《抛物线资料整理.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《抛物线资料整理.docx（23页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、【定义】：到一个定点和一条定直线的距离相等的所有点的集合其离心率e=1,【总体复习】：标准方程y 2 = 2 px (p 0 )y 2 = 2 px (p 0 )x 2 = 2 py (p 0 )x 2 = 2 py (p 0 )图形OiyO *Ox十范围x 0 , y g Rx 0 , x g Ry 0 , x g R焦点/W、i、p ,0 2 7-f， 2 7:0，g v 2 7:0，- p 1v 2 7准线x =-史2x = ?2p y =2p y =2焦半径PFp=x + 2PF =x0+ pPF = *+ 与PF0 + p对称轴x轴y轴顶点(0,0 )离心率e = 1【抛物线相关概念
2、及方程考查】1、已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程;2、已知抛物线的焦点坐标是F (0,-2)，求它的标准方程.3、 若A是定直线l外的一定点，则过A且与l相切圆的圆心轨迹是()A. 圆B.椭圆口双曲线一支D.抛物线4、 抛物线y2=10x的焦点到准线的距离是()A.2.5B.5C.7.5D.105、以F(0, 1)为焦点，以L： y = - 1为准线的抛物线的方程式为何？(A)必=4x(B)必=一 4x(C) X2 = 4y(D) = 4y(E) y =6、求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：(1)过点P(一3,2)；(2)焦点在直线x 2y
3、4 = 0上；(2) 顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上的点M (-3,m)到焦点的距离等于5 ；(3) 顶点在原点，对称轴为x轴且截直线2x y +1 = 0所得弦长为0)的焦点且垂直于x轴的弦AB，O为抛物线顶点，则ZAOB()A.小于90B.等于90C.大于90D.不能确定9、 以抛物线y2=2px(p0)的焦半径I PF I为直径的圆与y轴位置关系为()A.相交B.相离C.相切D.不确定10. 已知点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q (2, -1)的距离与点P到抛物线焦点距离之 和取最小值时，点P的坐标为()A. (4 , -1)B。(4 , 1) C (1, 2)D (1, -
4、2)11. 经过抛物线y2=2px(p0)的所有焦点弦中，弦长的最小值为()A.pB.2pC.4pD.不确定12. 直线y=kx-2交抛物线y2=8x于A、B两点，若AB的中点横坐标为2,则| AB |为()A. 45B.4 J5C.2 J5D. *4213. 曲线 2x2-5xy+2y2=1()A. 关于x轴对称B. 关于y轴对称C. 关于原点对称，但不关于y=x对称D. 关于直线y=x对称也关于直线y=-x对称14.若抛物线y2=2px(p0)的弦PQ的中点为(x0,y0)(y尹0),则弦PQ的斜率为()A PPC.pxD.-pxA.-B.x0y0015. 已知抛物线y2=2px(p0)的
5、焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x ,y ), B(x ,y ),则*2的1 12 2 x x值一定等于()A.4B.-4C.p2D.-p216. 过点A(0, 1)且与抛物线y2=4x有唯一公共点的直线的条数为()A.1B.2C.3D.417.设抛物线y=ax2(a0)与直线y=kx+b相交于两点 交点的横坐标，它们的横坐标为x15x2,而x3是直线与x轴A.x3=x1+x2那么xx2、x3的关系是()B.x = + 3 x xC.x1x2=x2x3+x3x1D.x1x3=x2x3+x1x218. 当0k ， 0）的左准线为1，左焦点和右焦点分别为F1和F2 ；抛物线。2的线为1,焦点为f2
6、； C与C2的一个交点为M，则|MF-1C. 2A. 1B. 1lF1FJ lMFJImf2I等于(【分析】这道题如果用解析法去做，计算会特别繁杂，而平面几何知识又一时用不上，那|F F 2c e 2a 1 2|MF r rL,选A.|FF | |MF |1这样，最后的答案就自然浮出水面了：由于而广|而广|e 1 e(4)三角法一一本身也是一种解析三角学蕴藏着丰富的解题资源.利用三角手段，可以比较容易地将异名异角的三角函数转化 为同名同角的三角函数，然后根据各种三角关系实施“九九归一”一一达到解题目的因此，在解析几何解题中，恰当地引入三角资源，常可以摆脱困境，简化计算【例8】(07.重庆文科.
7、21题)如图，倾斜角为a的直线经过 抛物线y2 8x的焦点F,且与抛物线交于A、B两点。(I) 求抛物线的焦点F的坐标及准线1的方程；(II) 若a为锐角，作线段AB的垂直平分线m交 x轴于点P,证明|FP|-|FP|cos为定值，并求此定值。【解析】(I)焦点F (2, 0),准线1；x2.(I)直线 AB : y tan x 2x =代入(1),整理得：y 2 tan a - 8y - 16tan a= 0(2)8+ = 8 设方程(2)之二根为y , y，则约*七tana .1 2y y = -16设AB中点为M（x, *）,则y = i * 2 = - = 4cot a02 tan a
8、x = cot a y + 2 = 4cot2 a + 200AB 的垂直平分线方程是：y 一 4cot a =-cot a (x 一 4cot2 a - 2 ).令 y=0，则 x = 4cot2 a + 6，有P(4cot2 a + 6， 0 )故Fp = |OP|- |OF| = 4cot 2 a + 6 - 2 = 4 (cot 2 a +1)= 4cos 2 a于是IFPI-IFPIcos2q= 4csc2 a(1 cos2a) = 4csc2 a 2sin2 a = 8，故为定值.（5）消去 一合理减负的常用方法.避免解析几何中的繁杂运算，是革新、创新的永恒课题.其中最值得推荐的优
9、秀方法之一便 是设而不求，它类似兵法上所说的“不战而屈人之兵”.【例9】是否存在同时满足下列两条件的直线l:（1）l与抛物线y2 = 8x有两个不同的交点A和B；（2）线段AB被直线11: x+5y-5=0垂直平分.若不存在，说明理由，若存在，求出直 线l的方程.【解析】假定在抛物线y2 = 8x上存在这样的两点A（x，y ），B（x，y ）则有：)=8(x -x)nk =( =AB(气-x2)顷+ y )1122y1 = 8气 n(y + y )(y - yy 2 = 8 x12121222一 18_.线段AB被直线11: x+5y-5=0垂直平分，且k 5，二kB = 5，即 - = 5
10、。28 y1+ y2 = 5.设线段AB的中点为M (x， y )，贝Uy 约 2 =.代入x+5y-5=0得x=1.于是： 00025匚4AB中点为M 1，.故存在符合题设条件的直线，其方程为: k 5 Jy - ； = 5(x 1),即：25x-5y - 21 = 0 （6）探索 一奔向数学方法的高深层次有一些解析几何习题，初看起来好似“树高荫深，叫樵夫难以下手”.这时就得冷静分析， 探索规律，不断地猜想证明一一再猜想一一再证明.终于发现“无限风光在险峰”.【例10】（07.安徽卷.14题）如图，抛物线y=-x2+1与x轴的正半轴交于点A，将线段S 的n等分点从左至右依次记为P,P2，,P
11、n_ 1，过这些分点分别作x轴的垂线，与抛物线的交点依次 为Q，Q，Q |，从而得到n-1个直角三角形QOP , QPP，Q P P |,当n-12n-11 12 1 2n-1 n-1 n-18时，这些三角形的面积之和的极限为【解析】.|s| = 1,.图中每个直角三角形的底边长均为1_ （k小、一设OA上第k个分点为P 一，。.代入）=-x2 + 1：5 7y = 1-住.n21 1 （第k个三角形的面积为：a =7； 一 k 2 nSn-12n=上(n -1)-12 + 22 + (n-1(n -1)(4n +1)n212n2n（n - 1）（4n +1）1=lim 1 - 4 + 121
12、2n 2故这些三角形的面积之和的极限S = limnT8【抛物线定义的妙用】对于抛物线有关问题的求解，若能巧妙地应用定义思考，常能化繁为简，优化解题思路，提高 思维能力。现举例说明如下。一、求轨迹（或方程）例1.已知动点M的坐标满足方程刃+尸=|3工+勺-12|，则动点m的轨迹是（） A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.以上都不对解：由题意得：M即动点I由抛物线定义可知：动点M的轨迹是以原点（0，的抛物线。故选C。二、求参数的值到直线3-12=口的距离等于它到原点（0，0）的距离0）为焦点，以直线次+ 4-12=口为准线例2.已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上 求m的值。抛物线上一点到焦点距离为
13、5,解：设抛物线方程为* = 一曷3 ），准线方程: .点M到焦点距离与到准线距离相等解得：I.抛物线方程为=一空把肱（地3代入得：=246三、求角例3.过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在抛物线准线上的射影分别为则匕网1月1=。A. 45 B. 60 C. 90 D. 120图1解：如图1，由抛物线的定义知：= AF = AAX则匕酣心圭叽匕坤=NA蹈由题意知：4=鸣，匕曲=匕。阳:.2Z0FB1 + AOFA = 180即公网=孙 故选C。四、求三角形面积例4.设O为抛物线的顶点，F为抛物线的焦点且PQ为过焦点的弦，若卜 求OPQ的面积。解析：如图2,不妨设抛物线方程为二
14、微，点屯巧）、点&膈片）图2则由抛物线定义知：E = |邳| + |例=道+1花+ 必 又1国=气则电+&-必2 421+区=&必由尹二4敬得：物物即心兄二砂-必）又PQ为过焦点的弦，所以仍=则陋-川=加；+兄-芬仍=加好有一2（一4/）=成岛盛=；|方| 区-巧| =白嫔所以， 点评：将焦点弦分成两段，利用定义将焦点弦长用两端点横坐标表示，结合抛物线方程，利用 韦达定理是常见的基本技能。五、求最值例5.设P是抛物线丁=41上的一个动点。（1）求点P到点A（-1，1）的距离与点P到直线二=-1的距离之和的最小值;（2）若B（3, 2），求网+网的最小值。解：（1）如图3，易知抛物线的焦点为F（
15、1，0），准线是工=-1由抛物线的定义知：点P到直线盂=T的距离等于点P到焦点F的距离。于是，问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到点A（-1，1）的距离与点P到F（1，0）的 距离之和最小。显然，连结AF交曲线于P点，则所求最小值为I齐L即为扼图3（2）如图4，自点B作BQ垂直准线于Q交抛物线于点*，则吨=1，则有|四+网习甲1 + 1*牛国牛4即E+网的最小值为4图4点评：本题利用抛物线的定义，将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，从而 构造出“两点间线段距离最短”，使问题获解。六、证明例6.求证：以抛物线力=2弘过焦点的弦为直径的圆，必与此抛物线的准线相切。证明：如图5,设抛
16、物线的准线为！，过A、B两点分别作AC、BD垂直于九垂足分别为C、D。取线段AB中点M，作MH垂直！于H。图5 由抛物线的定义有：=,|3牛时-AB= +|时VABDC是直角梯形故本题得证。即I脱可为圆的半径，而准线过半径MH的外端且与半径垂直， 【抛物线与面积问题】 抛物线与面积相结合的题目是近年来中考数学中常见的问题。解答此类问题时，要充分利用抛 物线和面积的有关知识，重点把握相交坐标点的位置及坐标点之间的距离，得出相应的线段长 或高，从而求解。例1.如图1，二次函数 =版+匕9尹）的图像与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（一1，0）。点 C （0，5）、（1）求抛物线的解析式;（2）求
17、AMCB的面积。解：（1）设抛物线的解析式为疗法+版+七根据题意得a -Z? +? = 0 a =- c = 5 b = 4g+b+28，解得所求的抛物线的解析式为y= -x2 +4 土+5 （2）VC点坐标为（0，5），OC = 5令）=。，则+4x+5= 0，解得工1 = I追=5.B 点坐标为（5，0），OB = 5. = _/+我+ 5=-（）+9,.顶点M的坐标为（2, 9）过点M作MNXAB于点N,贝0ON=2, MN=9.乩炒=%加期+曲跄成= 1（5 + 9）X 2 + | X9X （5-2）-| X 5X 5=15例2.如图2,面积为18的等腰直角三角形OAB的一条直角边OA
18、在x轴上，二次函数 ，=折+敲+淑,。）的图像过原点、A点和斜边OB的中点M。图2（1）求出这个二次函数的解析式和对称轴。（2）在坐标轴上是否存一点P,使APMA中PA=PM，如果存在，写出P点的坐标，如果不存在， 说明理由。解：（I）：等腰直角AOAB的面积为18，.OA=OB = 6VM是斜边OB的中点，二 .,.点A的坐标为（6，0）点M的坐标为（3，3）.抛物线户那+版+用尹_ 2c _ Qy = - x2 + 2x.解析式为3，对称轴为工=3（2）答：在x轴、y轴上都存在点？，使左PAM中PA=PM。 P点在x轴上，且满足PA=PM时，点P坐标为（3，0）。 P点在y轴上，且满足PA
19、=PM时，点P坐标为（0，3）。例3.二次函数 =/+故+的图像一部分如图3，已知它的顶点M在第二象限，且经过点 A （1，0）和点 B （0，1）。图3(1)请判断实数a的取值范围，并说明理由。(2)设此二次函数的图像与x轴的另一个交点为c，当AMC的面积为ABC面积的4倍时， 求a的值。解：(1)由图象可知：罚；图象过点(0, 1),所以c = 1；图象过点(1, 0),贝+8+二= 当工=-1时，应有F。，则+当匕=1,奸8 +=。代入+0得有(】+ 1) + 1利，即-1所以，实数a的取值范围为-1山口。(2)此时函数疗杯2 +也+1，-3 + 75可求得 占。例4.如图4,在同一直角
20、坐标系内，如果x轴与一次函数y=kx+A的图象以及分别过C (1， 0)、D (4, 0)两点且平行于y轴的两条直线所围成的图形ABDC的面积为7。图4(1) 求K的值；(2) 求过F、C、D三点的抛物线的解析式；(3) 线段CD上的一个动点P从点D出发，以1单位/秒的速度沿DC的方向移动(点P不重合 于点C),过P点作直线PQXCD交EF于Q。当P从点D出发t秒后，求四边形PQFC的面积S 与t之间的函数关系式，并确定t的取值范围。解：(1).点a、b在一次函数y=kx+A的图象上，.次If+ 4),时城+ 4)且止+ 40, 4先+ 4。.四边形ABDC的面积为7：（止 + 4）+（4 巾
21、+ 4） , 3 = 1=-1+4，C （1，0），D （4，0）得（2）由 F （0，4）y= x2 - 5x+A即（3）.PD=1Xt = t.OP=4 tx 2y 2同步练习：】、已知抛物线D： i的焦点与椭圆Qw +房=1（a费 0）的右焦点F1重合，且点P（、2 当）在椭圆Q上。（I）求椭圆Q的方程及其离心率；（II）若倾斜角为45的直线l过椭圆Q的左焦点F2，且与椭圆相交于A, B两点，求 ABF1的面积。 解：（I）由题意知，抛物线y2 = 4x的焦点为（1, 0）.椭圆Q的右焦点F1的坐标为（1, 0）。a2 b2 = 1又点P（、2二6）在椭圆Q上，231+=12b 2由，解
22、得a2 = 4,b2 = 3 椭圆Q的方程为x2y2_ v _+ y = 1.离心、离c b 21e = = ,1 =- aa 22（II）由（I）知F2（1，0）直线l的方程为y 一 0 = tan 45（尤 +1）,即 y =尤 +1 设人（气，B（x2, y2）方程x 2y 21消 y 整理，得、4 + 3 =87x2 + 8x8 = 0,.x + x = , xx127 1 2yj,4, - -;122. I ABI=y2I x -x I= 12寸(x + x )2 -4xx - I1+1I 11 12,2 12又点 F到直线 l 的距离 d = ,= w2SmBF = 2 I AB
23、I d = 27 a12 =兀2如图所示，抛物线y2=4x的顶点为。，点A的坐标为(5, 0),倾斜角为-的直线l与线段OA相交(不经过点O或点A)且交抛物线于M、N两点，求AMN面积最大时直线l的方程，并求MMN的最大面积解法一 由题意，可设l的方程为y=x+m,其中一5 m0,解得 m1,又一5VmV0,.m 的范围为(一5, 0)设 M(x1，y1),N(x2,y2)则 x1+x2=4 2m, % x2=m2,.IMNI=4*2(1 -m)点 A 到直线 /的距离为S =2(5+m) 1 m ,从而 S 、2=4(1 m)(5+m)2=2(2 2m) (5+m)(5+m) W2 2m +
24、 5 + m + 5 + m2(3)3=128.SW8书2，当且仅当22”=5+”,即m= 1时取等号；故直线l的方程为y=x 1, AMN 的最大面积为8克解法二 由题意，可设l与x轴相交于B (m,0), l的方程为x = y +m，其中0m0 必成立，设 M(x1,y1),N(x2,y2) y 1+ y 2=4, y 1 y2=4m,1 一 . 1 一 -:-.S尸(5 m)l y y 1= (5 m.(y + y )2 4y y = 2122121 25 1.-：5 15 14(-m) (1+ m) =4 ；(- m)G- m)(1+ m)(5 15 1 一 .51.=8龙Sa 0 )
25、为x轴上一动点，过P作直线交抛物线y2 = 2px(p 0)于A、B两点，设S&ob= t - tan ZAOB，试问：a为何值时，t取得最小值，并求出最小值。解：交AB与x轴不重叠时，设AB的方程为y = k(x - e)y = k (x - a) y 2 = 2 px消y可得:k 2 x 2 2(k 2 a + p) x + k 2 a 2 = 0设 A (xi，yi)与x轴重叠B (x2, y2)则 x x = a，y y = -2 Pa 交 AB1 221 2时，上述结论仍然成立S 冷OB = 1OA - Ob I sin ZAOB = 1 |OA x OBconZAOB x linZAOBO22t = 1OA x OBconZAOB21OA- OB -conZAOB= OAOB = xx + yy .1 21 2,1/、11 、1 、 p2、，七坚+料=金如=2& - T当a=p时取二”，综上当p 22e = 时 t = min
