第二章静电场.ppt

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1、第二章 静电场,本章重点：,本章难点：,静电势及其特性、分离变量法、镜象法,分离变量法（柱坐标）、电多极子,第二章,静 电 场,静电场的基本特点：,边值关系：,基本方程：,介质分界面上的束缚电荷：,电磁性质方程：,2.1 静电势及其微分方程,一、静电场的标势,二、静电势的微分方程和边值关系,三静电场的能量,本节主要内容,1静电势的引入,一、静电场的标势,2、电势差,两点电势差与作功的路径无关,（2）电荷分布在无限区域不能选无穷远点作参考 点，否则积分将无穷大。,3、电荷分布在有限区几种情况的电势,（1）点电荷,（2）电荷组,（4）连续分布电荷,二、静电势的微分方程和边值关系,电势满足的方程,导

2、出过程,2静电势的边值关系,(1)两介质分界面,由于导体表面为等势面，因此在导体表面上电势为一常数。将介质情况下的边值关系用到介质与导体的分界面上，并考虑导体内部电场为零，则可以得到第二个边值关系。,（2）导体表面上的边值关系,三静电场的能量,一般方程：能量密度,总能量,导出过程：,该公式只适合于静电场情况。能量不仅分布在电荷区，而 且存在于整个场中。,同理,平面为等势面（Z=0的平面）。,求近似值：,若电偶极子放在均匀介质中（无限大介质）：,均匀介质中点电荷产生的束缚电荷分布在自由点电荷附近，介质中电偶极子产生的势为自由偶极子与束缚偶极子产生的势的迭加，设 为束缚电荷，,56页例2（自学）,

3、此题也可用高斯定理（积分形式）求解。,第二章第二节,唯一性定理,2.2 唯一性定理,、泊松方程和边界条件,二、唯一性定理的内容,三、唯一性定理的意义,主要内容,、泊松方程和边界条件,假定所研究的区域为V，在一般情况下V内可以有多种介质或导体，对于每一种介质自身是均匀线性各向同性。设V内所求电势为，它们满足泊松方程,内边界条件为边值关系,注：在实际问题中，因为导体内场强为零，可以不包含在所求区域V内。导体面上的边界条件可视为外边界条件。,二、唯一性定理,1均匀单一介质,令,由格林第一公式,见课本81页,介质分区均匀（不包含导体）,（证明见书P60）,区域V内电场唯一确定,均匀单一介质中有导体（证

4、明见教材）,三、唯一性定理的意义,更重要的是它具有十分重要的实用价值。无论采用什么方法得到解，只要该解满足泊松方程和给定边界条件，则该解就是唯一的正确解。因此对于许多具有对称性的问题，可以不必用繁杂的数学去求解泊松方程，而是通过提出尝试解，然后验证是否满足方程和边界条件。满足即为唯一解，若不满足，可以加以修改。,唯一性定理给出了确定静电场的条件，为求电 场强度指明了方向。,四、应用举例,半径为a的导体球壳接地 壳内中心放置一个点电荷 Q，求壳内场强。,解：点电荷 Q 放在球心处，壳接地,因而腔内场唯一确定。,不满足,已知点电荷产生的电势为,但它在边界上,要使边界上任何一点电势为0，,设,它满足

5、,根据唯一性定理，它是腔内的唯一解。,可见腔内场与腔外电荷无关，只与腔内电荷Q有关。,解：导体球具有球对称性，电荷只分布在外表面上。,假定电场也具有球对称性，则电势坐标与,导体表面电荷Q已知，电场唯一确定。设,带电荷Q 的半径为a 的导体球放在均匀无限大介 质中，求空间电势分布。,在导体边界上,3两种均匀介质（和）充满空间，一半 径 a 的带电Q导体球放 在介质分界面上（球心 在界面上），求空间电 势分布。,对称性分析：,在两介质分界面上：,试 探 解,确定常数,导体球面上面电荷分布：,束缚电荷分布：,其他实例：,第二章第三节,分离变量法,2.3 拉普拉斯方程的解 分离变量法,1、空间，自由电

6、荷只分布在某些介质（或导 体）表面上，将这些表面视为区域边界，可用 拉普拉斯方程。,一、拉普拉斯方程的适用条件,2、在所求区域的介质中若有自由电荷分布，则要求 自由电荷分布在真空中产生的势为已知。,一般所求区域为分区均匀介质，则不同介质分界面上有束缚面电荷。区域V中电势可表示为两部分的和，即，为已知自由电荷产生的电势，不满足，为束缚电荷产生的电势，满足拉普拉斯方程,二、拉普拉斯方程在几种坐标系中解的形式,1、直角坐标,（1）令,令,（2）若,注意：在（1）、（2）两种情况中若考虑了某些边界条件，将与某些正整数有关，它们可取1，2，3，只有对它们取和后才得到通解。,柱坐标,3球坐标,缔合勒让德函

7、数（连带勒让德函数）,-为勒让德函数,三解题步骤,根据具体条件确定常数,选择坐标系和电势参考点 坐标系选择主要根据区域中分界面形状，参考点主要根据电荷分布是有限还是无限；,分析对称性、分区写出拉普拉斯方程在所选 坐标系中的通解；,（1）外边界条件：电荷分布有限,注意：边界条件和边值关系是相对的。导体边界可视为外边界，给定（接地），或给定总电荷 Q，或给定。,（2）内部边值关系：介质分界面上,一般讨论分界面无自由电荷的情况,四应用举例,1、两无限大平行导体板，相距为，两板间电势 差为V(与 无关)，一板接地，求两板间的 电势 和。,(4)定常数：,解：（1）边界为平面，选直角坐标系；上、下两平板

8、接地，取为参考点；且当,（3）确定常数 A，B，C，D，k,通解,（m=奇数）（m=偶数）,令,解：电荷分布在无限远，电势零点可选在有限区，为简单可选在导体面 r=a 处，即 选柱坐标系。,对称性分析：,补充题1长方形盒的长为A、宽为B、高为C，上盖电位为，其余接地，求盒内的电位分布。,补充题2无穷长导体圆筒，半径为a，厚度可以忽略不计。圆筒分成相等的两个半片，相互绝缘。其中的一半的电位为，另一半电位为，求圆筒内的电位分布。,4一半径为 a，介电常数为 的无 限长电介质圆柱，柱轴沿 方 向，方向上有一外加均匀电 场，求空间电势分布和柱面 上的束缚电荷分布。,(2)考虑对称性电势与z无关，设柱内

9、电势为，柱外为 它们分别满足,。通解为：,两边 为任意值，前系数应相等（）,（4）解为,（5）求柱内电场：,仍沿x方向,（6）柱面上束缚面电荷分布,（7）若圆柱为导体，可用上述方法重新求解，或令,5如图所示的导体球（带电Q）和不带电荷的导体球壳，用分离变量法求空间各点的电势及球壳内、外面上的感应电荷。,解：(1)边界为球形，选球坐标系，电荷分布在有限区，选,若将Q移到壳上，球接地为书中P64例题,（3）确定常数,在导体壳上,（5）球壳上的感应电荷,壳内面,以上结果均与高斯定理求解一致。,6均匀介质球（介电常数为）的中心置一自由电偶极子，球外充满另一种介质（介电常数为），求空间各点电势和束缚电荷

10、分布。,解:(1)与 的边界为球面，故选球坐标系，电荷分布在有限区，选,(2)设球内电势为，球外电势为,球外无自由电荷分布，电势满足。但球内有自由偶极子，不满足拉普拉斯方程，但满足泊松方程。考虑偶极子使介质极化，极化电荷分布在偶极子附近和球面上。自由偶极子在介质中产生的电势,所以,满足,考虑轴对称：,（3）确定常数,R,边值关系,并注意到,（4）电势解为,（5）球面上束缚（极化）电荷分布,答案：,注意：,答案：,作业：1、2、4、5 补充题 3、4 选作：6*、补充题 1、2,补充题4 有一半径为 a 的无限长圆柱导体，柱轴沿 方向，沿 方向上有一外加均匀电场，求空间电势分布（球外为真空）和面

11、电荷分布（令柱面处电势为零）。,第二章第四节,镜 象 法,2.4 镜 象 法,重点掌握：1、镜象法的基本概念 2、求解电势的基本方法,求解泊松方程的难度,、电象法的概念和适用条件,一般静电问题可以通过求解泊松方程或拉普拉斯方程得到电场。但是，在许多情况下非常困难。例如，对于介质中、导体外存在点电荷的情况虽然可以采用叠加法求解，但是求解比较困难。求解的困难主要是介质分界面或导体表面上的电荷一般非均匀分布的，造成电场缺乏对称性。,2.以唯一性定理为依据,在唯一性定理保证下，采用试探解，只要保证解满足泊松方程及边界条件即是正确解。特别是对于只有几个自由点电荷时，可以将导体面上感应电荷分布等效地看作一

12、个或几个点电荷来给出尝试解。,电象法概念、适用情况,电象法：用假想点电荷来等效地代替导体边界面上的面电荷分布，然后用空间点电荷和等效点电荷迭加给出空间电势分布。,适用情况：所求区域有少许几个点电荷，它产生的感应电荷一般可以用假想点电荷代替。b)导体边界面形状比较规则，具有一定对称性。c)给定边界条件,注意：a）做替代时，所研究空间的泊松方程不能被改变（即自由 点电荷位置、Q 大小不能变）。所以假想电荷必须放在 所求区域之外。b）不能改变原有边界条件（实际是通过边界条件来确定假 想电荷的大小和位置）。c）一旦用了假想（等效）电荷，不再考虑原来的电荷分布。d）坐标系选择仍然根据边界形状来定。,格林

13、等效层定理（不证明）*,（1）等势面包围的体积V内的电荷在V外产生的电势与在此等势面上置一导体面，并将V内电荷都搬到导体上所产生的电势完全一样。,（2）相反，带电导体所产生的电势也可以用导体面内一定等效电荷分布来代替，只要它产生与导体表面完全重合的等势面。,四、应用举例,接地无限大平面导体板附近有一点电荷，求空间电势。,从物理问题的对称性和边界条件考虑，假想电荷应在左半空间 z 轴上。,讨论：（a）导体面上感应电荷分布,（b）电荷Q 产生的电场的电力线全部终止在导体面上 它与无导体时，两个等量异号电荷产生的电场在 右半空间完全相同。,（c）与 位置对于导体板镜象对称，故这种方法称 为镜象法（又

14、称电象法）,（d）导体对电荷Q 的作用力相当两点电荷间的作用力,解：（1）分析：因导体球接地故球的电势为零。根据镜象法原则假想电荷应在球内。因空间只有两个点电荷，场应具有轴对称，故假想电荷应在线上，即极轴上。,真空中有一半径R0的接地导体球，距球心 a R0 处有一点电荷 Q，求空间各点电势。,设,因 任意的,解得,，因此Q发出的电力线一部分会聚到导体球面上，剩余传到无穷远。球面感应电荷分布,（3）讨论：,导体球接地后，感应电荷总量不为零，可认为电荷 移到地中去了。,（4）若导体不接地，可视为 分布在导体面上。不接地导体已为等势体，加上 还要使导体为等势体，必须均匀分布在球面上。这时导体球上总

15、电量（因为均匀分布球面上可使导体产生的电势等效于在球心的点电荷产生的电势）。,（5）若导体球不接地，且带上自由电荷，导体上总电荷为，此时要保持导体为等势体，也应均匀分布在球面上。,等效电荷一般是一个点电荷组或一个带电体系，而不一定就是一个点电荷。,（6）导体球不接地而带自由电荷 时 所受到的作用力可以看作 与 及位于球心处的等效电荷 的作用力之和。,设，第一项为排斥力，第二项为吸引力（与 无关，与 正负无关）。当 时，F 0，即正电荷与带正电导体球在靠的很近时会出现相互吸引。,3有一点电荷 位于两个互相垂直的半无限大接地导体板所围成的直角空间内，它到两个平面的距离为 a 和 b，求空间的电势。

16、,假想电荷应在第 I 象限之外。要保证互相垂直的两个接地导体板的电势同时为零，应当放几个电荷？,解：（1）分析：,x,y,O,（2）电势分布,4另外几种容易求解又常见的情况：,作业 8、9、11、,2.5 格林函数方法,三、用格林函数求解一般的边值问题,二、格林函数,内容提要,本节仅研究泊松方程解的格林函数方法。它与点电荷解的边值相关，但可以解静电学的许多边值问题。设V内电荷分布 已知，,本节内容不作考试要求。格林函数方法在求解静电场的某些问题中非常有用，而且在理论物理的研究中是很重要的工具。,2常用公式,点电荷的泊松方程：设电势为,单位点电荷产生的电势,空间区域V上的边界条件,2.格林函数,

17、上单位点电荷在无穷空间中激发的电势,（1）无界空间中的格林函数,球坐标中,（偶函数）,显然满足点电荷泊松方程。,（2）上半空间的格林函数,（3）球外空间的格林函数,三、用格林函数求解一般的边值问题,，,给定，求V内,。,满足,（真空情况）,1.第一类边值问题求解的格林方法,（1）V内有电荷分布,（2）二者的联系由格林第二公式给出,为格林函数,2第二类边值问题解的格林函数方法,，S上,给定，,（1）V内有电荷分布,（2）,（1）的求解本身也不是一件很容易的事情。一般只有区域几何形状规则、简单才容易求解。电象法是求解格林函数的有效方法之一。,3格林函数方法求解讨论,（2）格林函数方法也可用来解拉普

18、拉斯方程的边值问题。由,第一类边值问题,第二类边值问题,第二章第六节,电多极矩,2.6 电多极矩,二、电多极矩,一、电势的多极展开,三、电荷体系在外电场中 的能量(相互作用能),主要内容,一、电势的多极展开,小区域电荷分布,一般若体电荷分布不均匀或区域不规则，积分十分困难（用计算机可数值求解）。,但是在许多实际情况中，电荷分布区域的线度远小于该区域到场点的距离，可以近似处理，解析求解。条件。,(1)一元函数的麦克劳林展开式（在坐标原点展开）,(2)三元函数的麦克劳林展开,其中,小区域电荷分布产生的电势,二、电多极矩,展开式的物理意义,等效于坐标原点点电荷产生的电势。因此小电荷体系在电荷分布区外

19、产生的电势在零级近似下可视为将电荷集中于原点处产生的电势。,等效为体系电四极矩张量产生的电势。最简单的体系为坐标原点附近（+，-，+，-）四个点电荷产生的电势,2.电四极矩张量,重新定义：,*证明：,有9个分量,电四极矩有6个不同分量,电四极矩最简单体系举例：,四个点电荷在一直线上按（+，-，-，+）排列，可看作一对正负电偶极子。,体系总电荷、总电偶极矩为零,依定义 其它分量均为零,作业：计算图示情况下的电四极矩张量 自学：教材页例题,电四极矩其它例子,三、电荷体系在外电场中的能量（相互作用能）,1设外场电势为，场中 电荷分布为，体系 具有的总能量为：,可证明：,称为体系的相互作用能，或带电体系在外场中的能量。,2带电体系为小区域时相互作用能的展开,将 对电荷 所在小区域展开为麦克劳林级数,3相互作用能的意义：,体系电荷集中在原点时，在外场中的能量；,体系等效电偶极子在外场中的能量；,体系等效电四极子在外场中的能量。若外场为均匀场,4.带电体系在外场 中受到的力和力矩,设W为带电体系在外场中的静电势能，则带电体系在外场中受到的力（假定Q不变）以下仅讨论 和,力：,相当于带电体系集中在一点上点电荷在外场中受到的作用力,假定在外场作用下 不变，设 为 与 之间的夹角，则,可见即使均匀场，但,力矩：,