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1、第4章 耦合电感与谐振电路,4.1 耦 合 电 感4.2 含有耦合电感的正弦电流电路的分析4.3 空 心 变 压 器4.4 串 联 谐 振4.5 并 联 谐 振,4.1 耦合电感,4.1.1 互感 当两个或多个线圈彼此相互邻近时，无论哪一个线圈电流变化，除存在自感现象外，还会在其他线圈产生互感应电压，这种现象称为互感。这时两个线圈间就存在磁耦合，可以用耦合电感作为其电路模型。,图4.1示一对磁耦合线圈，设每个线圈的电流与其产生的磁链参考方向符合右手螺旋定则。,图4.1 两个线圈的互感,(a),(b),对图4.1(a)有,（线圈1的自感）,（线圈1对线圈2的互感）,（线圈2的自感）,（线圈2对线
2、圈1的互感）,同理对图4.1(b)可定义,应该指出：在该定义式中分子分母两量间必须符合关联参考方向，即各磁链及相应电流参考方向之间符合右手螺旋定则，因而电感L1、L2及互感M21、M12均为正值。,实践和理论均可证明，M21 M12M所以不必区分M21和M12，可统一用M表示，称为互感，即,互感的量值反映了一个线圈在另一个线圈产生磁链的能力，通常两个耦合线圈的电流产生的磁通只有部分磁通相互交链，而彼此不交链的那一部分磁通称为漏磁通。为了表征两个线圈耦合的紧密程度，把两个线圈互感磁链与自感磁链的比值的几何平均值定义为耦合系数k，即,一般情况下，0k1。k值越大，表示漏磁通越小，即两个线圈之间耦合
3、越紧密。当k=1时，无漏磁，两线圈全耦合。耦合系数k的大小与线圈的结构、相互位置以及周围磁介质有关。如果两个线圈密绕在一起，如图4.2(a)所示，则k值可以接近于1，反之，如果它们相隔很远，或者它们的轴线互相垂直，如图4.2(b)所示，则k值就很小，甚至可能接近于零。,图4.2 耦合线圈的耦合系数与相互位置的关系,4.1.2 互感电压 对图4.1(a)有,若根据线圈的绕向选择i1和 的参考方向使它们符合右手螺旋定则，e21和 的参考方向也符合右手螺旋定则，并设u21与e21的参考方向相同。则根据电磁感应定律，可得互感电压,由此可见，互感电压与产生它的相邻线圈的电流变化率成正比。,同理，对图4.
4、1(b)有互感电压,4.1.3 耦合电感线圈上的电压、电流关系 若一对磁耦合线圈中同时通过电流i1和i2时，则每个线圈的总磁链为自感磁链和互感磁链的合成。取总磁链与自感磁链有相同的参考方向，对于图4.3(a)所示两个线圈，其自感磁通和互感磁通方向一致，我们称之为磁通相助。设线圈1和线圈2的总磁链分别为 和，则有,图4.3 耦合电感线圈的电压电流关系,（a）（b）,对于图4.3(b)所示两个线圈，其自感磁通与互感磁通方向相反，我们称之为磁通相消。则有,若各线圈的端电压与本线圈的电流的参考方向相关联，电流与其产生的磁通的参考方向符合右手螺旋定则，对图4.3(a)有下式,对图4.3(b)有下式,同名
5、端及其测定 同名端是用来说明具有磁耦合两线圈绕向间的关系的。若一对磁耦合线圈同时通以电流，每个线圈中自感磁通和互感磁通方向一致（或者说自感磁通和互感磁通相助），则流入电流的两个端钮即为同名端。常用星号（*）或小圆点（）作标记。,图4.4是耦合电感元件的电路符号，它是由实际耦合线圈抽象出来的理想化电路模型，由L1、L2和M三个参数来表征。,图4.4耦合电感元件的电路符号,（a）（b）,互感电压的符号可按下述规则确定：若某线圈电流参考方向和由它引起的互感电压的参考方向都是由同名端指向另一端，即当线圈电流与它引起的互感电压的参考方向对于同名端是一致时，则它们是关联参考方向，这时互感电压为正，即,否则
6、就是非关联参考方向，互感电压为负，即,有时会遇到具有磁耦合的线圈绕向无法知道的情况，例如，线圈封装在不易开启的外壳中，或者线圈被绝缘层覆盖而无法查明其绕向，这时可用实验的方法来判断其同名端。图4.5就是用直流法确定同名端的一种实验电路。,图4.5 测定同名端电路,由此，也可以看出同名端的另一个意义，当一个线圈的电流从同名端流入且增大时，使磁耦合另一线圈感应互感电动势，在同名端引起较异名端为高的电位，并由同名端向外电路（例如电压表）流出电流。这表明同名端同极性。,4.2 含有耦合电感的正弦电流电路的分析,4.2.1 互感电压的相量形式 如果通过耦合线圈的两个电流为同频率的正弦电流，由它们产生的互
7、感电压也是同频率的正弦量。当线圈电流和由它引起的互感电压的参考方向对于同名端是一致（即同名端有相同的参考电压极性）时，有,当线圈电流和由它引起的互感电压的参考方向对于同名端是不一致（即同名端有相反的参考电压极性）时，有,上面各式中,，称为互感电抗，单位,为。,4.2.2 耦合电感的串联两个耦合电感线圈的串联有顺向串联和反向串联两种接法。顺向串联如图4.9(a)所示，图中的R1、L1和R2、L2分别代表两个线圈的电阻和自感，M为两个线圈的互感。图中还标出了电流、电压和互感电压的参考方向和极性，根据KVL，线圈的端电压分别为,（a）（b）图4.9 耦合电感的串联,反向串联如图4.9（b）所示，按图
8、所示的电流、电压和互感电压的参考方向和极性，根据KVL有,可见，耦合电感串联时两种情况下等效阻抗为,显然，顺向串联时，等效电感增加，反向串联时，等效电感减少。利用这个结论，也可以用实验方法判断耦合电感的同名端，上式还提供了测量耦合电感M的方法。应该注意，反向串联有削弱电感的作用，互感的这种作用称为互感的“容性”效应。在一定的条件下，可能有一个线圈的自感小于互感M，则该线圈呈容性反应，即其端电压滞后于电流。但串联后的等效电感也必然大于或等于零，即,4.2.3 耦合电感的并联,两个耦合电感线圈的并联也有两种接法，如图4.10所示。图4.10（a）电路为同侧并联，即同名端在同一侧。图4.10（b）电
9、路为异侧并联，即异名端在同一侧。,（a）（b）图4.10 耦合电感的并联,两个耦合线圈并联后的等效阻抗为,式中,时,，当,同侧并联时，磁场增强，等效电感增大，分母取负号；异侧并联时，磁场削弱，等效电感减小，分母取正号。,4.2.4 耦合电感的T形等效,两个耦合电感线圈有一端相联接，如图4.11（a）所示，可以化为等效的无互感电路，即去耦等效电路。这种方法称为互感消去法（或去耦法）。考虑到同名端在同侧和异侧两种不同的联接方式，由此得出如图4.11（b）所示的无互感的等效电路。,（a）（b）图4.11 耦合电感的T形等效,4.2.5 耦合电感电路的一般分析方法,在计算含有耦合电感的正弦电流电路时，
10、仍可采用相量法，KCL的形式仍然不变，但在KVL的表达式中，应计入由于耦合电感引起的互感电压。计算含有耦合电感的正弦电流电路一般都采用支路电流法或网孔分析法。含有耦合电感电路的功率计算与前面的方法相同。,4.3 空心变压器,变压器是利用互感来实现从一个电路向另一个电路传输能量或信号的一种器件，空心变压器是由绕在非铁磁材料制成的芯子上并且具有互感的线圈组成的，它不会产生由铁心引起的能量损耗，广泛应用在高频电路中，也应用在测量设备中。,图4.16所示是空心变压器的简化电路图，与电源相联的一边称为原边(或原绕组)，也叫初级线圈；与负载相联的一边称为副边(或副绕组)，也叫次级线圈。其中的R1、R2和L
11、1、L2分别表示各个线圈的电阻和电感，M为两个线圈的互感，RL和XL为负载的电阻和电抗。,图4.16 空心变压器的简化电路,在正弦电流的情况下，根据图4.16所示的电流、电压参考方向和同名端，可写出如下方程,将上述方程稍加变化，得,其中,，,，可解得,其中,，,。式中的分母,是原边的输入阻抗，其中,阻抗，它是副边的回路阻抗,反映到原边的等效阻抗。,称为引入,通过互感,图4.17 空心变压器原边和副边的等效电路,4.4 串联谐振,在具有电感和电容元件的电路中，电路两端的电压与其中的电流一般是不同相的。如果我们调节电路的参数或电源的频率而使电路呈电阻性，即电路的电压与电流同相，把电路的这种现象称为
12、谐振现象，简称谐振。,谐振现象的物理本质是电路中无功功率完全补偿，自给自足，无需与外界交换能量。谐振现象在电工和无线电技术中有着非常广泛的应用，而在电力输配电系统中发生谐振时又可能破坏系统的正常工作状态，必须加以避免。因此，研究谐振的目的就是要充分认识这种现象的客观规律。,图4.21 RLC串联谐振电路,如图4.21所示RLC串联电路，由谐振的定义，得出串联谐振的条件为,发生谐振的角频率称为谐振角频率，用,表示，根据谐振条件可得,由,，则谐振频率,为,为了实现谐振，可固定电路参数（L或C），改变电源频率；也可以固定电源频率，改变电感或电容。调节而达到谐振的过程称为调谐。对于任一选定的RLC串联
13、电路，总有一个对应的谐振频率f0，它反映了电路的一种固有性质。因此f0又称为电路的固有频率，是由电路自身参数确定的。,当RLC串联电路发生谐振时，电路具有以下特性：,1.电抗为零，阻抗最小且为一纯电阻，即，电路中的电流最大，并且与外加电压同相位。即2.串联电路谐振时，虽然电抗为零，但感抗和容抗都不为零，这时的感抗或容抗称为特性阻抗，并用 表示，即,3.串联电路谐振时，因为,，可得,，所以,即谐振时,与,的有效值相等，相位,相反，相互完全补偿，所以串联谐振也称为电压谐振，电压、电流相量图如图4.22所示。,图4.22 RLC串联谐振相量图,又,式中,为谐振电路的感抗或容抗与电路电阻之比，称为串联
14、电路的品质因数，工程上简称Q值。它是一个仅与电路参数有关而无量纲的常数，用来表征谐振电路的性能，还可表示为,4.串联电路谐振时，由于电抗为零，阻抗角为零，电路的功率因数为1。即,所以,此时，电路的有功功率即为电阻元件消耗的功率，电路的无功功率为零，即电路的磁场储能和电场储能之间的相互转换仅在电感和电容之间进行，而与电源没有储能交换。,图4.23 RLC串联电路的频率特性和电流谐振曲线,（a）（b）,工程上常将谐振电流I0的0.707倍所对应的两个频率点之间的宽度称为带宽，又称为通频带，它规定了谐振电路容许通过信号的频率范围。图4.23(b)所示谐振曲线的通频带宽度为,或,总之，电路的选择性越好
15、，通频带就越窄，反之，通频带宽，选择性就差。在无线电技术中，往往是从不同的角度来评价通频带宽窄的。当强调电路的选择性时，就希望通频带窄一些，当强调电路的信号通过能力时，则希望通频带宽一些。在实际选择电路的Q值时，就需要兼顾这两方面的要求。,4.5 并联谐振,工程上广泛应用电感线圈和电容器组成的并联谐振电路，由于实际线圈总是有电阻的，因此当将电感线圈与电容器并联时，其等效电路如图4.26(a)所示。其中R为线圈的等效电阻。,图4.26 并联谐振电路及相量图,并联谐振电路与串联谐振电路相似，它的谐振条件可从电路的复导纳来分析。图4.26(a)电路的复导纳为,根据谐振定义，谐振时电路中电流与电路两端
16、电压相位相同，所以上式中的电纳部分必须为零，即,并联谐振电路的谐振频率，不仅取决于L和C，还与R有关，且小于串联谐振频率。与电路的电阻R有关，是并联谐振电路不同于串联谐振电路的特征之一。只有当R=0时，才有，即并联谐振电路的谐振频率等于串联谐振电路的谐振频率。,这时谐振角频率,为,RLC并联电路发生谐振时具有以下特性：,1.回路的总阻抗最大，且为纯电阻。,并联谐振电路的特性阻抗,它与串联谐振电路的特性阻抗意义相同。并联谐振电路的品质因数定义为谐振时容纳（或感纳）与输入电导（等效电导）Gp的比值，即,引入品质因数后，还可以推导得,并联电路谐振时，电路的等效电阻只由电路参数决定，与信号频率无关。因为通常R很小，Q值很大，所以并联电路谐振时阻抗很大，这是与串联谐振电路的第二个不同点。,2.并联电路谐振时，回路的总电流为一最小值，且与回路的端电压相位相同，即,3.并联电路谐振时，电感支路上的电流与电容支路上的电流近似相等，方向相反。,4.电感或电容支路的电流有可能大大超过总电流，即可能出现过电流现象。流过电感或电容支路的电流是总电流的Q倍，即,Q值越大，谐振时两支路电流比总电流越大，因此并联谐振又称为电流谐振。并联谐振也可进行选频，选频特性的好坏也由Q值决定。,
