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1、区间估计,引例 已知 X N(,1),不同样本算得的 的估计值不同，因此除了给出 的点估计外,还希望根据所给的样本确定一个随机区间,使其包含参数真值的概率达到指定的要求.,的无偏、有效点估计为,7.3,如引例中，要找一个区间,使其包含 的真值的概率为0.95.(设 n=5),取,查表得,这说明,即,称随机区间,为未知参数 的置信度为0.95的置信区间.,反复抽取容量为5的样本,都可得一个区间,此区间不一定包含未知参数 的真值,而包含真值的区间占95%.,置信区间的意义,若测得 一组样本值,它可能包含也可能不包含 的真值,反复,抽样得到的区间中有95%包含 的真值.,算得,取=0.05,设 为待
2、估参数,是一给定的数,(01).若能找到统计量,使,置信区间或区间估计.,置信下限,置信上限,置信区间的定义,定义,反映了估计的可靠度,越小,越可靠.,置信区间的长度 反映了估计精度,越小,1-越大,估计的可靠度越高,但,确定后,置信区间 的选取方法不唯一,常选最小的一个.,几点说明,越小,估计精度越高.,这时,往往增大,因而估计精度降低.,处理“可靠性与精度关系”的原则,寻找一个样本的函数,它含有待估参数,不含其它未知参数,它的分布已知,且分布不依赖于待估参数(常由 的点估计出发考虑).,例如,求置信区间的步骤,称为枢轴量,取枢轴量,给定置信度 1,定出常数 a,b,使得,(引例中,由,解出
3、,得置信区间,引例中,(一)一个正态总体 X N(2)的情形,置信区间常用公式,(1)方差 2已知,的置信区间,公式(一)(1),解,得 的置信度为 的置信区间为,(2)方差 2未知,的置信区间,由,确定,故 的置信区间为,推导 选取枢轴量,公式(2),(3)当 已知时,方差 2 的 置信区间,取枢轴量，,得 2 的置信度为 置信区间为,由概率,公式(3),(4)当 未知时,方差 2 的置信区间,选取,得 2 的置信区间为,则由,公式(4),例1 某工厂生产一批滚珠,其直径 X 服从,解(1),即,正态分布 N(2),现从某天的产品中随机,(1)若 2=0.06,求 的置信区间(2)若 2未知
4、,求 的置信区间(3)求方差 2的置信区间.,抽取 6 件,测得直径为,15.1,14.8,15.2,14.9,14.6,15.1,例1,由给定数据算得,由公式(1)得 的置信区间为,(2)取,查表,由给定数据算得,由公式(4)得 2 的置信区间为,(3)选取枢轴量,查表得,由公式(2)得 的置信区间为,为取自总体 N(1 12)的样本,为取自总体 N(2 22)的样本,置信度为 1,分别表示两样本的均值与方差,(二)两个正态总体的情形,(二),相互独立,的置信区间为,公式(5),(2)未知(但)的置信区间,的置信区间为,公式(6),相互独立,(3)未知,n,m 50,的置信区间,公式(7),
5、令 Zi=Xi-Yi,i=1,2,n,可以将它们看成来自正态总体 Z N(1 2,12+22)的样本,仿单个正态总体公式(2)的置信区间为,(4)未知,但 n=m,的置信区间,公式(8),取枢轴量,公式(9),取枢轴量,公式(10),例2 某厂利用两条自动化流水线罐装番茄酱.现分别 从两条流水线上抽取了容量分别为13与17的两个相互独立的样本,与,已知,假设两条流水线上罐装的番茄酱的重量都服从正态分布,其均值分别为 1与 2,例2,解,查表得,由公式(6)的置信区间为,(1)取枢轴量,(2)枢轴量为,查表得,由公式(9)得方差比 的置信区间为,(三)单侧置信区间,定义 对于给定的(0 1),是
6、待估参数,是总体 X 的样本,若能确定一个统计量,使得,则称,为置信度为1-的单侧置信区间.,(三),例3 已知灯泡寿命X 服从正态分布,从中随机抽取 5 只作寿命试验,测得寿命为 1050,1100,1120,1250,1280(小时)求灯泡寿命均值的单侧置信下限与寿命方差的单侧置信上限.,解,未知,例3,取,(1)选取枢轴量,(2)选取枢轴量,若总体 X 的分布未知,但样本容量很大,由中心极限定理,可近似地视,若2已知,则 的置信度为1-的置信区间可取为,若2未知,则 的置信度为1-的置信区间可取为,(四)非正态总体均值的区间估计,(四),例4 设 X 服从参数为 p 的0-1分布,样本为,求 p 的置信度为 1 的置信区间,解,令,所以参数 p 的置信区间为(p1,p2),例如 自一大批产品中抽取100个样品,其中有60个一级品,求这批产品的一级品率 p 的置信度为0.95的置信区间.,p 的置信区间为,
