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1、抛物线中的面积问题一、动点在直线上，利用平行线，通过等积变形建立函数模型.例1. (2009济南)已知：抛物线y=ax2+bx+c (。手0)的对称轴为x=-1,与x轴交于A, B两点，与y轴交于 点 C,其中 A (-3, 0), C (0,-2)(1) 求这条抛物线的函数表达式；(2) 已知在对称轴上存在一点P,使得PBC的周长最小.请求出点P的坐标；(3) 若点D是线段OC上的一个动点(不与点O、点C重合).过点D作DE/PC交x轴于点E.连接PD、PE.设 CD的长为m,留DE的面积为S.求S与m之间的函数关系式.试说明S是否存在最大值？若存在，请求出最大值; 若不存在，请说明理由.二
2、、动点在抛物线上动，构建平行线，通过等积变形建立方程模型.例2. (2010恩施)如图5,二次函数y =血 的图象与x轴交于A、B (3, 0)两点，与y轴交于C (0,3)点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点.(1) 求这个二次函数的表达式.(2) 当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大并求出最大面积.练习：如图，将直角边长为6的等腰RtAAOC放在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C、A分别在心y 轴的正半轴上，一条抛物线经过点A、C及点B( 3, 0).(1) 求该抛物线的解析式；(2) 若点P是线段BC上一动点，过点P作AB的平行线交AC于点&连接AP，当APE的面积最大
3、时，求点 P的坐标；(3) 在第一象限内的该抛物线上是否存在点G，使AGC的面积与(2)中APE的最大面积相等?请说明理由.解题策略技巧小结例1是动点在直线上运动，利用 天然的平行条件，通过等积变形，把 三角形转化为有一边在坐标轴上的 三角形，从而比较简洁地建立函数模 型，应用函数知识解决问题.不必分 害L不必分类例2是动点在抛物线上运动，没 有天然的平行条件，采用构造平行线 的方法，等积变形为有一边在坐标轴 上的图形，建立方程模型解决问题.在历届中考试题的解答中，一 般都通过分割，建立面积函数，用函 数知识解决问题.这些分割方法通常比较麻烦， 有时还回避不了分类讨论.经研究发 现，这些问题通
4、常可以分为两类，都 可以用简单的平移法来解决.期末数学试卷一、选择题（每小题3分，共21分）1. 下列计算正确的是（）A.-眼点=云B. -S=4C. WT虱房D. 4： ,无=42. 以下五个图形中，是中心对称的图形共有（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个3.从n个苹果和3个雪梨中，任选1个，若选中苹果的概率是岑，则n的值是（A. 6B. 3C. 2D. 14.如图，直线j=x+2与双曲线y=在第二象限有两个交点，那么m的取值范围在数轴上表示为（）X5.下列图中阴影部分面积与算式I-与+（）2+2-1的结果相同的是（）42A-民C.0.6.在等腰直角三角形A8C中，AB=AC=4,点
5、O为BC的中点，以O为圆心作敏交BC于点M、N，争与AB、AC相切，切点分别为D、矿则GO的半径和MND的度数分别为（）A. 2，22.5 B. 3，30C. 3，22.5 D. 2，307. 方程/-的解的情况是（）XA.仅有一正根B.仅有一负根C.有一正根一负根 D.无实根二、填空题（每小题3分，共24分）8. 若点A （a - 2，3）与点B （4，- 3）关于原点对称，则a=.9. 若化简11-xI-./一故+16的结果为2x-5，则x的取值范围是10.当m满足时，关于x的方程x2 - 4x+m - 0.5=0有两个相等的实数根.11. 如图，A、B、C是 上的三个点，ABC=25,则
6、XOC的度数是.x-2-101234y72-1-2m2712. 二次函数y=x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表，则m的值为13. 一个密码锁的密码由四个数字组成，每个数字都是0-9这10个数字中的一个，只有当四个数字与所设定的密码相同时，才能将锁打开.粗心的小华忘了其中中间的两个数字，他一次就能打开该锁的概率是14.如图，一个扇形纸片OAB. OA=10cm，zAOB=120，小明将OA、OB合拢组成一个圆锥形漏斗（接缝忽略不计）.则漏斗的底面圆的半径为cm.15.如上图所示，点A是半圆上的一个三等分点，B是劣弧皿的中点，点P是直径MN上的一个动点，GO的半径为1，则AP+P
7、B的最小值.三、解答题（共75分）16.（10 分）（1）计算：（7+4巧）（7-4宫）-12x. l（2）已知a+K，求a-1的值.a17. （8分）已知关于x的一兀二次方程x2 - m x - 2=0.（1）若-1是方程的一个根，求m的值和方程的另一根;（2）证明：对于任意实数m，函数y=x2 - m x - 2的图象与x轴总有两个交点.18. （5分）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，AOB的顶点均在格点上，点A、B 的坐标分别是A （3，2）、B （1，3）. AOB绕点O逆时针旋转90后得到AOB.（直接 填写答案）（1）画出aa1ob1；（2） 在旋转过程中，点B经过的路径为弧
8、BB，那么弧BB1的长为.19. （8分）如图，已知A、B是线段MN上的两点，MN=4, MA=1，MB1.以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成AABC，设AB=x.（1）求x的取值范围；（2）若AABC为直角三角形，求x的值.1对1个性化辅导20. (7分)如图，已知二次函数y=*2+bx+c的图象经过A (2, 0)、B (0,-6)两点.(1) 求这个二次函数的解析式；(2) 设该二次函数的对称轴与x轴交于点C,连接BA、BC,求ABC的面积.21. (8分)小莉的爸爸买了今年8月去深圳看世界大学生运动会的一张门票，她和哥哥两个人都很想去观看
9、，可门 票只有一张，读九年级的哥哥想了一个办法，拿了 8张扑克牌，将数字为1、2、3、5的四张牌给小莉，将数字 为2、4、6、8的四张牌留给自己，并按如下游戏规则进行：小莉和哥哥从各自的四张扑克牌中随机抽取一张， 然后将抽取的两张扑克牌数字相加，如果和为偶数，则小莉去；如果和为奇数，则哥哥去.(1)请用树状图或列表的方法求小莉去看大运会的概率；(2)哥哥设计的游戏规则公平吗？若不公平，如何在原有游戏规则上改进，使之公平？22. (8分)随着人民生活水平的不断提高，家庭轿车的拥有量逐年增加.据统计，某小区2010年底拥有家庭轿车 256辆，2012年底家庭轿车的拥有量达到400辆.(1) 若该小
10、区2010年底到2012年底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同，求该小区到2013年底家庭轿车 将达到多少辆？(2) 为了缓解停车矛盾，该小区决定投资15万元再建造若干个停车位.据测算，建造费用分别为室内车位5000 元/个，露天车位1000元/个，考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的 2.5倍，求该小区最多可建两种车位各多少个？试写出所有可能的方案.23. (9分)(2013珠海)如图，Q?经过菱形ABCD的三个顶点A、C、D,且与AB相切于点A。(1)求证：BC为GO的切线；(2)求zB的度数.24. (12分)如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为j轴，建立平面直角 坐标系.已知OA=3, OC=2点E是AB的中点，在OA上取一点D，将ZBDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的 点F处.(1) 直接写出点E、F的坐标；(2) 设顶点为F的抛物线交j轴正半轴于点R且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的 解析式；(3) 在x轴、j轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值； 如果不存在，请说明理由.
