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1、第三章 走向混沌的道路,一个动力学系统运动的充分发展是进入混沌状态。进入混沌状态有哪些方式呢？这是非线性动力学研究中的一个重要问题。,第五节 保守系统中的不规则运动,1可积与不可积系统2扰动与KAM定律3.有理环面破裂与同（异）宿结构4.阿诺德扩散5.标准映射,保守系统,1可积与不可积系统,分析力学里人们常用广义坐标 q 和广义动量 p 来表示系统的变量，它们是系统哈密顿量正则共轭变量。第一项为动能，第二项为势能。如果系统仅受势能力作用，则系统机械能守恒，称为保守系统。实际系统还受耗散力作用，系统能量就不守恒，因此称为耗散系统（如：阻尼单摆、范德玻耳方程、洛伦兹方程、平方映射等。)取相空间某区
2、域的全部状态为初始状态，区域形状将会因各代表点的运动速度可能不同而发生变化。耗散系统因能量散失而有吸引子存在，相空间内所有轨线都要收缩到吸引子上，初始一定大小的相空间在运动中逐渐减小，在t 时趋向于零。保守系统的里不存在吸引域，也就不会有吸引子，相空间是守恒的。,保守系统,耗散系统的相空间在运动中逐渐减小，在t时趋向于零保守系统的相空间是守恒的,1可积与不可积系统,可积系统,定义一类力学系统哈密顿系统的正则方程 例：无阻尼的自由单摆它的广义坐标为摆角，q=，广义动量为单摆的其哈密顿量为：,1可积与不可积系统,可积系统,由正则方程得无阻尼单摆方程：,两边同乘,得全微分方程,积分,积分常数 C 称
3、为运动积分,说明自由单摆是一个完全可积系统，运动状态由能量决定,1可积与不可积系统,可积系统,不是所有的哈密顿系统都可以化成全微分形式，因此它们是不可积的（或者说没有运动积分）。一般将哈密顿系统分两类：完全可积的与不可积的。实际上完全可积系统是极少数，绝大多数系统是不可积。对一个N自由度的保守系统，其哈密顿为N对广义动量 p1,p2,pN与广义坐标 q1,q2,qN 的函数，运动方程为:如果完全可积，要求有N个独立全微分方程，即要有N个独立的运动常数 C,1可积与不可积系统,由正则共轭变量(p,q)可变换出另一对正则共轭变量，称作用-角度变量。对单自由度系统 母函数 用了变量 以后，运动方程为
4、 积分得 上式说明I 与系统能量E 一样，也是运动积分，I=I(H)可以写为I(E)。第二式定义了系统运动频率：，它不是常数，与I 有关，是非线性的。的一个重要特性是周期性，在一个周期内 S 的变化为：,作用-角度变量,1可积与不可积系统,简谐振子,以单位质量的简谐振子为例，它的哈密顿函数为：由 得由哈密顿函数可得采用作用变量与角变量定义，得,1可积与不可积系统,环面运动,采用作用变量与角变量之后，一个保守系统可以用相空间内的环面上的运动来表示。对N自由度系统，一切周期的或准周期的有界运动，是在 2N 维环面上的具有 N 个频率的运动。对2自由度系统，有两组作用-角度变量：与，相空间是四维的。
5、给出一组 的同心圆，是环绕这组圆的转角，给出另一组同心圆。如能量E 恒定，相空间中的运动由四维降低到三维，运动限制在三维能面上。在 为常数的二维环面上，有：,1可积与不可积系统,环面运动,当系统两个特征频率比 w=1/2 为有理数，运动是周期的，轨线经有限次的绕环后闭合，环面由无数条周期轨道组成，称为有理环面。如w为无理数，称为无理环面，环面由无数条准周期轨线组成，每一条轨线都随时间一圈一圈地覆盖整个环面。如在=常数处设置一平面(庞加莱截面)，则截面上那些环面曲线与截面交点构成了一个圆。,二维环面运动,1可积与不可积系统,扰动,2扰动与KAM定律,设系统未受扰动时运动是可积的，哈密量为，受扰动
6、时的哈密量为：为无量纲参数，它决定扰动的强度。如周期为T的扰动，则扰动可为将展开成级数式中n为扰动频率，n,m 某整数。代入运动方程积分得,将零级近似代入运动方程解得一级近似解系统的运动频率与 I 有关，当在某个值Ir上出现扰动频率v与系统(Ir)频率间的共振时，则：或因为(Ir)与Ir 有关，因此此时的共振称为非线性共振。当发生非线性共振时，一级近似解中分式的分母等于零，得到发散得结果，这就是著名的小分母发散问题。,扰动,2扰动与KAM定律,扰动将对系统产生两种不同的影响：（1）非线性共振：一个很小的扰动可将导致有理环面发生重大改变。这相应于相空间的共振有理环面。（2）非共振情况：相应于无理
7、环面。这是动力学的一个久未解决的问题。1954年，前苏联数学家哥尔摩格洛夫(Kolmogorov)提出了一个环面不变定理，后来为阿诺德(Arnold)所证明，美国数学家莫瑟(Moser)在某些条件下也证明了该定理。现在常称为KAM定理。该定理考虑一个近可积系统，即对一完全可积系统施加了一个很小的完全不可积扰动。KAM定理：如果扰动很小，大多数非共振的不变环面并不消失，只是发生一些微小的变形。满足KAM定理的绝大多数轨道，其运动仍然限制在N维环面上，环面上的运动仍然是准周期的。这些未被破坏的环称为KAM环。,KAM定理,2扰动与KAM定律,3.有理环面破裂与同(异)宿结构,扰动的一级近似解没有回
8、答非线性共振对有理环面的影响。数学上可用庞加莱截面解决。未受扰动时，在给定能面中取 q2=常数 的庞加莱截面，轨线与截面的交点在 I1=常数 的圆上。轨线相继两次穿越截面的时间间隔：q1 每次的改变量为 庞加莱截面上点的运动为一二维映射，称为扭转映射：受扰动时（0），扭转映射T0变成T，略去下标后有式中f与g由扰动项确定。,扭转映射,3.有理环面破裂与同(异)宿结构,研究绕卷数 的有理环面在扰动下的变化。记有理环面为Go，它为一个由映射Tom的不动点组成的圆。两条不变曲线G+与G-，它们分别位于Go 的两边。在Tem的作用下，在每个q=常数的圆半径上，存在着转动角度刚好2p的点，它们只有径向移
9、动而没有转动，这些点连结起来构成了在Tem作用下的曲线Ge，Tom的映像闭合曲线Tom(Ge)。曲线Ge与Tom(Ge)两者保围的面积相等且相交，共有2m个交点。,扭转映射对有理环面作用,3.有理环面破裂与同(异)宿结构,Tom的作用：Go圆上的点刚好转动2p,曲线G+上的点转动小于2p,曲线G-的点就转动大于2p。因此Go上的点不动，G+的点顺时转动，G-的点逆时转动。Tem的作用：如扰动 eV 很小，Tem的作用不会改变与圆上点转动情况，顺时针或反时针转动均不会变化，只是在每个q=常数的圆半径上，存在着转动角度刚好2p的点，它们只有径向移动而没有转动，将这些点连结起来，就构成了在Tem作用
10、下的曲线Ge。此外,还有Tom的映像闭合曲线Tom(Ge)。由于保守系统，曲线Ge与Tom(Ge)两者不仅保围的面积相等，且相交，共有2m个交点。根据相交点附近点移动的走向，可判定其中一半是椭圆点，另一半是双曲点，它们相间地分布。椭圆不动点附近有较小有理环面，是一些区域较小的规则运动。扰动也将使它们受到破坏，情况与上面相类似。扰动产生更高一级的椭圆不动点及围绕它们更较小一级的规则运动区。如此的破坏过程还会继续发展下去，以至产生规则与不规则运动交织在一起的无穷堪套的自相似结构。,扭转映射对有理环面作用,3.有理环面破裂与同(异)宿结构,无阻尼单摆，或负线性恢复力杜芳方程相图上，均有四条流线通过界
11、轨线上的双曲不动点，其中两条流向双曲点，另两条背离双曲点。数学上称这些流线为不变曲线或流形(manifold)。与相图上的真正相轨线不同，现在这些双曲点出现在环面截面上，它们由截面上的点构成。两条背离双曲点的流线称为稳定流形ws，两条流向双曲点的流线称为不稳定流形wu。若沿着一条稳定流形ws从双曲不动点O出发，将会连接到的一条不稳定流形wu进入双曲点O。若前后两个是不同的点,称为异宿点，当前后两个是同点,称为同宿点。,同(异)宿点,3.有理环面破裂与同(异)宿结构,(1)系统受到小幅周期性扰动，对同宿点，代表点沿着稳定流形离开双曲点后，不会连接到不稳定流形而进入双曲点，一般是与不稳定流形相交(
12、异宿点情况相似)；(2)一旦发生相交，交点上的流形与同宿点或异宿点特点相同：即两条流入流线与两条流出流线，但它们不是不动点。,同(异)宿结构,过双曲点是不变曲线，线上的点经过多次映射不会跑出该线。,扰动的影响是：,同宿结构,3.有理环面破裂与同(异)宿结构,同(异)宿结构,异宿结构,(3)由于映射是连续的，在双曲点O外会产生一系列新同宿点，且要反复作用无限次数才能沿着接近到双曲不动点O。(4)在到达双曲不动点O前，流线与交叉产生的同(异)宿点越来越密，总共有无限多个点。由于是保守系统，相继两次交叉所包围的面积是定值，于是越趋近双曲不动点O，在新宿点会越来越密同时，振荡幅度越来越大。,扰动的影响
13、是：,4.阿诺德扩散,若不可积扰动足够小，KAM无理环面仍然可以保持，有理环面发生破裂，产生出一系列新椭圆不动点与双曲不动点。新生椭圆不动点在扰动连续作用下，又产生出更小一级的椭圆不动点与双曲不动点；在双曲不动点附近，通过不动点的稳定与不稳定流形构成复杂的异宿结构。它们是二维环面上的非规则运动区。KAM环面将环面上规则与非规则的运动区域分隔开来。在整个环面上共存了规则的与非规则的运动。,扰动对二维环面运动影响,4.阿诺德扩散,高维KAM环面能否成为等能面的边界，对不满足KAM定理的导致不规则运动的少数轨道(即不稳定轨道)起限制作用。N个自由度系统具有2N维的相空间和2N1维等能面。N维环面成为
14、等能面边界的条件：N2N2。即只有N2系统的环面才有可能把等能面包围起来或分割成几个部分。N3系统不会满足这样条件。高维相空间里KAM环面不会被等能面隔离，不稳定轨道会在各个KAM环面之间来回穿行，并逐步扩散到整个等能面上去，这种现象被称为阿诺德扩散。,高维空间的阿诺德扩散,5.标准映射,与耗散系统中两系统间的同步与锁模相对应，单自由度保守系统受周期性外力作用时产生不规则运动。系统哈密顿为：运动方程为：选取时间系列：t0,t1,t2,，运动方程退化为离散映射：该映射给出 I 和 q 在前后两个时间点上关系，又可写成：,离散映射,T为扰动的特征时间,5.标准映射,稳定性条件,设扰动势只与广义坐标
15、 q 有关：,二维映射,二维映射,稳定性条件为：,本征值方程,本征值方程的解,5.标准映射,采用无量纲作用量,略去常数相位因子,由不动点的条件即：,标准映射,可得由此可得两个奇点 与耗散系统圆映射情况有点相似，在保守系统中，标准映射给出的复杂运动行为与参数K 取值有关。对不同参数K 值进行数值计算，并画出I-q 平面上的相。,标准映射,5.标准映射,随机海,K=0.5时，在周期1与周期2区之间，除了一些横贯左右的点线外，还存在一些光滑曲线。点线是破裂了的有理线，光滑曲线是没有破裂的KAM不变线。说明随机性受KAM不变线约束而存在于局部区域内；K=1.0时，周期1与周期2区之间的光滑曲线消失，成
16、了弥散点，KAM线破裂了。随KAM不变线破裂，局部随机区逐步向全局扩散，汇成广泛弥散开的大海随机海(Stochastic sea)。这是一种全局性的混沌形态。,5.标准映射,标准映射相图,第六节 电子混沌电路,1.外激励的非线性LC谐振电路2.微分方程的模拟电子电路 3.实际动力体系的电子模拟电路,如果在通常的LC谐振电路中，使用非线性电阻、电容或电感等一些非线性电子元件，如果这些元件的数值（电阻值、电容量或电感量）是外加电压或频率的函数，就构成一种非线性 LC 谐振电路，在合适的驱动电压作用下，将会呈现非线性动力学系统的混沌特性。这里以单结晶体管作为非线性电阻，变容二极管作为非线性电容为例，
17、介绍一下外激励非线性 LC 电路进入混沌的基本情况。,1.外激励非线性LC 谐振电路,非线性LC谐振电路,这里将一只单结晶体管联结为一个非线性电阻。单结晶体管也称双基极二极管，它有两个基极 b1 和 b2 和一个发射极 e。e 对基极 b1和 b2 就是一个 PN 结，具有单向导电性。两个基极之间的电阻是半导体的内电阻。当 b2-b1 间加上电压ubb，b2-b1 间的发射极电位决定于内电阻上的分压比h：当发射极外加电压高于e点电位的二极管压降 ud(0.6V)时，uehubb+ud,e-b1导通。在混沌电路中，通常将基极b2和发射极联在一起，成了二端元件。当uehubb+ud时，e-b1导通
18、，随电流增大，两端电压下降，成负电阻。,1.外激励非线性LC 谐振电路,单结晶体管伏安特性,单结晶体管混沌电路,1.外激励非线性LC 谐振电路,单结晶体管可选 BT33D，电路如下。这是串联的强迫振荡电路，非线性电阻(R2)即单结晶体管，电感 L 和电容C，电阻R1、R3都是线性元件。电阻R3（也是电流取样电阻）和电源构成了单结晶体管的偏置电路。,L30mH，C0.03F，R1125，R333.8k，Ec28V,电路中的混沌状态,设驱动为：以f 与u0为该电路的两个可变参数，研究取不同的数值时系统的运动状态：研究发现存在以下一些工作状态：驱动电压的幅度 u00时，电路处于单稳状态；固定驱动电压
19、幅度，改变驱动信号的频率 f，当逐步接近电路的固有频率 时，电路出现突变的锁频状态；固定驱动电压的频率f，将驱动电压的幅度u0由小到大增加，在 u0的一定变化范围内出现倍周期分岔与混沌运动。但在不同频率 f 下，出现倍周期分岔与混沌的u0值范围不同，倍周期分岔与混沌的过程也不一样；当 f 远离 f0 时，随输入信号幅度值逐步升高，电路出现倍周期分岔混沌反倍周期的过程；当u0值进一步升高时，倍周期分岔与混沌现象消失，电路表现出一般非线性电路所共有的畸变波形的特征。,1.外激励非线性LC 谐振电路,电路中的混沌状态,设驱电压动为：以f 与u0为该电路的两个可变参数，研究取不同的数值时系统的运动状态
20、：固定驱动电压的频率f，将驱动电压的幅度u0由小到大增加，在 u0的一定变化范围内出现倍周期分岔与混沌运动。,1.外激励非线性LC 谐振电路,这是一个广泛研究过的电路。通常它由电阻 R，电感L与一只硅二极管 D 阻成。硅二极管在反向偏置时其极间电容即为回路电容，且其容量随电压变化而变化，但与所加电压是非线性关系。正向偏置时为一直流电压源。图中右侧的场效应管电路是提高输入阻抗以便用示波进行测量。电路中，R100W，L0.25H。,1.外激励非线性LC 谐振电路,二极管电感混沌电路,二极管电感混沌电路,实验时，电路上加上正弦电压，并使外加电压频率与由电感和二极管反向电容组成的回路的固有频率相接近，
21、即接近共振状态。逐步改变输入电压的大小，同时用示波器检测二极管上的电压波形。当输入电压很小时，输出电压为高度相等的整流波形。随着外加电压的增加，二极管上出现一串高度不等的整流波形电压。这时二极管电压经历了倍周期分岔，并最终进入混沌。根据实验测波形可以计算费根鲍姆常数等各项常数，结果如表。,1.外激励非线性LC 谐振电路,2.微分方程模拟电子电路,能产生混沌行为的典型非线性常微分方程是由三个独立变量的一阶微分方程，如洛伦兹方程或罗斯勒方程。在研究动力系统的相图时，常将一个二阶微分方程化为两个一阶方程。同样地，可以通过数学上变换，可将三个一阶微分方程化为一个三阶微分方程来。因此可将产生混沌行为非线
22、性微分方程写成一个三阶方程：式中 为各项系数，为一非线性函数，系数 为包括 0在内的各种正负常数，因此从一般方程可变换出许多形式的非线性方程。但不是所有的方程都具有混沌行为。三阶方程的系统有三个李雅普诺夫指数，具有混沌行为要求至少有一个是正值。一个系统的李雅普诺夫指数之和代表了相体积沿轨道的平均变化速率，如果三个指数之和小于零，系统相体积在运动中会逐渐减小，是耗散系统；如等于零，相体积不变，此为保守系统。,三阶非线性微分方程,非线性函数电路,2.微分方程模拟电子电路,非线性函数 f(x)在电路上可用二极管及线性放大器的适当的联接来实现。,f(x)=|x|的电路,这种情况的微分方程可以如下构成：
23、式中只有一个控制参数 A。由图可见，该电路以为电压驱动，用了三个串接的反向积分器以产生，和 x 等三个量，并一定比例将三个信号及一个由电池产生的直流电压相加起来，再反馈到第一个积分器的输入端。,2.微分方程模拟电子电路,f(x)=|x|的电路,2.微分方程模拟电子电路,为了得到合适的参数 A 取值范围，可计算方程解 x(t)对 A 的分岔图。取方程右边的正负号为负号，初始条件为，得 的分岔图。,可见当参数 A 由 0.8 向 0.64085 逼近时，系统以倍周期分岔进入混沌。A值小于0.64085后，出现类似于平方映射那样的带有大大小小窗口的典型的混沌带，而在 附近出现周期 3 窗口，是不稳定
24、的。方程在这里的长时间演化是对无穷大发散的。,2.微分方程模拟电子电路,f(x)=|x|的电路,f(x)=|x|混沌电路的三个李雅普诺夫指数为:可见三个指数之和小于零，这是耗散系统。所以该电路存在奇怪吸引子。,单二极管非线函数电路,这是用单二极管完成的非线性函数为R(x)微分方程：该方程的三个李雅普诺夫指数分别为(0.042,0,0.342)，也是耗散系统。电路上与上面f(x)=|x|电路基本相同，主要差别在以阻容积分电路代替了第二个有源积分器。电路中各个电阻值均为1k。类似地可以用非线性函数 D(x)组成的微分方程，与 R(x)电路的差别在只在二极管正反向不同。,2.微分方程模拟电子电路,跃
25、变非线性函数电路,跃变非线性函数利用了运算放大器的内在非线性特性，即理想放大器开环特性。当输入电压过零时，理想放大器输出从负饱和值跃变到正饱和值。一个简单的以跃变非线性函数的微分方程为：式中不同正负号有不同的李雅普诺夫指数，取正号时为，0.152,0,0.652，负号时为0.601,0,1.101。,2.微分方程模拟电子电路,取方程中正号时电路。图中的电阻R的选取是使运算放大器正向饱和电流为1mA，其它电阻均为1k，电容的单位为微法。,对方程取负号，并设x项的系数是可调参数B，则方程变为：此图是对不同参数 B 时，在 平面内的吸引子形式。,2.微分方程模拟电子电路,跃变非线性函数电路,对方程的
26、不同正负号，奇怪吸引子有不相的形式。当取正号时，奇怪吸引子是一种单折带形式，有点象罗斯勒吸引子；当取负号时，奇怪吸引子是一种双旋结构，类似于洛仑兹吸引子。,这是一个具有非线性电阻的混沌电路电路，是由美籍华人蔡少棠首先发起研究的。图中电阻R是非线性的，采用分段线性设计。该电路是一个三阶自治电路，电路方程为：,2.微分方程模拟电子电路,蔡氏混沌电路,电路的状态方程可以写成：,电阻 R是分段线性电阻，它属对应于分段线性电阻的特性。它可以写为：若将分三段来考虑,2.微分方程模拟电子电路,蔡氏混沌电路,蔡氏混沌电路,2.微分方程模拟电子电路,蔡氏混沌电路的实际电路如下。图中的虚线框为非线性电阻的等效电路
27、。电路的状态方程对相平面原点是对称的，即当式中坐标(x,y,z)换成(x,y,z)时，方程保持不变。,令=9，=28，m0=1/7，m1=2/7，则有三个平衡点:它们分别位于：(3/2,0,-3/2)、(-3/2,0,3/2)、(0,0,0)三个平衡点均为鞍点。在上述参数下，取下面的初始值：可得吸引子的三个二维投影如图。这种形式的奇异吸引子称为双漩(Double Scroll)结构。吸引子的维数为：2.13,2.微分方程模拟电子电路,蔡氏混沌电路,设一个刚性小球在桌面上作弹跳运动，假如桌面又可作垂直上下的振动，这样的小球的动力学行为是非常复杂的。桌面作简谐振运动时，系统的动力学有两个控制参量：
28、桌面对小球的加速度与重力加速度之比 和表征小球在弹跳中能量耗损的恢复系数。,3.实际动力体系的电子模拟电路,弹跳运动的电子模拟,一个小球在重力场中的运动方程可表达为下式：二次积分说明小球位置是时间的二次函数。当小球从 x00的位置以 v0 的初速度上抛时，球对时间的轨迹是抛物曲线。,根据小球运动形态所设计电路如图所示。电路为一个由二级运算放大器构成的积分电路。在运放A1的输入点S1接入负直流电压ug，模拟小球所受的重力加速度，再在此输入端接入正脉冲up用以反映小球从弹面上跳运动。设小球是刚性的，小球与桌面作完全弹性碰撞。碰撞时球的运动方向将发生反转，设小球以速度 v 降落到桌面，以v 速度反弹
29、上抛。电路上可看作为输入正向电压到来时发生的现象。,R11M，R2R5=10K，Rf=1K，C1=0.01f，C2=0.1f，Cf=0.047f,3.实际动力体系的电子模拟电路,弹跳运动的电子模拟,设在t1时刻，当up到来且较大时，在电容C1充上左正右负的电荷。当t2时刻，up过去后，运放A1在输入负压ug的作用下，电容C1的放电电流 i为：一次可得:运放A2 的输出u2:上式说明运放A2的输出是时间 t 的二次函数，为抛物曲线。在抛物曲线顶点，C1和C2上的电压极性反转。因此,可把u1模拟为球的运动速度，u2模拟球位置。在正脉冲电压驱动下，二级积分电路完成了球的一次上抛运动。,3.实际动力体
30、系的电子模拟电路,弹跳运动的电子模拟,积分,积分,u1随 t 线性增长,为反映小球在桌面上周而复始弹性，在运放 A2 的输出端接一级反相器，将 u2 反相后通过二极管（运放 A4 与二极管 D 构成等效理想二极管）反馈到运放 A1 输入端，C1和C2上的电压极性快速反转，相当小球与桌面碰撞时受到反弹。此后二极管截止，小球又进入上升与下落运动的抛物体运动方式，如此周而复始。实际小球与桌面碰撞不是完全弹性的，为此反馈电路中串联进 RC 电路，RC 电路使二极管延迟导通，减弱反馈信号强度，使小球经若干周期弹跳后停止在桌面。直到若正脉冲再次到来，重新开始弹跳过程。,3.实际动力体系的电子模拟电路,弹跳运动的电子模拟,恢复系数：重力加速度g为：桌面振动加速度与重力加速度的比值：,弹跳波形图,相图,3.实际动力体系的电子模拟电路,弹跳运动的电子模拟,
