛盾：（1）与已知条件矛盾；（2）与公理、定理、定义矛盾；（3）自相矛盾。,注意：反证法引出矛盾没有固定的模式，需要认真观察、分析，洞察矛盾。,应用反证法
9、的情形：直接证明困难;需分成很多类进行讨论结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个”-类命题；结论为“唯一”类命题；,反证法的思维方法：正难则反,常见否定用语,是不是 有没有等不等 成立不成立都是不都是，即至少有一个不是都有不都有，即至少有一个没有都不是部分或全部是，即至少有一个是唯一至少有两个至少有一个有（是）全部没有（不是）至少有一个不全部都,例7，已知 a 0,证明关于 x 的方程 a x=b 有且只有一个根。,例8 已知直线a，b和平面，如果，,且a/b，求证：a/.,理论迁移,小结,1.在数学证明中，综合法和分析法是两种最常用的数学方法，若从已知入手能找到证明的途径，则用综合法，否则用分析法.,2.综合法的每步推理都是寻找必要条件，分析法的每步推理都是寻找充分条件，在解题表述中要注意语言的规范性和逻辑性.,3.综合法和分析法是两种互逆的思维模式，在证明某些较复杂的问题时，常采用分析综合法，用综合法拓展条件，用分析法转化结论，找出已知与结论的连结点.,3.反证法是一种间接证明的方法，是解决某些“疑难”问题的有力工具，其基本思路是：假设结论不成立构设矛盾否定假设肯定结论.,4.反证法主要适用于以下两种情形：（1）所证的结论与条件之间的联系不明显，直接有条件推出结论线索不清晰；（2）从正面入手需要分成多种情形进行讨论，而从反面证明，只要研究一种或很少的几种情形.,
