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1、量子力学,习题,1.绪论(1/3),证明：,(1)求能量密度,(2)求极值,1.绪论(2/3),1.2 在 0 K 附近，钠的价电子能量约为 3 电子伏，求其德布罗意波长。,解：,设自由电子的动能为 E，速度远小于光速，则。根据德布罗意波长的定义，有,1.绪论(3/3),1.3 氦原子的动能是 E=3kT/2(k 为玻耳兹曼常数)，求 T=1 K 时，氦原子的德布罗意波长。,解：,设动能为 E 的氦原子的速度远小于光速，则。根据德布罗意波长的定义，有,2.波函数和薛定谔方程(1/4),2.1 证明在定态中，概率流密度与时间无关,证明：,(1)定态波函数,(2)概率流密度,概率流密度是坐标的函数
2、，不显含时间，因此与时间无关,2.波函数和薛定谔方程(2/4),解：,(1)用到的公式,(2)由,计算概率流密度,分析,与 同向：概率向外流动。与 反向：概率流向原点,-,的大小与 有关，与方位角无关：在相同径向坐标 的曲面(即球面)上，概率流密度相等,：是向外传播的球面波，是向原点传播的球面波,2.波函数和薛定谔方程(3/4),解：,(1)定态薛定谔方程,(2)解方程,归一化,能级,2.波函数和薛定谔方程(3/4),(3)分析,波函数和概率密度,：节点数=n-1,能级,2.波函数和薛定谔方程(4/4),证明：,(1)(2.6.-14)式的波函数,(2)归一化,分析：归一化常数与势阱宽度 a
3、的平方根成反比，也就是概率幅与 a 成反比。a 与粒子坐标的测量有关，1/a 与动量的测量有关；越小，表示坐标越容易测量，但动量越难测量,2.4 证明(2.6.-14)式中的归一化常数是,3.量子力学中的力学量(1/6),解：,(1)势能的期望值,(2)动能的期望值,(3)按动量的本征函数展开一维谐振子的基态,分析：,基态的动能与势能相等，各占总能量的一半；,动量越大，其概率分布越小，在零附近的概率最大,3.量子力学中的力学量(2/6),解：,(0)波函数正交归一化,，令,(1)r 的期望值,(2)势能 的期望值,3.量子力学中的力学量(3/6),(3)最可几的半径,(4)动能的期望值,(5)
4、动量的概率分布函数,分析：,最可几的半径对应势能的期望值,基态能级=动能的期望值+势能期望值,最可几的半径不等于半径的期望值,最可几的动量不对应动能的期望值,3.量子力学中的力学量(4/6),解：,(1)确定未知常数 A,(2)平均动量,(3)平均动能,分析：,由箱归一化得到未知常数，然后具体分析中令箱长趋于无限大,；对称一维波函数的平均动量为零，平均动能不为零,3.量子力学中的力学量(5/6),3.6 的另一解法，利用,解：,(1)求 y(x)的复数形式,(2)求,(3)求,(4)求,3.量子力学中的力学量(6/6),3.11 求第3.6题中粒子位置和动量的测不准关系,解：,(1)坐标的期望值,(2)坐标平方的期望值,(3)测不准关系,分析：,由箱归一化得到未知常数，然后具体分析中令箱长趋于无限大,；对称一维波函数的坐标期望值为零，坐标平方的期望值不为零,；自由粒子的测不准关系为无限大,
