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1、工程力学 第11章,弯曲变形,中国石油大学（北京）,2,弯曲变形,3,研究范围：等直梁在对称弯曲时位移的计算。研究目的：对梁作刚度校核；解超静定梁（变形几何条件提供补充方程）。,3,概述,4,1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。用w表示。与 f 同向为正，反之为负。,转角：当纵轴向下时，横截面绕其中性轴转动的角度。用 表示，顺时针转动为正，反之为负。当纵轴向上时，横截面绕其中性轴转动的角度。用 表示，逆时针转动为正，反之为负。,二、挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。其方程为：w=f(x),三、转角与挠曲线的关系：,小变形,4,概述,5,一、挠曲线近似微分方程,式（2
2、）就是挠曲线近似微分方程。,小变形,5,梁的挠曲线近似微分方程及其积分,6,对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式：,二、求挠曲线方程（弹性曲线）,1.微分方程的积分,2.位移边界条件,6,梁的挠曲线近似微分方程及其积分,7,讨论：适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续条 件）确定。优点：使用范围广，直接求出较精确；缺点：计算较繁。,支点位移条件：,连续条件：,光滑条件：,7,梁的挠曲线近似微分方程及其积分,8,例1 求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。,建
3、立坐标系并写出弯矩方程,写出微分方程的积分并积分,应用位移边界条件求积分常数,解：,L,8,概述,9,写出弹性曲线方程并画出曲线,最大挠度及最大转角,9,梁的挠曲线近似微分方程及其积分,10,例2 解：建立坐标系并写出弯矩方程,写出微分方程的积分并积分,10,梁的挠曲线近似微分方程及其积分,11,应用位移边界条件求积分常数,11,梁的挠曲线近似微分方程及其积分,写出弹性曲线方程并画出曲线,最大挠度及最大转角,12,13,一、载荷叠加：多个载荷同时作用于结构而引起的变形 等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和。,二、结构形式叠加（逐段刚化法）：,13,按叠加原理求梁的挠度与转角,例3 按
4、叠加原理求A点转角和C点挠度。,解、载荷分解如图,由梁的简单载荷变形表，查简单载荷引起的变形。,q,P,P,=,+,A,A,A,B,B,B,C,a,a,14,q,P,P,=,+,A,A,A,B,B,B,C,a,a,叠加,15,例4 结构形式叠加（逐段刚化法)原理说明。,=,+,16,例5 车床主轴简化为等截面外伸梁，求B点转角和C点挠度,解：设想沿截面B将外伸梁分为两部分，AB为简支梁，除原有的集中载荷外，在B点作用有剪力和弯矩，如图所示，BC为悬臂梁,简支梁B点剪力作用下，没有发生变形，在原来集中载荷作用下，B点转角为：,这里假设纵坐标方向向上，也就是挠度向上为正，转角逆时针为正，简支梁在B
5、点弯矩作用下，B点转角为：,18,简支梁在原来集中力和弯矩共同作用下，B点转角为：,由这一转角引起的C点挠度为,BC悬臂梁在集中载荷作用下的挠度为：,C点实际挠度为：,按叠加原理求梁的挠度与转角,19,一、梁的刚度条件,其中称为许用转角；f/L称为许用挠跨比。通常依此条件进行如下三种刚度计算：,、校核刚度：,、设计截面尺寸；、设计载荷。,19,梁的刚度校核,例6 下图为一空心圆杆，内外径分别为：d=40mm、D=80mm，杆的E=210GPa，工程规定C点的f/L=0.00001,B点的=0.001弧度,试核此杆的刚度。,=,+,+,=,20,=,+,+,图1,图2,图3,解：结构变换，查表求
6、简单 载荷变形。,21,=,+,+,图1,图2,图3,叠加求复杂载荷下的变形,22,23,校核刚度,23,梁的刚度校核,24,一、弯曲应变能的计算：,应变能等于外力功。不计剪切应变能并略去,24,梁内的弯曲应变能,25,例7 用能量法求C点的挠度。梁为等截面直梁。,解：外力功等于应变能,在应用对称性，得：,思考：分布荷载时，可否用此法求C点位移？,25,梁内的弯曲应变能,1、处理方法：变形协调方程、物理方程与平衡方程相结合，求全部未知力。,解：建立静定基,确定超静定次数，用反力代替多余约束所得到的结构静定基。,=,A,B,26,简单超静定梁的求解方法,几何方程变形协调方程,+,=,物理方程变形
7、与力的关系,补充方程,求解其它问题（反力、应力、变形等）,27,简单超静定梁的求解方法,几何方程 变形协调方程：,解：建立静定基,=,例8 结构如图，求B点反力。,LBC,C,=,+,28,简单超静定梁的求解方法,=,LBC,C,+,物理方程变形与力的关系,补充方程,求解其它问题（反力、应力、变形等）,29,30,强度：正应力：,剪应力：,刚度：,稳定性：,都与内力和截面性质有关。,30,如何提高梁的承载能力,31,一、选择梁的合理截面,矩形木梁的合理高宽比,北宋李诫于1100年著营造法式 一书中指出:矩形木梁的合理高宽比(h/b=)1.5,英(T.Young)于1807年著自然哲学与机械技术
8、讲义 一书中指出:矩形木梁的合理高宽比 为,31,如何提高梁的承载能力,二、合理布置外力（包括支座），使 M max 尽可能小。,32,33,33,如何提高梁的承载能力,34,三、选用高强度材料，提高许用应力值,同类材料，“E”值相差不多，“jx”相差较大，故换用同类材料只能提高强度，不能提高刚度和稳定性。不同类材料，E和G都相差很多（钢E=200GPa,铜E=100GPa），故可选用不同的材料以达到提高刚度和稳定性的目的。但是，改换材料，其原料费用也会随之发生很大的改变！,34,如何提高梁的承载能力,35,35,作业刘鸿文材料力学第四版 P197习题：6.1;6.3a,c;6.4a,c;6.
9、10a;6.41,第11章 弯曲变形,36,36,第11章 弯曲变形 总结和习题,1.梁的挠曲线微分方程下面三个方程是等价,在这种方程体系中，向上的挠度为正、逆时针转角为正,在这种方程体系中，向下的挠度为正、顺时针转角为正,2.梁的刚度条件,37,37,第11章 弯曲变形 总结和习题,6.1a写出图示梁的边界条件,或者,如果竖杆不可拉伸,如果竖杆可拉伸，题目中往往给出竖杆的拉伸刚度EA,38,38,第11章 弯曲变形 总结和习题,写出图示梁的边界条件,支座B的弹簧刚度为k,39,39,第11章 弯曲变形 总结和习题,6.3a用积分法求悬臂梁的挠曲线方程以及自由端的挠度和转角，载荷如图所示，EI
10、为常数,解：按照第一种坐标系计算,40,40,第11章 弯曲变形 总结和习题,下面用边界条件确定积分常数,自由端的挠度,自由端的转角,（顺时针转动）,41,41,第11章 弯曲变形 总结和习题,解法二,自由端的挠度,自由端的转角,（顺时针转动）,42,42,第11章 弯曲变形 总结和习题,6.3c用积分法求悬臂梁的挠曲线方程以及自由端的挠度和转角，载荷如图所示，EI为常数,解:A点反力,43,43,第11章 弯曲变形 总结和习题,44,44,第11章 弯曲变形 总结和习题,由边界条件确定积分常数,当x=l时,45,45,第11章 弯曲变形 总结和习题,当x=l/2时，位移和转角保持连续性,46
11、,46,第11章 弯曲变形 总结和习题,47,47,第11章 弯曲变形 总结和习题,自由端,顺时针旋转,48,48,第11章 弯曲变形 总结和习题,6.4a用积分法求简支梁的挠曲线方程以及A、B端的转角,跨度中点的挠度和最大挠度,载荷如图所示,EI为常数,解：先求支座反力,则弯矩方程为,挠曲线方程,由边界条件确定积分常数,49,49,第11章 弯曲变形 总结和习题,A、B的转角,跨度中点的挠度,为了求挠度最大值，先求转角为零的点,挠度最大值,50,50,第11章 弯曲变形 总结和习题,6.4c用积分法求简支梁的挠曲线方程以及A、B端的转角,跨度中点的挠度和最大挠度,载荷如图所示,EI为常数,解
12、：建立坐标系，支座反力：,51,51,第11章 弯曲变形 总结和习题,当x=l时,A点转角,（顺时针转动）,B点转角,（逆时针转动）,中点挠度,转角为0时,52,52,第11章 弯曲变形 总结和习题,6.5a用积分法求悬臂梁的挠曲线方程以及自由端的挠度和转角,载荷如图所示，EI为常数,解：先求支座反力,弯矩方程,挠曲线方程,由边界条件确定积分常数,C点的挠度和转角,CB为直线段，B点转角和C点转角相等,53,53,第11章 弯曲变形 总结和习题,6.5b用积分法求悬臂梁自由端的挠度和转角，载荷和几何尺寸如图所示，EI为常数,解：先求支座反力,弯矩方程,挠曲线方程,由边界条件确定积分常数,54,
13、54,第11章 弯曲变形 总结和习题,C点的挠度和转角,CB为直线段，B点转角和C点转角相等,B点的挠度,55,55,第11章 弯曲变形 总结和习题,6.10a用叠加法求梁截面A点的挠度和截面B点的转角，EI为常数,解：查表，集中力偶作用下,在集中载荷作用下,叠加,56,56,第11章 弯曲变形 总结和习题,6.36求均布载荷作用下的三跨梁的支座反力和AC中点截面的弯矩,解：这是一次超静定问题，解除C点的约束，代替以支反力FRC,由叠加原理得到,由于对称性,AC中点截面的弯矩,57,57,第11章 弯曲变形 总结和习题,6.37用积分法分析图示超静定梁，求A点转角和中点挠度,解：这是一次超静定
14、问题，任意截面上的弯矩为,挠曲线方程为,积分得到,边界条件如下,解之得,58,58,第11章 弯曲变形 总结和习题,挠曲线方程,转角方程,A点的转角,中点的挠度,59,59,第11章 弯曲变形 总结和习题,41图示悬臂梁的抗弯刚度EI=30103Nm2，弹簧的刚度为175103N/m,梁与弹簧之间的空隙为1.25mm,当集中力F450N作用于梁的自由端时，弹簧将分担多大力？,解：建立坐标系如下图所示,假设弹簧变形量为，则距原点为x点的内力矩为：,挠曲线微分方程,60,60,第11章 弯曲变形 总结和习题,当x=0时,因此,在集中力作用点,弹簧分担的力,61,本章结束,61,62,62,匀布荷载（方向向下）作用下的简支梁弯矩图匀布荷载（方向向下）作用下的悬臂梁弯矩图中间有集中荷载（方向向下）作用下的简支梁弯矩图自由端集中荷载（方向向下）作用下的悬臂梁弯矩图,匀布荷载（方向向下）作用下的简支梁剪力图匀布荷载（方向向下）作用下的悬臂梁剪力图中间有集中荷载（方向向下）作用下的简支梁剪力图自由端集中荷载（方向向下）作用下的悬臂梁剪力图,63,剪力图,轴力图,弯矩图,64,剪力图,轴力图,弯矩图,65,剪力图,轴力图,弯矩图,
