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1、第八章非标准化期权的解析法定价,马文婧 李娜 阮佳佳 程钰,8.1 全部或无期权,假设执行价格为X，买入一份资产或无效看涨期权，在时刻T所获利润的终值如图8-1所示,在BSM假设下，资产或无效欧式期权的价值为 其中,购买1美元现金或无效看涨期权的期末利润如图8-2所示在BSM假设下，现金或无效欧式期权的价值为,标准化欧式看涨期权赋予持有人在时刻T按照约定价格X购买当前价格为S的基础资产的权利。要构建这样一个标准化看涨期权，我们可以买入S单位的资产或无效看涨期权，卖出X单位的现金或无效看涨期权。因此，按照复制定价原则，标准化欧式看涨期权的价值为,1单位资产或无效看跌期权价值为 1美元现金或无效看
2、跌期权价值为,标准化欧式看跌期权赋予持有人在时刻T按照约定的价格X卖出当前价格为S的基础资产的权利。要构建这样的标准化看跌期权，我们卖出S单位的资产或无效看跌期权，买入X单位的现金或无效看跌期权。因此，标准化欧式看跌期权的价值为,例8-1:假设你的叔叔告诉你，如果六个月后XYZ公司的股票价格大于100美元，他将给你100美元。XYZ公司股票当前的价格为90美元每股，股息收益率为1%，波动率为20%，无风险利率为3%。你叔叔送你这个礼物的价值是多少？,8.1.1 全部或无期权的风险度量,反映的是资产价格变化所引起的变化，可利用以下公式来计算：,例8-2:评价代数方法度量风险的准确性 考虑一份到期
3、期限为六个月、执行价格为50的欧式看跌期权，当前基础资产价格为49，股息收益率为1%，波动率为20%，分别用数值方法和分解方法计算期权的、和维加。假设无风险利率为3%。首先，利用分解法计算欧式看跌期权的值。,用数值法计算：令资产价格变化0.1，将BSM看跌期权公式 看做OV函数可得的代数值为,首先，对于完全亏损的期权，值接近于0。其次，完全盈利的期权值接近于1。再次，资产或无效看涨期权（不同于标准化看涨期权）盈亏平衡时的值远大于1，并随着到期期限的缩短而增长。,8.2 跳跃式期权,在不存在无成本套利机会的情况下，跳跃式看涨期权的价值为 其中跳跃式看跌期权的价值为,关于跳跃式期权，注意：当执行价
4、格和触发价格的差额（即间隔）变大时，跳跃式看涨（看跌）期权的价值下降（增加）。图8-7绘出了不同执行价格下跳跃式看涨期权和跳跃式看跌期权的价值,8.3 支付未定式期权,假设要对支付未定式欧式看涨期权定价，考虑以下一份资产组合的回报：买入一份标准化看涨期权；卖出一份现金或无效看涨期权，且现金额等于支付未定式期权的当前价值c或有支付。T时刻，资产组合的终值为：（1）如果ST=X，终值为ST-X-c或有支付，正好等于所需回报。,时刻0资产组合价值为 但是由于合约无需预先支付期权费，我们必须令组合的初始价值等于0，然后求解或有期权费。,Contents,8.6 选择性期权,8.5 棘轮期权,8.4 未
5、来生效期权,8.4 未来生效期权,定义：类似于标准期权，也有执行价格X和到期期限T，但是期权的有效期开始于预先约定的时期t后。,未来生效期权,未来生效期权的执行价格在时刻t确定，一般来说，执行价格X等于t时刻的资产价格（St）乘以。即X=St，则期权在t时刻=1时，X=St，期权盈亏平衡 1时，X St,看涨期权亏损 看跌期权盈利 1时，X St,看涨期权盈利 看跌期权亏损,未来生效期权,未来生效看涨期权定价：用期权未来价格的现值,和执行价格的现值,代替BSM看涨期权公式中的资产价格S和执行价格X，未来生效的欧式看涨 期权价值为,未来生效看跌期权的价值为,未来生效期权,例8-5：未来生效的看涨
6、期权的定价计算一份到期期限为九个月、亏损率为10%的欧式看涨期价值，以及到期期限为九个月、三个月后开始生效的欧式看涨期权的价值，并比较两个数值。假设基础资产价格为60，股息收益率为1%，波动率为30%，无风险利率为4%。T=9/12=0.75,t=3/12=0.25,S=60,i=0.01,=0.3,r=0.04,其中，,，,未来生效期权,到期期限为九个月的普通欧式看涨期权价值为,其中，,未来生效的欧式看涨期权价值较低，这是因为未来生效看涨期权价格可能的波动区间要小于标准化期权。,8.5 棘轮期权,定义：棘轮期权是一系列的未来生效期权，每个期权到期，会建立一个新期权，执行价格等于当时资产价格乘
7、以预先约定的常数。每月支付一次的一年期棘轮期权通常有12次支付（支付日）,每个一月期期权的执行价格通常在每月月初设定，因此，第一个期权的执行价格是当前已知的，为S。棘轮看涨期权的总价值就是所有未来生效看涨期权的价值总和，即,棘轮期权,.,棘轮看跌期权的价值为,其中，,是距第i个期权生效日的时间，,是距第i个期权到期日的时间,棘轮期权,例8-6:棘轮看涨期权的定价计算每月结算一次的12月期欧式棘轮看涨期权的价值。假设每个期权的执行价格在月初设定，期权的基础资产S&P500指数，当前指数水平为1150，股息收益率为1%，波动率为20%，无风险利率为4%已知条件：S=1150，i=0.01,r=0.
8、04,=0.2,则，第一个未来生效看涨期权的价值为,棘轮期权,第二个未来生效看涨期权的价值为,其他期权价值依次类推，结果如下,8.6选择性期权,定义：选择性期权的持有人有权选择在时刻t后期权的类型是标准化看涨期权还是看跌期权，不管哪种类型，期权的执行价格都是X，到期期限都是T,选择性期权,先确定选择性期权在时刻t的价值：,根据看跌-看涨平价关系式，,（8-17）,8-17式可表示为,（8-18）,选择性期权,定价：构造与选择性期权等价的资产组合：买入一份执行价格X、到期期限为T的标准化欧式看涨期权，价值为 卖出一份执行价格为、到期期限为t、基础资产价格为 的欧式看跌期权，价值为 在时刻t，看涨
9、期权价值为看跌期权价值为 0，,，,选择性期权,上述组合复制了（8-18）的回报，则欧式选择性期权价值为其中,（8-19）,选择性期权,注意：1）当t=T时，选择性期权与买入一份欧式期权同时卖出一份欧式期权的价值一样（即执行价格为X、到期期限为T的欧式看涨期权价值与欧式看跌期权价值的总和）。2）,当t趋于0时，,和,的数值趋于0或1，具体取决,是大于还是小于,于,如果,，,和,为0，（8-19）,后两项消掉，选择性期权的价格是标准化欧式看涨期权的价值；,如果,，,和,为1，此时公式,后两项为,，,选择性期权的价格下限是标准化欧式,看跌期权的价值,为,选择性期权,例8-7:选择性期权的定价你持有
10、一份期限为1年的欧式选择性期权，有权在三个月末决定期权类型是看涨还是看跌，计算该选择性期权的价值。假设期权的基础资产是S&P500股票指数组合，其当前水平为1100，股息收益率为1%，波动率为15%。假设选择性期权的执行价格为1150，无风险利率为4%。,选择性期权,首先，计算股票指数组合未来价格和期权执行价格的现值为：,接下来，计算积分上下限，,选择性期权,则相应的概率为：,最后，计算选择性期权的价值,选择性期权,注意，到期期限为1年的标准化看涨期权和看跌期权的价值分别为57.9604和73.8134。选择性期权价值更大（99.3086），这是因为期权持有人有权在三个月末决定期权类型是看涨还
11、是看跌。当到了期权类型决定日这一天，t=0而当距离期权类型决定日还有一年时，t=T，选择性期权价值等于买入一份欧式期权同时卖出一份欧式期权的组合价值，即标准化看涨期权和看跌期权的价值总和，131.7737。随着距期权类型决定日的时间越来越接近期权到期期限，选择性期权的价值以递减的比率增长，如下图所示。,选择性期权,Option value期权价值；Value of staddle鞍式期权的价值；Value of chooser选择性期权的价值；Value of standard put标准化看跌期权的价值；Time to choose date距选择日的时间。,8.7 交换期权,定义：交换期权
12、就是可以将一种资产更换为另一种资产的期权。如买入看涨期权的持有人有权支付资产2去购买资产1。,交换期权公式的几个特点,首先，BSM看涨期权公式可视为其特例。资产2为无风险（用X来替代S2）其次，用资产2买入资产1的看涨期权价值等于卖出资产2收到资产1的看跌期权价值，即,例8-8:看涨式交换期权的定价,假设你持有一份期限为三年的欧式交换看涨期权，可以用1单位的DJIA指数交换10单位的S&P500指数，计算该交换期权的价值。假设S&P500指数当前水平为1150，股息收益率为1%，波动率为20%。假设DJIA当前水平为10 500，股息收益率为2%，波动率为18%。最后，假设两指数回报率的相关系
13、数为0.85。另外，计算三年期欧式交换看跌期权的价值，该期权可以用10单位的S&P500指数交换1单位的DJIA指数。评价一下两个期权价值的差异。,8.8 最大值和最小值期权,定义：最大和最小期权是期权持有人可以在两种风险性资产中选择一个。例如，两种风险资产的最大值看涨期权持有人有权在期权到期日T按照执行价格X买入资产1和资产2中更贵的一个。下面我们将说明此期权的定价公式：(1)两种风险资产的最大值看涨期权，(2)两种风险资产的最小看涨期权，(3)两种风险资产的最大看跌期权，和(4)两种风险资产的最小看跌期权。,8.8.1 最大值看涨期权,欧式最大值看涨期权的或有回报为：,最大值看涨期权的定价
14、公式为,例8-9:最大值看涨期权的定价,考虑一份看涨期权，持有人有权以1200美元的执行价格买入价值10万美元的S&P500指数组合，或者以100美元的执行价格买入价值10万美元的国债，三个月末，哪一个价值更大？当前S&P500指数价格为1080美元，每年股息收益率为1%，波动率为20%。国债当前价格为98美元，息票收益率为6%，回报的波动率为15%。S&P500指数和国债回报率的相关系数为0.5。无风险利率为4%。计算该最大值看涨期权的价值。,8.8.2最小值看涨期权,欧式最小值看涨期权的或有回报为：,最大值看涨期权与最小值看涨期权回报总和：,8.8.3 最大值看跌期权,欧式最大值看跌期权的
15、价值为,8.8.4 最小值看跌期权,欧式最小值看跌期权的价值为,复合期权 回顾式期权 障碍式期权,程钰 数量经济,讲解内容提纲,非标准化期权的解析法定价：复合期权：看涨期权的看涨期权 看涨期权的看跌期权 看跌期权的看跌期权 看跌期权的看涨期权回顾式期权：回顾式看涨期权、回顾式看跌期权障碍式期权：下降则出局、下降则入局、上升则出局、上升则入局,8.9 复合期权,复合期权：以期权为基础资产的期权，持有人有权在合约到期时买入或卖出某种基础资产。与标准化期权的区别：基础资产是期权。常见类型：看涨期权的看涨期权，看涨期权的看跌期权，看跌期权的看涨期权，看跌期权的看跌期权。前两个策略持有人有权买入载体期权
16、，后两个有权卖出载体期权。载体期权本身可以是看涨或者看跌期权。,8.9.1 看涨期权的看涨期权,看涨期权的看涨期权：其持有人有权买入一份执行价格为X、到期日为T的看涨期权。此复合期权执行价格为c*，到期日为t，其价值用符号 表示。在风险中性假设下，看涨期权的看涨期权定价公式可写为：,(8-30),其中，是基础资产看涨期权在时刻t的价值,(8-31),8.9.1 看涨期权的看涨期权,t=0的时刻的复合期权价格，就是载体期权的折现值,8.9.1 看涨期权的看涨期权,定价第一步：确定时刻t你愿意执行复合期权的临界资产价格，该价格可通过反复试错的办法找到，最终应使作为基础资产的看涨期权的价值等于复合期
17、权的执行价格，即，,(8-32),8.9.1 看涨期权的看涨期权,在求出 后，欧式看涨期权的看涨期权价值为,，,和 是单变量标准正态累积概率密度函数和双变量标准正态累积概率密度函数。,对应于BSM公式。执行标准化看涨期权可以收到基础资产，而执行复合期权可以得到看涨期权。,复合期权执行价格的现值乘以时刻t资产价格大于临界资产价格的风险中性概率，也就是时刻t复合期权盈利时执行期权的预期成本。,是时刻t资产价格大于 且时刻T资产价格大于执行价格X的概率，时刻T期权要盈利，资产价格必须要跨过这两个界限。,相关系数的符号说明了，要使作为基础资产的期权在时刻T盈利，资产价格从时刻0到时刻t的变化方向与从时
18、刻t到时刻T的变化方向应该相同还是相反。对于看涨期权的看涨期权，该符号为正，因为资产价格在两区间都要增加；对于看涨期权的看跌期权为负，因为资产价格在时刻t要足够小，以便执行复合期权，而在时刻T要大于基础看涨期权的执行价格。,8.9.2 看涨期权的看跌期权,看涨期权的看跌期权：其持有人有权卖出执行价格为X、到期日为T的看涨期权，看跌期权的执行价格为c*，到期日为t。推导看涨期权的看跌期权定价公式，可以使用复合期权的看跌-看涨平价关系式。6.2.7 欧式期权看跌-看涨平价,8.9.2 看涨期权的看跌期权,同样，看涨期权的看涨期权价格减去看涨期权的看跌期权价格也等于作为基础资产的欧式看涨期权价格减去
19、执行价格的现值，即,移项得：,8.9.2 看涨期权的看跌期权,是资产价格在时刻t小于临界资产价格的风险中性概率，此时复合期权将被执行。但作为基础资产的看涨期权价值会随资产价格而增加。因此复合概率的相关系数为负。,是资产价格在时刻t小于 并在时刻T大于执行价格X的风险中性联合概率。,推公式要用单变量和双变量的累积正态分布特征：,8.9.3 看跌期权的看跌期权,看跌期权的看跌期权：其持有人有权卖出执行价格为X、到期日为T的基础看跌期权。该看跌期权的看跌期权执行价格为p*，到期日为t。在风险中性的假设下，看跌期权的看跌期权价值为,8.9.3 看跌期权的看跌期权,8.9.3 看跌期权的看跌期权,定价第
20、一步：确定时刻t可以执行期权、卖出基础看跌期权的资产价格的临界值。,知道了,欧式看跌期权的看跌期权价值为,是资产价格在时刻t小于临界资产价格（即看跌期权被执行）的风险中性概率,是资产价格在时刻t小于 并在时刻T低于执行价格X的风险中性概率。,一个例子,为什么要买复合期权？主要应用于什么时候？1.在不能确定是否需要防范风险的情况下提供风险防范的方法；2.是比直接买期权更便宜的风险保护措施；一德国公司投标美国公司的一个大型项目，投标过程要两个月。如中标，该项目将在一年后付给该公司一笔固定数额的美元。德国公司必须考虑外汇风险，因为如果投标成功后美元下跌，那么转换成德国马克后的收入可能难以弥补成本。公
21、司不能把潜在的汇率风险打入投标的报价中，这样会削弱投标竞争力。在本例中，有两种情况：1）如果该公司中标，2）如果美元下跌。情况1)下可以使用复合期权的到期日，如中标就可以执行复合期权，支付约定价格X得到载体期权。如果买入载体期权后情况2)发生(美元下跌至低于期权约定价格)，可以执行载体期权，以约定汇率卖出美元获得德国马克。复合期权的价格一般只有载体期权价格的1/4，因此只需要付出原成本的一部分就可以在投标期内防范风险。但是，如果执行了复合期权，为了获得载体期权据必须按照约定价格X购买载体期权。,8.9.4 看跌期权的看涨期权,看跌期权的看涨期权：其持有人有权买入执行价格为X、到期日为T的看跌期
22、权。看涨期权的执行价格为p*，到期日为t。利用看跌-看涨平价关系式推导其定价公式。,上式略作变换，分离出欧式看跌期权的看涨期权价值并化简，,例8-11:看跌期权的看涨期权定价,考虑一份看涨期权，其持有人有权买入S&P500指数组合的看跌期权，该看涨期权的基础资产看跌期权执行价格为1200（X），到期期限为九个月（T）。看涨期权的执行价格为40（C*），到期期限为三个月(t)。S&P500指数当前为1150(S)，年股息收益率为1%(i)，波动率为15%，无风险利率为3%(r)。第一步就是计算时刻t执行看涨期权、接受看跌期权的话，可接受的资产价格的最大临界值，该值可通过 求解，解得临界值 为12
23、10.72。,例8-11:看跌期权的看涨期权定价,下一步就是应用定价公式，得：,例8-11:看跌期权的看涨期权定价,资产价格在时刻t小于临界水平的风险中性概率 为74.44%，资产价格在时刻t小于且时刻T小于执行价格X的风险中性概率 为 53.16%。看跌期权的看涨期权类似，看跌期权的看跌期权价值为4.0866。,8.10 回顾式期权,8.10 回顾式期权,回顾式看涨期权：其持有人有权按照期末资产价格和期权有效期内资产价格最小市值的差额进行清算。回顾式看跌期权：其持有人则有权按照期权有效期内资产价格的最大值和期末资产价格的差额进行清算。因此，毫不奇怪，这些期权有时也被称为“无憾期权”。,图8-
24、10：浮动执行价格的回顾式看涨期权的期末回报Asset price资产价格；Terminal asset price期末资产价格；Exercise proceeds行权收益；Minimum asset price最小资产价格；Time时间。,8.10 回顾式期权,回顾式期权类似美式期权，因期权持有人可选择最有利的执行价格。美式期权操作下采用回顾式期权非常有利，因为不必担心会错过执行期权的最佳时间。与美式期权不同的是，回顾式期权可以利用BSM风险中性定价方法进行分解定价，原因就在于到期前执行回顾式期权是不利的。不管看涨期权有效期内执行价格可能会（资产价格）多低，总存在进一步下降的可能，因此，看涨
25、期权持有人总会推迟执行期权，希望未来执行期权可以获得更高的收入。由于回顾式期权的收益总是比标准期权高，所以回顾式期权比较昂贵（见例题），并且实际生活中很少发生能与之相匹配的风险。,8.10 回顾式看涨期权,在风险中性假设和未来资产价格服从对数正态分布的假设下，回顾式看涨期权的价值可表示为：,注意，公式头两项是执行价格等于基础资产最小值的标准化欧式看涨期权的价值，这是回顾式看涨期权的最低价值，因为资产价格可能会跌到X以下，从而带动执行价格进一步下跌。,例8-12:回顾式看涨期权的定价,计算回顾式看涨期权的初始价值，该期权持有人有权在未来三个月的任何时间买入S&P500指数。S&P500指数当前水
26、平为1050，年股息收益率为1%，波动率为20%，无风险利率为3%。因此，回顾式看涨期权的价值为：,注意，回顾式看涨期权的价格远远高于盈亏平衡时指数看涨期权。欧式看涨期权的价值（即定价公式头两项的加总）仅为44.327。,例8-12:回顾式看涨期权的定价,8.10 回顾式看跌期权,回顾式看跌期权的价值为,注意：欧式看跌期权是回顾式看跌期权的价格下限，第三项必须为正。利用例8-12中同样的参数，回顾式看跌期权价值为83.430，而作为基础资产的标准化欧式看跌期权价值为39.103。,8.10 其他回顾式期权,均价期权或亚洲期权是依据期权有效期内资产的平均价格（既可是算数平均也可是几何平均）。资产
27、的均价可作为期权的执行价格，那么看涨期权的结算价值就等于期末资产价格减去资产均价；资产均价也可作为期末资产价格，那么期权的结算价值就等于均价减去执行价格。不幸的是，大部分亚洲期权没有现成的定价公式，其定价需要采用代数方法。下一章的分析重点就是利用数值法进行期权定价。,8.11 障碍式期权,8.11 障碍式期权,障碍式期权：当基础资产价格触及约定水平时可以自动生效或终止的期权。下降则出局的看涨期权：当资产价格跌到预先约定的出局界线H以下时，看涨期权将终止（即使资产价格随后又会上升，也无法产生盈利），期权持有人可以收到现金折扣R；下降则入局的看涨期权：当资产价格在期权有效内跌到入局界线H以下时，看
28、涨期权开始生效，如果期权有效期内期权没能生效，则可收到现金折扣。由于下降则出局和下降则入局的期权都存在消失的可能性，所以它们的价格比标准期权的要低,图8-11：执行价格为100、界限价格为90的180天障碍式期权标的资产价格路径Asset price资产价格；Exercise price执行价格；Barrier界限；Days天数。,8.11 障碍式期权,注意，如果我们买入一份下降则出局的看涨期权和一份下降则入局的看涨期权，两份期权有相同的界线价格H、相同的执行价格X和相同的到期日T，且没有折扣，那么该资产组合与标准化看涨期权的或有回报一样。由于合约设定的方法很多，障碍式期权的定价问题比较繁琐。
29、一共有16个公式！,表8-1：欧式障碍式期权定价所需的定义。期权符号：X是执行价格，T是到期期限，H是界限水平，R是现金折扣量。资产符号：S是资产价格，i是资产收益率，是资产收益的波动率。另一个符号：r是无风险利率。Where其中。,8.11 下降则出局看涨期权的定价,为了说明具体的计算方法，我们将分析界限价格H小于执行价格的下降则出局看涨期权的定价。如表8-2所示，该期权价值等于表8-1中第一个公式减去第三个公式，再加上第六个公式。合并后得其中，H是资产价格的界限，低于该水平，看涨期权将终止。,8.11 障碍式期权,部分障碍式期权价格低廉但是一旦界限被突破，下降则出局的期权就不能够再防范风险了；下降则入局的期权也许永远都不能被激活。只有当使用者的策略与障碍式期权的特征相一致的时候，使用这个期权才是合理的。举个例子：假设一家英国公司计划向美国出口商品，并以美元固定了售价，销售收入3个月内收到。即期汇率为1英镑=1.5美元，三个月远期汇率为1英镑=1.489美元。英镑汇率上升会给公司带来风险，如果上升到1.6美元就会使得公司盈利不足。另外，如果英镑在任一时刻下降到1.45美元，该公司将立即卖出远期美元锁定额外利润。此时采用下降则出局期权，将界限设定在1.45美元将是最理想的方案。与标准期权相比它提供了同样的风险防范功能，且便宜的多。,Thank you!,
