第十二章动能定理x.ppt

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1、设质点M在变力F的作用下作曲线运动，在某微小时段dt 内产生的位移为，路程为ds。由于 非常微小，可以认为其大小与ds 的大小相等，且方向与速度方向（轨迹的切线方向）一致。因此，F在ds上所做的元功为,(12-1),第一节 力与力偶的功,第一节 力与力偶的功,而力F在由 至 的一段路程中所做的功为,(12-2),设质点同时受n个力F、F、Fn作用，这n个力的合力是F，则当质点由运动到时，合力F所做的功为,即：合力在任一段路程中做的功等于各分力在同一段路程中做的功之和。,取直角坐标系Oxyz，则力F 的元功又可表示为,而在由 至 一段路程中力F的总功为：,几种常见力的功的计算公式,、重力的功,取

2、直角坐标系Oxyz的z轴铅直向上，则质点系中任一质点 所受的重力 在各坐标轴上的投影为Fix0，Fiy0，FizPi。,第一节 力与力偶的功,当质点系由第一位置运动到第二位置时，质点系重力P所做的功等于,但，其中 是整个质点系的重量，是质点系重心的纵坐标。于是,(12-5),即：质点系所受重力的功，等于质点系的重量与其重心的高度差之乘积。,上式表明：重力的功等于质点的重量与其起始位置与终了位置的高度差的乘积，而与质点运动路径无关。,第一节 力与力偶的功,2、牛顿引力的功,图12-3 牛顿引力的功,设位于固定中心O而质量为m的物体对于质量为m的质点M作用有引力F（图12-3），而 服从牛顿万有引

3、力定律，即,其中r是质点与引力中心点O的距离；G是引力常数。,第一节 力与力偶的功,以O为原点，取矢径r，则,于是,牛顿引力所做的功也只与质点的起始位置及终了位置有关，而与质点运动的路径无关。,第一节 力与力偶的功,3、弹性力的功,设有一弹簧，一端固定于O点，另一端系一质点M，如图所示。质点运动时，弹簧将伸长或缩短，因而对质点作用一力F，称为弹性力。在弹性极限内，根据虎克定律，弹性力F的大小是,图12-4 弹性力的功,第一节 力与力偶的功,于是，弹性力 的元功为,从 到 积分上式，,弹簧伸长时，弹性力 指向固定点O。以固定点为原点，取矢径r，则,即得质点由 运动 到时弹性力F所做的功,第一节

4、力与力偶的功,为了简便，命 及 分别代表质点在第一位置及第二位置时弹簧的伸长（或缩短）量，则上式成为,(12-7),第一节 力与力偶的功,4、作用于转动刚体的力及力偶的功,设刚体绕z轴转动，力F 作用于刚体上M点，若刚体转动角度为，则M点的微小位移。于是，刚体在定轴转动中仅有力F 的切向分量Ft做功，故其元功为,第一节 力与力偶的功,力F 对于z轴的矩用M表示，则,(12-8),若有矩为m的力偶作用于刚体上，且力偶作用面垂直于z轴，则有Mz=m，于是，力偶所作的功为,(12-9),当刚体作平面运动时，作用于刚体上的力偶所做的功，可同样计算。,当转动刚体在力F 作用下由 1位置运动到 2位置，则

5、力F的总功为,第一节 力与力偶的功,若M=常量,则,5、摩擦力的功,当两刚体沿接触面有相对滑动时，摩擦力是做功的。一般情况下摩擦力方向与其作用点的运动方向相反，所以摩擦力作负功，其大小等于摩擦力与滑动距离的乘积。如果摩擦力作用点没有位移，尽管有静滑动摩擦力存在，但静滑动摩擦力不做功。,第一节 力与力偶的功,正压力，摩擦力作用于瞬心C处，而瞬心的元位移,(2)圆轮沿固定面作纯滚动时，滑动摩擦力的功,(1)动滑动摩擦力的功,FN=常量时,W=fFN S,与质点的路径有关。,力在单位时间内所作的功，称为功率。以P表示。,6、功率,设力在t 时间内作的功为W，则在这段时间内的平均功率为,当t趋近于零时

6、的瞬时功率（简称功率）为,功率等于力与速度的标积，亦即等于力在速度方向上的投影与速度之乘积。,(12-10),第一节 力与力偶的功,当作用于定轴转动刚体上的力矩为Mz时，功率为,机器工作时，必需输入功率。输入功率中，一部分用于克服摩擦力之类的阻力而损耗掉，另一部分用于使机械作功，称为输出功率。输出功率与输入功率之比称为机器的机械效率，它是衡量机器质量的指标之一。用表示：,第一节 力与力偶的功,半径为2r的圆轮在水平面上作纯滚动如图示，轮轴上有绕有软绳，轮轴半径为r，绳上作用常值水平拉力F，求轮心C运动x距离时，力F所作的功。,例1,将力F向轮心简化，产生力偶 MC=Fr，轮的转动角度为。,根据

7、式,力F所作的功为,解：,第二节 质点系的动能,质点的动能定义为,质点系的动能应为各个质点动能的总和,在某些问题中，可将质点系的运动看作随同质心的平移和相对质心的运动的合成，据此计算质点系的动能，往往较为方便。,或,是从运动的角度描述物体机械能的一种形式，也是物体作功能力的一种度量。,动能,设质点系质心的速度为vC，任一点Mi相对于质心的速度为，则绝对速度为。于是,质点系的动能,第二节 质点系的动能,（因）,于是上式可写为,即：质点系的动能等于随同其质心平移的动能与相对其质心运动的动能之和。这一关系称为柯尼希定理。,(12-14),由于,第二节 质点系的动能,对于刚体，可推导出下列更为简便实用

8、的动能计算公式。,刚体平移时，在同上瞬时，刚体上各点的速度都相等，所以，平移刚体的动能为,(12-15),第二节 质点系的动能,设刚体绕固定轴z 转动的角速度为，则与z 轴相距 的一点的速度大小为，刚体的动能等于,(12-16),刚体的平面运动可以看作随同质心的平移与绕着质心转动的合成，所以其动能,(12-17),第二节 质点系的动能,坦克或拖拉机履带单位长度质量为r，轮的半径为r，轮轴之间的距离为d，坦克或拖拉机前进的速度为v0。求全部履带的总动能。,例2,解：在C1C2杆上建立动系C1xy。,牵连运动为水平平移，牵连速度为v0；,相对运动为绕在两个作定轴转动圆轮上履带的运动。圆轮的角速度为

9、w v0/r,履带上各点的相对速度均为v0。,应用柯希尼定理，全部履带的总动能为,第三节 动能定理,第三节 动能定理,一、质点系的动能定理,设质点系由n个质点组成，考察某质点，设其质量为mi，速度为，作用于 的所有力的合力为。将该质点的运动微分方程,两边点乘微小位移，得,每一个质点都可以写出这样一个方程，然后叠加，得,上式中 为整个质点系的动能T，于是,即,(12-18),第三节 动能定理,将式(12-18)两边积分，积分的上下限对应于质点系的第二、第一位置，得,即，当质点系从第一位置运动到第二位置时，质点系动能的改变等于作用于质点系的所有力的功之和。这是质点系动能定理的积分形式，常称为动能定

10、理。,(12-19),第三节 动能定理,需要注意,第三节 动能定理,不可伸长的绳子，绕过半径为r的均质滑轮，一端悬挂物体，另一端连接于放在光滑水平面上的物块；物块又与一端固定于墙壁的弹簧相连，如图 所示。已知物体重P，滑轮重P，物块重P，弹簧常数为k，绳子与滑轮之间无滑动。设系统原来静止于平衡位置，现给以向下的初速度，求下降一段距离h 时的速度。滑轮轴处的摩擦不计。,例12-1,第三节 动能定理,解：系统在运动过程中的受力情况如图所示，其中弹性力Fk（h），而是弹簧的静伸长，且P1。系统从初始位置运动到新位置时,各力所做的功之和为,其次计算动能。因绳子不可伸长，故,设物体下降距离h时的速度为，

11、这时的速度为，滑轮角速度为，则有,第三节 动能定理,系统在两位置的动能分别是,据动能定理，解得,第三节 动能定理,位于水平面内的行星机构中，曲柄OO1受力矩作用而绕固定铅直轴O转动，并带动齿轮O1在固定水平齿轮O上滚动，如图所示。设曲柄OO1为均质杆，长l，重1；齿轮O1为均质圆盘，半径为r，重P2。设轮曲柄由静止开始转动，试求曲柄运动到任一位置的角速度、角加速度。,例12-2,第三节 动能定理,解：本题用动能定理求解角速度很方便。至于角加速度，只要把得到的角速度方程对时间求导即可。,开始时，整个系统处于静止，所以T1。,当曲柄转过任一角时，设曲柄角速度为，动齿轮中心O的速度为，动齿轮转动的角

12、速度为，则系统的动能为,因为，所以可将动能T表示为的函数,第三节 动能定理,在作用于系统的力及力偶中，只有转矩 做功，其值为。于是，由动能定理有,由此解得,将式(a)对t求导数，并注意，从而求得,(a),第三节 动能定理,材料抗冲击的能力可由冲击试验机测定，如图所示。试验机摆锤质量为18kg，重心到转轴的距离=84cm。杆重不计。实验开始时将摆锤抬至 位置后释放，转至铅直位置冲击试件，试件断裂后，摆锤上升至 的位置。求冲断试件需用的能量。,例12-3,第三节 动能定理,解：先研究冲击前摆锤的运动过程。摆锤初始动能为0，设摆锤转至铅直位置（冲击前瞬时）的动能为T1，则由动能定理,代入已知数据得,

13、第三节 动能定理,代入已知数据得,摆锤损失的动能，即冲断试件所需的能Wk为,然后研究摆锤冲断试件后的运动。由于冲击是在极短时间内完成，所以可以近似认为摆锤在冲击试件前后的位置相同，即都在铅直位置。设摆锤冲击后具有的动能为T2，摆至位置 时动能为0。由动能定理,第三节 动能定理,二、功率方程,两边同除以dt,上式称为功率方程,由动能定理的微分形式,第三节 动能定理,在功率方程中，等式右边应包括所有作用于质点系的力的功率。对机器而言，应包括：输入功率，即作用于机器的主动力的功率；输出功率，也称有用功率；损耗功率，也称无用功率。后两者应取负号。若以Pi、Po、Pl分别表示这三种功率，则,(12-21

14、),第三节 动能定理,三、质点相对运动的动能定理,将这方程的两边投影到相对轨迹的切线上，得自然轴系形式的相对运动微分方程,由质点相对运动微分方程,第三节 动能定理,即：质点在相对运动中的动能的改变，等于作用于质点的力及牵连惯性力在相对位移中的功之和。,沿相对轨迹积分，得,由于 垂直于，所以 的元功等于零，故上式就成为,(12-23),(12-22),第三节 动能定理,光滑细管AB，弯成半径为R的半圆形，以匀角速绕铅直轴z 转动，如图所示。质量为m的质点M自初位置Mo开始，沿管向下运动，且，求 随位置变化的规律。,例12-4,第三节 动能定理,解：首先计算W及We。实际作用于质点的力有重力及管壁

15、的约束力。但管壁约束力始终与相对路径垂直，不做功，而重力的功是,牵连惯性力的功是,又，于是可得,解得,第三节 动能定理,平台的质量 m=30 kg，固连在刚度系数 k=18 Nmm1的弹性支承上。现在从平衡位置给平台以向下的初速度v0=5 m s 1，求平台由这位置下沉的最大距离s，以及弹性支承中承受的最大力，假设平台作平动。,例3,解：,取平台为研究对象。从平衡位置A1(图a)运动到最大下沉位置A2(图b)，平台的初动能 T1=mv02/2，而末动能 T2=0。弹簧的初变形1=s=mg/k，末变形 2=s+s，作用在平台上的力有重力mg 和弹性力 F(图c)。,根据动能定理的积分形式,由此求

16、得平台的最大下沉距离,弹性支承有最大压缩量2=s+s,故承受的最大压力,Fmax=k(s+s)=mg+ks=4 kN,s=204 mm,它们的总功为,例4 两根均质直杆组成的机构及尺寸如图示；OA杆质量是AB杆质量的两倍，各处摩擦不计，如机构在图示位置从静止释放，求当OA杆转到铅垂位置时，AB杆B 端的速度。,解：取整个系统为研究对象,卷扬机如图所示。鼓轮在常力偶M的作用下将圆柱沿斜坡上拉。已知鼓轮的半径为R1，质量为m1，质量分布在轮缘上；圆柱的半径为R2，质量为m1，质量均匀分布。设斜坡的倾角为，圆柱只滚不滑。系统从静止开始运动，求圆柱中心C经过路程s时的速度。,O,M,D,C,例5,圆柱

17、和鼓轮一起组成质点系。作用于该质点系的外力有：重力m1g和m2g，外力偶M，水平轴支反力FOx和FOy，斜面对圆柱的作用力FN和静摩擦力Fs。,应用动能定理进行求解，先计算力的功。,因为点O没有位移。力FOx，FOy和m1g所作的功等于零；圆柱沿斜面只滚不滑，边缘上任一点与地面只作瞬时接触，因此作用于瞬心D的法向约束力FN和摩擦力Fs不作功，此系统只受理想约束，且内力作功为零。,解：,质点系的动能计算如下：,式中J1，JC分别为鼓轮对于中心轴O，圆柱对于过质心C 的轴的转动惯量：,w1和w2分别为鼓轮和圆柱的角速度，即,主动力所作的功计算如下：,由动能定理得,以 代入，解得：,于是,例6 图示

18、系统中,均质圆盘A、B各重P，半径均为R,两盘中心线为水平线,盘A上作用矩为M(常量)的一力偶；重物D重P1。问下落距离h时重物的速度与加速度。(绳重不计，绳不可伸长，盘B作纯滚动，初始时系统静止),解：取系统为研究对象,上式求导得：,例7 行星齿轮传动机构,放在水平面内。动齿轮半径r,重P,视为均质圆盘；曲柄重P1,长l,作用一力偶,矩为M(常量),曲柄由静止开始转动；求曲柄的角速度(以转角 的函数表示)和角加速度。,根据动能定理，得,将 式对t 求导数，得,解：取整个系统为研究对象,例8 质量为m 的杆置于两个半径为r，质量为的实心圆柱上，圆柱放在水平面上，求当杆上加水平力时，杆的加速度。

19、设接触处都有摩擦，而无相对滑动。,解：用动能定理求解。取系统为研究对象，杆作平动，圆柱体作平面运动。设任一瞬时，杆的速度为v，则圆柱体质心速度为 v/2，角速度,系统的动能,主动力的元功之和：,由动能定理的微分形式：,两边除以，并求导数，得,系统在铅直平面内由两根相同的匀质细直杆构成，A，B为铰链，D为小滚轮，且AD水平。每根杆的质量m=6 kg，长度l=0.75 m。当仰角q1=60时，系统由静止释放。求当仰角减到q2=20时杆AB的角速度。摩擦和小滚轮的质量都不计。,例9,解:,取整个系统为研究对象，其中杆AB定轴转动，而杆BD平面运动。,由图b知，杆BD的速度瞬心是Cv。分析点B的速度有

20、,由于BCv=BD=AB，代入上式，求得,wAB=wBD,AB wAB=BCv wBD,AB=BD,但两者的转向相反。另外，当q2=20 时，有,DCv=2l sin 20,由余弦定理可求得Cv E，从而得杆BD质心C的速度,vE=Cv E BD,在运动过程中，只有杆的重力做功。所以作用在系统中的力在运动过程中的总功为,系统开始时处于静止，初动能 T1=0，而末动能等于,从而得杆AB的角速度大小,AB=3.9 rads1(顺钟向),代入动能定理积分形式的方程 T2 T1=W,如图所示质量为 m1 的物块 A 悬挂于不可升长的绳子上，绳子跨过滑轮与铅直弹簧相连，弹簧刚度系数为 k。设滑轮的质量为

21、m2，并可看成半径是 r 的匀质圆盘。现在从平衡位置给物块 A 以向下的初速度 v0，试求物块 A由这位置下降的最大距离s，弹簧和绳子的质量不计。,例10,解：,取整个系统作为研究对象。系统运动过程中做功的力为有势力(重力和弹性力)，故可用机械能守恒定律求解。,取物块 A的平衡位置作为初位置。弹簧的初变形1=s=m1g/k。物块 A有初速度 v1=v0，故系统初动能,以物块 A 的最大下降点作为末位置，则弹簧的末变形2=s+s；系统的末动能 T2=0。,取弹簧未变形时的位置作为弹性力场的零点，又取物块 A的平衡位置作为重力场的零点。于是，系统的初势能，而末势能,应用机械能守恒定律，有,考虑到1

22、=s，2=s+s，m1g=ks，将上式整理后得,从而求得物块 A的最大下降距离,在绞车的主动轴上作用一恒力偶M以提升重物，如图所示。已知重物的质量为m；主动轴和从动轴连同安装在轴上的齿轮附件的转动惯量分别为J1和J2，传动比；鼓轮的半径为R。轴承的摩擦和吊索的质量均可不计。绞车开始静止，求当重物上升的距离为h时的速度。,例11,选取绞车和重物为研究的质点系。把重物的静止位置和升高了h的位置作为质点系运动的始点和终点，在这两瞬时的动能分别为,解：,质点系具有理想约束，各处约束反力的功等于零；质点系内力功的和显然等于零。,因，于是,由动能定理得,（a）,主动力的功为,解得,重物运动过程中，速度v及

23、上升的距离h都是变化的，将式（a）两端对时间取一阶导数，并注意到,上式两端消去v，可求得重物的加速度,得,76,绳的一端系小球，另端固定，如图所示。设球以初速 vA=3 ms1 从位置OA摆下，当摆到铅直位置时，绳受到固定在O1点的钉子限制，开始绕此点摆动。已知l=1 m,h=0.7 m,A=60。（1）求小球到达点C 时的速度vC。（2）设球的质量为m=0.5 kg，不计绳的质量，设绳碰撞时无能量损失。求当绳碰到O1点的钉子前、后，且仍在铅直位置时，绳中的拉力FB 和 FB。,h,C,A,B,M,M,O1,O,l,l,A,vA,vC,例12,77,球的轨迹可分为两段：一段是以O为中心、l为半

24、径的圆弧AB。另一段是以O1为中心、l为半径的圆弧BC。,显然绳的拉力FT在运动过程中总垂直位移，故拉力F的功，而重力的功。代入后得,(a),A到B的运动阶段，球的受力图如图中M位置所示。,应用质点动能定理，得,1.求小球到达点C时的速度vC。,解：,78,再考察B到C的运动阶段，球的受力图如图中M 位置所示，应用质点动能定理，得,同理，约束力的功，而重力的功为,(b),代入后得,将式 代入得,79,如果把ABC视作一个连续运动的阶段，应用质点动能定理，因绳的拉力不作功，得,得,（c）,将数据代入（c），得,80,应用牛顿定律在法线方向的投影式求绳的拉力FB和FB。这里，也应分开两种状态。,在

25、第一种情形下，小球是沿圆弧AB运动，圆心为O，半径为l，B点的法向加速度为，,2.绳中的拉力FB 和 FB。,由牛顿第二定律,81,代入数据得,将式 代入得,82,在第二种情形下，小球是沿圆弧BC运动，圆心为O1，半径为 l，B点的法向加速度为。,代入数据得,FB 约为FB 的2.53倍。,由牛顿第二定律得,汽车连同车轮总重量为m1g，如图所式，每个轮子重m2g，半径为r，对轮心的回转半径为r。发动机汽缸中气体的平均压力经过变速箱和后桥齿轮系传到后轮上，成为作用在后轮上的平均驱动力矩M。设汽车由静止开始运动，空气阻力与汽车速度的平方成正比，F=v2，为阻力系数，由实验测定。每个轮子受到地面的滚

26、动摩阻力矩为Mr，略去所有的轴承摩擦。求汽车的加速度和能达到的极限速度。,例13,由于，代入上式并求微分得,(b),应用质点系动能定理来建立汽车运动方程。,(a),设vC为汽车的速度，即轮子中心的速度，为轮子的角速度，汽车的动能为,解：,将式（b）、（c）、（d）代入（a），并在等式两边除以无限小时间间隔dt后得,作功的外力有阻力F和滚动摩阻力矩Mr，所以,(c),内力的功为驱动力矩M在后轮无限小转角d上的功：,(d),因,则,这就是汽车的加速度。当汽车到达其极限速度v*时aC=0，由式（e）知,(e),得,车床电动机的功率P=4.5 kw，主轴的最低转速为n=42 rpm，如图所示。设传动时

27、由于摩擦而损耗的功率是输入功率的30%，如工件的直径d=100 mm，求在此转速时的切削力F。,例14,车床正常运转时是匀速的，因此动能不随时间改变，即，故输入功率与输出功率和消耗功率之和平衡。,解:,由题意知，代入上式得,对比上两式得,如忽略走刀阻力，则P有用就表示切削力F的功率，如图所示。即,第四节 势力场和势能 机械能守恒定律,第四节 势力场和势能 机械能守恒定律,设有一空间（有限大或无限大），当质点占据其中一定的位置时，就受到一个力的作用，而这个力的大小和方向决定于质点在此空间所处的位置，则这部分空间称为力场。例如，地面附近空间为重力场；远离地球的空间为万有引力场；弹性力场等。,一、势

28、力场,当质点在力场中运动时，如果作用于质点的力所做的功只与质点的起始位置及终了位置有关，而与质点运动的路径无关，则该力场称为势力场。质点在势力场中所受的力称为有势力。,二、势能,在势力场中，质点从M点运动到任意选定的点M0时，有势力所作的功称为质点在M位置相对于M0位置的势能，用V来表示,注意：因为势能零位置是任意选定的，所以，在讲到势能时，必须指明零位置才有意义。,点M0的势能等于零，称为零势能点。,(12-24),第四节 势力场和势能 机械能守恒定律,方程V（x，y，z）=C代表一个面，不论质点位于该面上什么地方，势能都相等，因而称为等势面。,由式（12-24）可见,当质点沿一条闭合的路径

29、曲线运动一周（由出发又回到）时,有势力所做的功等于零。所以有势力也称为 保守力，势力场称为保守力场。,当质点系位于某一位置时,所有质点的势能之总和就是质点系在该位置的势能,即,第四节 势力场和势能 机械能守恒定律,质点或质点系在常见势力场中的势能,任取一坐标原点,z轴铅直向上,由式（12-5）可得质点系在任一位置的势能,(12-26),及 分别为质点系在给定位置及零位置时重心的坐标；是在两位置时重心的高度差。正负号视给定位置重心在零位置重心之上或之下而定。,第四节 势力场和势能 机械能守恒定律,以与引力中心相距r0处为零位置，则质点在与引力中心相距r处时的势能为,(12-27),以弹簧自然长度

30、末端为势能零位置，质点在指定位置时弹簧的伸长（或缩短）为，令，得质点在指定位置的势能为,(12-28),第四节 势力场和势能 机械能守恒定律,三、用势能对坐标的偏导数表示有势力,质点势能函数V(x,y,z)的微分可表示为,比较上两式即得,(12-29),由式,第四节 势力场和势能 机械能守恒定律,对于质点系，则有,以上两式表明：,(12-30),第四节 势力场和势能 机械能守恒定律,四、机械能守恒定律,设质点系运动时只受到有势力的作用（或同时受到不做功的约束力的作用），质点系从第一位置运动到第二位置。根据质点系动能定理的微分形式，有,所以,第四节 势力场和势能 机械能守恒定律,或表示为,第四节

31、 势力场和势能 机械能守恒定律,例15 长为l，质量为m 的均质直杆，初瞬时直立于光滑的桌面上。当杆无初速度地倾倒后，求质心的速度（用杆的倾角 和质心的位置表达）。,解：由于水平方向不受外力，且初始静止，故质心C铅垂下降。由于约束反力不作功,主动力为有势力，因此可用机械能守恒定律求解。,由机械能守恒定律：,将代入上式，化简后得,初瞬时：,任一瞬时：,设质量为m，半径为r的园柱体在一个半径为R的大园槽内作无滑动的滚动，如图所示。如不计滚动摩阻，求园柱体围绕其平衡位置作微小摆动的周期。,例15,其中。至于角速度可以这样确定：利用无滑动的条件，接触点A为瞬时速度中心，因此可得到，或者。,系统的动能,

32、（a）,解：,将这些关系代入上式，就有,如以平衡位置为重力势能的零点，则在任一位置系统的势能为,将转动惯量用回转半径表示，,上式可化为,（b）,（c）,此式给出了系统的速度 随位置 的变化规律。,根据机械能定恒定律得,（d）,为了得到运动微分方程，可将式（d）对时间求导数,则微小摆动的周期为,（e）,在微小摆动情况下，可近似地取。上式可简化为,第五节 普遍定理的综合应用,动量定理（含质心运动定理）、动量矩定理（含相对质心的动量矩定理）和动能定理通称为动力学普遍定理。它们建立了质点或质点系运动的变化与所受力之间的关系。但这些定理都只反映了力和运动之间的规律的一个方面，既有共性，也各有其特殊性。,

33、动力学普遍定理中的各个定理都有一定的适用范围，需要根据质点或质点系的运动及受力特点、给定的条件和要求的未知量，适当选择定理，灵活运用。,绕在鼓轮上的绳子，分别连结物块及，如图所示。已知、的质量分别为m、m2、m，鼓轮对转动轴的惯性半径为，绳子通过的质心。所有的摩擦都不计。求物块的加速度及轮轴O处的约束力。,例12-5,第五节 普遍定理的综合应用,第五节 普遍定理的综合应用,于是，由 求得,2、分别以B、A和C作为考察对象，应用质心运动定理求约束力,以B作为考察对象，有：,2,第五节 普遍定理的综合应用,以A和C 作为考察对象，有,由上式可求出O处的约束力Fx、Fy，（略）,第五节 普遍定理的综

34、合应用,已知如图所示系统，物块及两均质轮的质量均为m，轮半径均为R。滚轮上缠绕一刚度为k的无重水平弹簧，轮与地面间无滑动。现于弹簧原长处自由释放重物。试求重物下降h时的速度、加速度以及滚轮与地面间的摩擦力。,例12-6,第五节 普遍定理的综合应用,作功的力有重力和弹性力，作功之和为,解：1、系统初始时动能为零，设物块下降h时的速度为v，则两轮的角速度皆 为，系统动能为,1,第五节 普遍定理的综合应用,由动能定理,求得重物速度,从而求得重物的加速度,第五节 普遍定理的综合应用,3、为求地面摩擦力，取滚轮研究，受力如图(b)所示，其中弹簧力F=2kh。,由对质心的动量矩定理得,代入F和a的值，得地

35、面摩擦力,3,第五节 普遍定理的综合应用,例1 基本量计算(动量,动量矩,动能),举例说明动力学普遍定理的综合应用：,例2 两根均质杆AC和BC各重为P，长为l，在C处光滑铰接，置于光滑水平面上；设两杆轴线始终在铅垂面内，初始静止，C 点高度为h，求铰C 到达地面时的速度。,解：由于不求系统的内力，可以不拆开。研究对象：整体分析受力：，且初始静止，所以水平方向质心位置守恒。,代入动能定理：,例3 均质圆盘A：m，r；滑块B：m；杆AB：质量不计，平行于斜面。斜面倾角，摩擦系数f，圆盘作纯滚动，系统初始静止。求：滑块的加速度。,解：选系统为研究对象,运动学关系：,例4 物体A、B，质量分别为 m

36、A、mB，用弹簧相连，放在光滑水平面上。弹簧原长为 l0，刚度系数为k。现将弹簧拉长到 l 后无初速释放，求当弹簧恢复原长时物体 A、B 的速度，弹簧质量不计。,即,由质点系动量定理得,联立解之得,例5 重150N的均质圆盘与重60N、长24cm的均质杆AB在B处用铰链连接。系统由图示位置无初速地释放。求系统经过最低位置B点时的速度及支座A的约束反力。,解：（1）取圆盘为研究对象,，圆盘平动。,（2）用动能定理求速度。取系统研究。初始时T1=0，最低位置时：,代入数据，得,（3）用动量矩定理求杆的角加速度a。,盘质心加速度：,杆质心C的加速度：,相对质心动量矩守恒定理+动能定理+动量矩定理+质

37、心运动定理。可用对积分形式的动能定理求导计算a，但要注意需取杆AB在一般位置进行分析。,（4）由质心运动定理求支座反力。研究整个系统,代入数据，得,解：取杆为研究对象,由质心运动定理：,例6 均质杆OA，重P，长l，绳子突然剪断。求该瞬时，角加速度及O处反力。,由动量矩定理：,解:,细长杆作平面运动,由基点法,由刚体平面运动方程,联立解得,【思考与讨论】,1选择题,（1）如图所示，半径为R，质量为m的均质圆轮，在水平地面上只滚不滑，轮与地面之间的摩擦系数为f。试求轮心向前移动距离S的过程中摩擦力的功WF。（）,A WF=fmgS B WFfmgSC WF=F.S D WF=0,D,(2)如图所示，楔块A向右移动速度为v1,质量为m的物块B沿斜面下滑，它相对于楔块的速度为v2，求物块B的动能TB。（）,D,