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1、第四节 重积分应用举例,一、问题的提出,把定积分的元素法推广到二重积分的应用中.,若要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性(即当闭区域D分成许多小闭区域时，所求量U相应地分成许多部分量，且U等于部分量之和)，并且在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域 时，相应地部分量可近似地表示为 的形式，其中 在 内这个 称为所求量U的元素，记为，所求量的积分表达式为,二、体积,曲顶柱体的体积为：,2空间区域的体积为：,例1.求球面 与圆柱面 所围成的立体的体积.,解,由对称性，考虑第一卦限部分,。,V,。,。,。,.,a,.,a,。,。,。,。,维望尼曲线,。,。,D,1,.,例2.求半径为R的球面:与半顶
2、角为 的内接锥面所围成的立体的体积.,R,r=2R cos,.,.,M,r,=,三、曲面的面积,设曲面的方程为：,如图，,曲面S的面积元素,曲面面积公式为：,设曲面的方程为：,曲面面积公式为：,设曲面的方程为：,曲面面积公式为：,同理可得,解,解,解方程组,得两曲面的交线为圆周,在 平面上的投影域为,解,四、平面薄片的重心,当薄片是均匀的，重心称为形心(或中心).,由元素法,解,2、空间物体的重心,由元素法,当物体是均匀的，重心称为形心.,五、平面薄片的转动惯量,解,薄片对于 轴的转动惯量,薄片对于 轴的转动惯量,解,2、空间物体的转动惯量,对于 轴的转动惯量,对于 轴的转动惯量,对于 轴的转动惯量,为引力常数,六、引力1、空间物体对质点的引力,物体对点 处单位质点的引力,解,由积分区域的对称性知,解,由积分区域的对称性知,薄片对 轴上单位质点的引力,为引力常数,2、平面薄片对质点的引力,解,由积分区域的对称性知,所求引力为,几何应用：立体的体积、曲面的面积,物理应用：重心、转动惯量、对质点的引力,（注意审题，熟悉相关物理知识）,七、小结,思考题,薄片关于 轴对称,思考题解答,练 习 题,练习题答案,
