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1、授课题目解的存在唯一性定理与逐步逼 近法授课类型理论课首次授课时间2011年 3月 28日学时4教学目标使学生掌握解的存在唯一性定理，要求会叙述并证明，利用皮卡的逐步 逼近序列进行近似计算和误差估计重点与难点重点：一阶显示微分方程解的存在唯一性定理内容及证明，解的近似计 算和误差估计；难点：定理的证明教学手段与方法讲授教学过程：(包括授课思路、过程设计、讲解要点及各部分具体内容、时间分配等)授课思路：讲授微分方程的理论基础一一解的存在唯一性定理。阐述定理的内容，简述证明 思路，然后对定理进行详细证明，对定理的几何意义进行说明，最后利用皮卡的逐步 逼近序列进行近似计算和误差估计。过程设计1. 稳
2、定课堂秩序，组织教学；2. 引入新课;3. 讲授新课4. 课堂练习与讨论5. 课堂小结与布置作业讲解要点及各部分具体内容对于反映某一运动规律的方程，如果能找到其通解，就可以通过初始条件确定其特解，从而 很好的反映事物的运动规律。但是，大量的一阶方程一般是不能用初等解法求他的通解，而实际问 题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解，从而对初值问题的研究显得尤为重要，对初值问 题的研究主要基于两方面的内容：1、初值问题的解是否存在？2、如果存在是否唯一？空=2TT|x2 x 0,例如 初值问题 dx V，y =都为此初值问题在(-8, +8)上的解。这表明、y (0) = 0-x2 x V 0,
3、此初值问题的解存在但并不唯一。本章讲的解的存在唯一性定理明确的肯定了方程得解在一定条件下的存在性和唯一性，是常 微分方程理论中最基本的定理，也是微分方程近似解法的前提和理论依据。一、方程半=f (x, y)的初值问题的解的存在唯一性dx1、存在唯一性定理考虑初值问题dy = f (x, y)(2.1) dx、y (x0) = y0(2.2)定理i(存在与唯一性定理)如果方程(2.1)的右端函数/3,在闭矩形域R : x a x x + a, y b y y + b上满足如下条件：(10在R上连续；00(2)在R上关于变量y满足李普希兹(Lipschitz)条件，即存在常数N，使对于R上任何一对
4、 点(x, y)和(x, y)有不等式：|f (x, y) f (x, y) Ny y则初值问题(2.2)在区间x h x x + h上存在唯其中 h = min(a), M = max f (x, y)0M(x, y )Ry =甲(x),甲(x0) = y02存在性的证明命题1求解初值问题(2.2)。求解积分方程(2.3).dy (、 =f (x, y). dx J (2.2),y = y+j xf (t, y )dt (2.3)y (x ) = y0x0V 00因此，只要证明积分方程(2.3)的连续解在|x x | h上存在而且唯一就行了 .下面用毕卡Picard)逐次逼近来证明积分方程(
5、2.3)的连续解的存在性，可分三个步骤进行：构造逐次近似序列.%(x) = y0中(x) = y +fxf (&,y 对1 0x00中(x) = y +f (&,中(&)d&2 0x10中 (x) = y0)+j (& , t(& ) d& x 0近似序列p (x)或写成%(x),%(x),., p (x),.命题2 对于所有的n，函数列p (x)在x x x + h上有定义连续且满足不等式 00p (x) y | b。证数学归纳法当n = 1 时，p (x) = y + j x f (&, y )d&.显然p (x)在x x x + h上有定义、 100100x0连续且有jxx0f 化,*)
6、|d& M3 x0) Mh bx00即命题2当 =1时成立。现在我们用数学归纳法证明对于任何正整数n，命题2都成立。为此，设命题2当n = k时成立，也即中(x)在x0 x x0 + h上有定义、连续且满足不等式k中(x) y b这时%+1( x) = y0(+f x f (&, % (& 洒x0由假设，命题2当 =k时成立，知道中k 1(x)在x x x0 + h上有定义、连续且有|%h-y| |f (&,% (&)|心 M(x- * Mh bx0即命题2当 =k +1时也成立。由数学归纳法得知命题2对于所有均成立。命题2证毕。命题3函数序列% 3)在0 x x0 + h上是一致收敛的证考虑
7、级数% (x) + 工% (x) %(x)x x x + h0kk 100k =1它的部分和%0(x) + 8 虬 (x) %k 1( x) =%n (x) k=1因此，要证函数序列*(x)在x0 x x0 + h上一致收敛，只须证级数(3.9)在 x0 x x0 + h上一致收敛。为此:我们进行如下的估计。由3.7)有%1-(x)| Jx|f (&,小叫 d 捉 M (x - x0)x0及%2-哗x)|/if (& ,甲芦 ) - f &，甲。(& 胚x0利用利普希茨条件及(3.10)，得到% (x)气 1( x) ML ,、(x x )nf (&,甲(&) f (&,甲(&)|d& Ljx
8、% (&)一甲(&)|d&nn1nn1x成立，则由利普希茨条件，当x0 x x0 + h时，有 |甲n+1(x)气(x)| j/ MLn( x 任 、北 MLn ,、nr J (g- x) nd = (n + 1)! (x - x0) n+1于是，由数学归纳法得知，对于所有的正整数k，有如下的估计ML-i /、1T(x一状从而可知，当 x x0 + h时ML-i , hkk!(3.12)的右端是正项级数hk堂 ML-1 k!k=1的一般项。由维尔斯特拉斯(Weierstrass )判别法(简称维式判别法)，级数(3.9)在尤 x x +h上一致收敛，因而序列% (x)也在nx0 x x0 +h
9、上一致收敛。命题3证毕。现设 lim% (x) =%(x)， n n Tx则中 (x)也在。 x x0 + h上连续，且由(3.8)又可知% (x) - *| b命题4甲(x)是积分方程(3.5)的定义于 x x0 + h上的连续解。证由利普希茨条件f (x,% (x) f (x,%(x)| L% (x)-%(x)|nn以及% 3)在0 x x0 + h上一致收敛于(x)，即知序列f(x)三f (x,% (x)在xo x xo + h上一致收敛于(x,% (x)。因而，对(3.7)两边取极限，得到lim% (x) = y + limfx f (&,% (& )dg = y +jx lim f
10、(&,% (& )dg n0n10n1nsns xx ns即% (x) = y0 +f (&, % (& )dg这就是说,%(x)是积分方程(3.5)的定义于 x x0 + h上的连续解。命题4证毕命题5设W (x)是积分方程(3.5)的定义于 x X0 +入上的一个连续解，则甲(x)三 W (x)，x x 1)xW(x) = J0 +x f (&,W(&)d&我们可以进行如下估计|P (x) -W (x)| f xf (& ,W (& )d提 M (x - x ) x|P1(x)-W (x)| Jx|f (&,%(&) f (&,W (&)此 LJx 1%(&) -W (&)| 此x0x0
11、ML J x 化-x ) d &= ML (x - x )2x002!0现设帆(x) -W (x) M* 1 (x一 x)n，则有 fv x0|Pn(x)-W(x)|Jxf(&，Pn (&)-f(&，W(&)d& LJx|Pn (&)-W(&)班 x0MLML ,、 J (& -x )nd& =(x-x )n+1n! x00(n +1)!0故有数学归纳法得知，对于所有正整数n，有下面的估计式MLn 7 怜(x)-W (x) E!hn+1ML hn+1 0。 (n +1)!Mhn+i是收敛级数的公项，故n * 时 (n +1)!因而虹(x)在x0 x x0 + h上一致收敛于W (x)。根据极限
12、的唯一性，即得命题5证毕。中(x)三 W (x)x x x + h贝尔曼引理设心)为区间,b上非负的连续函数，。 Xo b .若存在8H, k H使 得y(x)满足不等式，、，产，、，x e a, b,(2.9)y(x) 6 + k J y(t)dtx0则有 y(x) xo的情形.令R(x) = Jy(t)dt，于是从(2,9)式立即有xoR(x)-kR(x) 6上式两端同乘以因子e-k(x-xo)，则有dc/、.1 八.R(x)e-k(x-xo) 6 e - k (x - x) dx1-上式两端从xo到x积分，则有kR(x)e-k(x-x0) 6 6 e-k(x-x0)即6 + kR(x)
13、6 ek(x-xo)由(2.9)知，y (x) 6 + k (x)，从而由上式得到y(x) x ox xo的情形类似可证，引理证毕.积分方程(2.3 )解的唯一性证明，采用反证法.假设积分方程(2.3)除了解y (x)之外，还另外有解y (x)，我们下面要证明：在x-x h- o上，必有 y (x) = y2(x).因为1事实上yi(x) = yo + J f (t,y(t)dtxoy2 (x) = yo + J f (t,y2(t)dtxo将这两个恒等式作差，并利用李普希兹条件来估值，有f (t号肋I-y2(x) y1(t) y2(t) dt令y(x) = |y (x) y (x)|,8=
14、0,k = N，从而由贝尔曼引理可知，在x x h上有y(x) = 0 ,1 1200即 yi( x)三 y2( x).至此，初值问题(2.2)解的存在性与唯一性全部证完.附注：1.在实际应用时，李普希兹条件的检验是比较费事的.然而，我们能够用一个较强的，但 却易于验证的条件来代替它.即如果函数f (x，y)在闭矩形域R上关于y的偏导数f(x, y)存 y在并有界，f(x, y) N .则李普希兹条件成立，事实上，由拉格朗日中值定理有y|f (x, y) f (x, y) = |f (x,提|y = y| Ny y|其中 满足y & x (或x x )2000012时，曲线y =gx)便可能没
15、有定义.由此可见，初值问题(2.2)的解未必在整个区间x a x 0使得y T0|f (x, y) f (x,0)| N|y|从而方程右端函数在y = 0的任何邻域上并不满足李普希兹条件，这个例子说明李普希兹条件 不是保证初值解唯一的必要条件.为了保证方程(2.1)的初值解的唯一性，有着比李普希兹条件更弱的条件.直到现在，唯一 性问题仍是一个值得研究的课题.5.下面的例子表明：如果仅有方程(2.1)的右端函数f(x, y)在R上连续，不能保证任何初 值问题(2.2)的解是唯一的.例2讨论方程dy23 y 3 dx解的唯一性.2解 方程的右端函数f (x,y) = 3y3,在全平面连续，当y丰0
16、时，用分离变量法可求得通 解y = (x + C)3，C为任意常数.又y = 0也是方程的一个特解，积分曲线如图2-7.图2-7从图上可以看出，上半平面和下半平面上的解都是唯一的，只有通过x轴上任一点(x0,0) 的积分曲线不是唯一的，记过该点的解为y = y(x)，它可表为：对任意满足a x。 b的a 和b.fz 、一(x - a)3,0,(x 一 b)3,二、一阶隐方程考虑一阶隐方程F (x, y. y) = 0 (3.15)根据隐函数存在定理，若于(x , y , y，)的某一邻域内F连续且F (x , y , y) = 0, 000000一/F而竺莉,则必可把/唯一地表为x, y的函数
17、8yy = f (x, y) (3.16)并山(x, y)与(x0, y0)的某一个邻域内连续，且满足y = f(% y)dFf_ dy更进一步，如果F关于所有变元存在连续偏导数，则f (x, y )对尤也存在连续偏导数， 且6 F(3.17)显然它是有界的。于是依定理1，方程(3.16)满足初始条件y(x0) = y；的解存在且唯一，即方程(3.15)的过点(, y0)且切线斜率为y的积分曲线存在且唯一。这样我们得到下面的定理。定理2如果在点(, y0, y ；)的某一邻域中:(1)F (x, y, y)对所有变元(x, y, y)连续，且存在连续偏导数; f 队,y, y ?=0(3)簸(
18、x0, y0,y J 尘 0 8y则方程(3.15)存在唯一解y = y(x) h (h为足够小的正数)满足初始条件y(x)= y0,y (x0)= y I (3.18)三、近似计算和误差估计存在唯一性定理不仅肯定了解的存在唯一性，而且在证明中采用的Picard的逐次逼近法在使 用上还提供了近似解的具体求法.对于求得的近似解，还可以估计误差.MLn ,、在式|中(x)-放(x)| ( * I】(尤-*)+1中令V=中3)，我们就得到第n次近似解平(x)与真正解中(x)在区间x-X0MLn , h内的误差估计式|气(x)一甲(x)| (- hn+1 o这样，我们在进行近似计算时，就可以根据误差的
19、要求，选取适当的逐步逼近函数平(x)。例1方程空=x2 + y2定义在矩形域R : -1 X 1，-1 y 1上，利用存在唯一性dx定理确定过(0,0)的解的存在区间，并求在此区间上与真正解的误差不超过0.05的 近似解的表达式。b11解：这里M = maxf(x,y)| = 2,h是a = 1 和=中最小者，即，h =,M 22(x, y )eR在R上函数 (x, y) = x 2 + y 2的Lipschitz常数可取乙=2，因为f 8y=|2 y 2=L,贝MLn , 中(x)中(x) hn+1 1 n1 (n +1)!M 1 (Lh)n+1 L (n +1)!1 0.05, (n +1)!因而可取n = 3，因为1111=_ = =0.05 (n +1)! 4 24 20我们可以作如下的近似表达式%(x) = 0 气(x) = j ；.x3 x 7T + 63x 2 +甲 2( x) dx =1%(x) = j 0dxX0 L=j X0X 2 +中 22X 62 X10 X14X 2 +119189 3969X 3 X 72 X11 X15=111363 2079 59545/就是所求的近似解在区间-2 x 2上。 这个解与真正解的误差不会超过0.05。
