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1、金融经济学之二 个体的风险态度及其度量,武汉大学经济与管理学院 潘敏,本章教学目的和要求,1.了解和掌握如何界定不确定条件下不同经济行为主体风险态度的类型；2.掌握三种不同风险态度的经济行为主体效用函数的性质；3.掌握确定性等价和风险溢价的含义及其计算方法；4.从定义和性质等各方面区分绝对风险厌恶度量和相对风险厌恶度量；5.掌握具有线性风险容忍系数的几个效用函数的,形式及其性质；6.了解不同随机占优的假设及其充分必要条件。,一、风险态度,1.问题的提出 现实观察：经济行为主体对待风险的态度是存在差异的。热衷冒险的人会在等待不确定性结果中获得刺激而兴奋不已；大多数的行为主体则认为风险是一种折磨，
2、尽可能地回避风险；而另一些人对风险可能采取一种无所谓的态度。如何通过效用函数描述不同经济主体对待风险的态度？,通常可以从两个方面来刻画：（1）观察经济行为主体面对公平博彩时的行为选择，即是愿意确定性地接受一个公平博彩的期望价值还是宁愿接受这个博彩本身及其不确定性的结果。（2）经济行为主体愿意付出多少价值来避免蕴含在这个博彩中的风险。或者说，让经济行为主体参与这个博彩行为需要多少风险溢价补偿。,2.公平博彩（Fair Game）公平博彩是指不改变个体当前期望收益的赌局，如一个博彩的随机收益为，其期望收益为，我们就称其为公平博彩。当然，既然是博彩，通常隐含地假设其收益的方差大于零，即其收益不会是确
3、定值零。或者公平博彩是指一个博彩结果的预期收益只应当和入局费相等的博彩。,我们将满足下式的博彩，称为一个公平博彩：,3.风险态度的描述 公平博彩不改变个体原来的期望收益，但它提供了个体增加或减少原来收入的机会。风险厌恶者：如果经济主体拒绝接受公平博彩，这说明该个体在确定性收益和博彩之间更偏好确定性收益，我们称该主体为风险厌恶者。风险偏好者：如果一个经济主体在任何时候都愿意接受公平博彩，则称该主体为风险偏好者。,定义：u是经济主体的VNM效用函数，W为个体的初始禀赋，如果对于任何满足 的随机变量，有,则称个体是（严格）风险厌恶（risk aversion）；如果上述不等号方向相反，则称个体是风险
4、偏好（risk loving）；如果两边相等，则称个体是风险中性（neutral）。,对于一个具有效用函数为U和初始禀赋为W的经济主体，如果他不参加博彩，则其效用为U（W）。如果他愿意参加博彩，则他有p的概率消费，1-p的概率获得，因此，他的期望效用为 根据我们对风险厌恶者的定义，对于一个风险厌恶的经济主体而言，我们有：,由于 所以，上述不等式可改写为：即：,这表明，风险厌恶的经济主体偏好未来收益分布的期望值，而不是未来收益分布本身。即对于风险厌恶的经济主体而言，确定性收益（数学期望值）的效用大于效用的期望值。基于这一性质，我们认为，风险厌恶者的效用函数为凹函数。,U(x),同样地，我们可以得
5、到风险偏好者和风险中性者的效用函数的特征。对于风险偏好者而言，我们有：且其效用函数为凸函数。,x,风险偏好者的效用函数,B,A,C,U(x),对于风险中性者而言，我们有 其效用函数为线性效用函数。,x,U(x),4.效用函数的凸凹性的局部性质 经济行为主体效用函数的凸凹性实际上是一种局部性质。即一个经济主体可以在某些情况下是风险厌恶者，在另一种情况下是风险偏好者。弗里德曼-萨维奇（1948）解释了这种现象。他们认为，效用函数是几个不同的部分组成。在人们财富较少时，部分投资者是风险,厌恶的；随着财富的增加，投资者对风险有些漠不关心；而在较高财富水平阶段，投资者则显示出风险偏好。,二、风险厌恶的度
6、量,1.确定性等价值与风险溢价 确定性等价值（certainty equivalence）是指经济行为主体对于某一博彩行为的支付意愿。即与某一博彩行为的期望效用所对应的数学期望值（财富价值）。风险溢价（risk premium）是指风险厌恶者为避免承担风险而愿意放弃的投资收益。或让一个风险厌恶的投资者参与一项博彩所必需获得的风险补偿。,即如果个体为回避一项公平博彩而愿意放弃的收益为，则我们有：这里，为公平博彩的随机收益（即报酬的微小增量），W为初始禀赋，被称之为马科维兹风险溢价。其值越大表明经济主体风险厌恶的程度越高。而W-为确定性等价收益。,2.风险厌恶系数 对于风险很小的公平博彩行为，也即
7、预期收益为0且预期收益的方差很小的博彩行为，如果效用函数是二次连续可微的，我们可对上述等式的两边在W做泰勒级数展开。这里，Re为高阶余项，由于是风险很小的公平博彩，所以，Re可省略。由此，我们可以得到,由风险溢价的定义可得：上式的右边由两个部分构成：是体现个体偏好的因素，而Var()则是公平博彩随机收益的方差，体现不确定性风险。将随具体博彩的因素除去，留,下仅反映个体主观因素的部分，我们可以得到一个比风险溢价更为一般的风险厌恶侧度指标：经济学家普拉特（Pratt,1964）和阿罗（Arrow,1970）分别证明了在一定的假设条件下，反映经济主体的效用函数特征的 可以用来度量经济主体的风险厌恶程
8、度。,因此，我们将 称为经济主体的阿罗-普拉特绝对风险厌恶系数（Arrow-Pratt absolute aversion）在金融理论中，我们时常需要相对测度量，如证券投资者关心的一般不是以多大的概率获得多少绝对收益，而是以多大概率获得百分之几的收益。相应地，我们可以推导出个体的相对风险测度。事实上，要得到相对意义上的风险溢价，只需要将绝对风险厌恶系数的两边除以个体的初始禀赋即可：,Var（/W）是公平博彩相对收益的方差，另一部分 称为个体的阿罗-普拉特相对风险厌恶系数（Arrow-pratt relative aversion）。,同样地，我们定义阿罗-普拉特绝对风险厌恶系数的倒数为个体的风
9、险容忍系数（risk tolerance），即 T（W）越大表示个体能够容忍的风险越大，反之则反。,三、风险厌恶度量的性质,绝对风险厌恶系数主要考察在初始财富相同的条件下，具有不同风险厌恶程度的经济主体的对风险资产投资行为的特点。而相对风险厌恶系数，则主要考察经济行为主体随个人财富或消费收益的变化，对风险资产投资行为的变化。,1.相同财富水平下的经济主体风险厌恶的度量 对于具有相同财富水平的经济主体，我们可以用三种不同的方法来比较两者之间的风险厌恶程度：（1）绝对风险厌恶度量 对于任意给定的初始财富水平W，如果下式成立，则表明经济主体i比经济主体j更加厌恶风险：,（2）风险溢价度量 对于任意给
10、定的初始财富水平W，为避免相同的风险，如果经济主体i比经济主体j需要更多的风险溢价补偿，则经济主体i比经济主体j更厌恶风险：（3）效用函数的曲率 从几何上看，绝对风险厌恶系数代表了效用函数的曲率（弯曲程度），如果经济主体i较经济主体更加厌恶风险，,则表明，经济主体i有比经济行为主体j更加凹的效用函数。更确切地讲，经济行为主体i的效用函数是经济行为主体j的效用函数 的一个凹变换，即存在一个递增的、严格凹的函数G()，使得对于任意的W都成立。,（4）普拉特定理 假设 是两个二次可微、严格单调递增的效用函数，则以下三种表述是等价的：对所有的W，有；存在一个严格单调递增和严格凹的二阶可微函数G()，使
11、得；任何公平博彩对经济主体i的风险溢价较经济主体j的风险溢价高，即,2.风险厌恶与财富水平 在经济主体的财富水平发生变化时，仅仅区别投资者的风险态度是不够的，还需要考察经济行为主体随个人初始财富水平的变化而对风险资产投资数量的变化。即考察投资者是将风险资产看着是正常品还是劣等品。,（1）定义 如果经济主体的绝对风险厌恶系数 是严格递减的函数，即，则这类经济行为主体是递减绝对风险厌恶的；类似地，如果，则称这类经济主体为递增绝对风险厌恶的。如果则称这类经济行为主体是常数绝对风险厌恶的。,（2）阿罗-普拉特定理 对于递减绝对风险厌恶的经济主体，随着初始财富的增加，其对风险资产的投资逐渐增加，即他视风
12、险资产为正常品；对于递增绝对风险厌恶的经济主体，随着初始财富的增加，他对风险资产的投资减少，即他视风险资产为劣等品；对于常数绝对风险厌恶的经济行为主体，他对风险资产的需求与其初始财富的变化无关。,（3）相对风险厌恶的性质定理 对于递增相对风险厌恶的经济主体，其风险资产的财富需求弹性小于1（即随着财富的增加，投资于风险资产的财富相对于总财富增加的比例下降）；对于递减相对风险厌恶的经济行为主体，风险资产的财富需求弹性大于1；对于常数风险厌恶的经济行为主体，风险资产的需求弹性等于1。对于在时期0具有初始财富W的经济主体，设为他的风险资产需求弹性，则有：,四、几种常用的效用函数,金融经济学理论有时需要
13、对个体的偏好做出某种假设。其中，常用的一个假设是个体具有线性的风险容忍系数（linear risk tolerance），满足这一假设的VNM效用函数具有LRT形式：在这种形式下，容易验证个体的风险容忍系数为其初始财富的线性函数。,从上式可以看出，个体的风险容忍系数与初始财富呈现性关系。在上式中，当1时，个体的风险容忍系数随财富的增加而减少；当1时，个体的风险容忍系数随财富的增加而增加。另外，由于该函数的绝对风险厌恶系数为,为一条双曲线，所以，这一效用函数也成为双曲线绝对风险厌恶效用函数（hyperbolic absolute risk aversion，HARA)。,LRT效用函数是一个函数
14、族，在不同的参数下，将呈现出不同的形式：（1）（2）,（3）（4）,（5）,不同函数的性质（1）二次效用函数 拥有这种效用函数的个体在投资风险资产时只考虑资产的期望收益和方差，依此为基础资本资产定价模型得到了风险资产定价的线性表达式。但二次函数作为效用函数存在局限性：超过一定的财富水平后，个体收入的边际效用为负值。对前述（2）中的二次函数中的财富W求导：,因此，只有W在0，1/b时，个体的边际效用才会大于零。该函数的A-P绝对风险厌恶系数为：对W求导，,这表明，二次效用函数个体的绝对风险厌恶系数是其财富的单调递增函数，财富越多，个体的风险厌恶越强。（2）负指数效用函数 如果个体的效用函数为负指
15、数效用函数，则他对风险的厌恶程度与收入无关。因为，其绝对风险厌恶系数为常数：这种个体在风险资产上的投资量不受其收入水平的影响。,（3）幂函数效用函数的性质 幂函数效用函数的相对风险厌恶系数为常数。（4）对数函数效用函数的性质 对数效用函数的个体的相对风险厌恶系数也为常数，且等于1。（具体计算，各人自己完成）,五、随机占优,1.问题的提出 设 为我们考虑的消费计划集合，消费计划是一个随机变量。同样地，我们可以设J是我们考虑的证券市场上的风险证券的集合，证券jJ有一个随机未来收益。在人们所拥有的信息只是知道经济行为主体非饱和或风险厌恶的情况下，人们在什么样的条件下可以确定地认为，某一经济行为主体偏
16、好某一,消费计划而放弃另一种消费计划，或者偏好某一风险证券而放弃另一风险证券？随机占优（stochastic dominance）可以用于比较消费计划集合中或者证券市场上风险证券集合中任意两个元素的风险程度。但是，这个概念并不同于我们比较任何两种消费计划或任何两个风险证券本身，因为它在消费计划集合或风险证券集合中并没有定义一个完全的顺序关系。,2.一阶随机占优（A first degree stochastic dominates）假设存在这样的一群经济行为主体，他们对于财富或消费的效用函数是连续的增函数，如果所有这些行为主体对于风险资产A和B的选择都是选择A而放弃B或者觉得A与B无差异，那么
17、，我们可以认为，风险资产A一阶随机占优于风险资产B.我们用 来表示A一阶随机占优于B。,即对于任何给定的收益率水平，风险资产A的收益率大于这个给定水平的概率至少要同风险资产B的收益率超过同样水平的概率一样大。这样，任何非饱和的经济行为主体将会选择A而非B。假定风险资产A和B的未来收益率落在区间0，1中。令 分别代表风险资产A和风险资产B的收益率的累积分布函数。如果,成立，则风险资产A一阶随机占优风险资产B。即对于任意一个给定的收益率x，风险资产A的收益率小于等于x的概率比风险资产B的概率小。或者说，风险资产A的收益率大于x的概率比风险资产B的收益率大于x的概率大。设u()为任意的一个连续的递增
18、效用函数，同时不失一般性，假设经济主体有一个单位的初始财富。如果经济主体在风险证券A和B上投资，,则上述不等式意味着：成立。,一阶随机占优的另一个特点是，如果风险资产A在未来收益率的分布上等于风险资产B的未来收益分布加上一个正值的随机变量，那么，所有具有增效用函数的经济主体将会选择A而放弃B，因为，对于所有增函数的u()存在着,即：如果，那么，就存在一个正的随机变量 使得：成立。其中 表示等式左边在分布上等于右边。也即，等式左边的随机变量与等式右边定义的随机变量取相同值的概率是相同的。,所以，一阶随机占优反映的是两个风险资产收益率，特别是期望收益的占优。其收益率分布满足的条件为下列叙述是等价的
19、：,3.二阶随机占优（A second degree stochastic dominates）对于风险厌恶的经济行为主体，如果他对风险资产A和风险资产B的选择是选择A而放弃B或者觉得A和B无差异，那么，我们就认为，资产A二阶随机占优于证券B。我们用 表示。其充分必要条件是,条件三意味着，风险资产B的未来收益在分布上等于风险资产A的未来收益加上一个随机干扰项。上述分析表明，二阶随机占优是相对于两个期望收益率相等的风险资产的风险比较。,4.二阶单调随机占优 如果所有非饱和的风险厌恶经济主体都选择风险证券A而放弃风险证券B，则我们称风险证券A二阶单调随机占优风险证券B，我们用 表示。其充分必要条件为：,
