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1、第三章 均方微积分,3.1 随机变量序列的均方极限,3.2 随机过程的均方连续性,3.3 随机过程的均方导数与均方积分,3.1 随机变量序列的均方极限,回顾数列的极限：实际上是指当 无限增大时，与 的距离 无限趋近于0.,2,问题：可否类似地给出随机变量序列 的“极限”？,答：可以！关键在于确定随机变量序列中任意 与随机变量 的“距离”.,3,定义,设随机变量序列 和随机变量 的二阶矩有限，即，若有，则称 均方收敛于，并称 为 的均方极限，记作 或 其中是英文Limit in mean square的缩写.,若以 作为 与 的“距离”，可验证它满足线性空间中的距离定义,4,例1,设 为随机变量
2、序列，其中 满足，验证 均方收敛于0.,证明,故而，当,5,问题：随机变量序列的均方收敛与大数定律 中所涉及的依概率收敛相比，两种收敛 性孰强孰弱？,答：均方收敛性强于依概率收敛！,例2,设 为随机变量序列，其中 满足，问：为何值时，均方收敛于0？,解：故 时，均方收敛于0.,均方极限的性质,（1）若，则；,6,已知,要证,分析,关系,均方极限的性质,（1）若，则；,（2）若，则；,7,已知,要证,分析,关系,Cauchy-Schwartz不等式,均方极限的性质,（1）若，则；,（2）若，则；,（3）若，则对任意常数 和，有；,8,已知,要证,分析,关系,均方极限的性质,（1）若，则；,（2）
3、若，则；,（3）若，则对任意常数 和，有；,（4）若数列 满足，是随机变量，则；,9,已知,要证,分析,关系,均方极限的性质,（1）若，则；,（2）若，则；,（3）若，则对任意常数 和，有；,（4）若数列 满足，是随机变量，则；,（5）若，则,10,均方极限的唯一性,3.2 随机过程的均方连续性,定义1,设 为二阶矩过程，随机变量 的二阶矩有限，若则称 在 处均方收敛于，并称 为 的在 时刻的均方极限，记作.,定义2,如二阶矩过程 满足，对，若则称 在 处均方连续；若 在每一点 处都是均方连续的，则称在 上均方连续.,11,3.3 随机过程的均方导数与均方积分,定义1,若随机过程 在 处的下述
4、均方极限 存在，则称此极限为 在 处的均方导数，记为 或，此时亦称 在 处均方可导.,一、均方导数,1、均方导数的定义,注：若 在 的每一点 处均方可导，则称 在 上均方可导或可微，此时均方导数记为 或，是一个新的随机过程。,12,例,求随机过程 的均方导数，其中 是一随机变量.,13,解,从形式上，易知对 t 求导后，,下面验证：,满足定义，所以,时，,（1）若 在 均方可导，则对任意常数 和，有,2、均方导数的性质,（2）的均方导数 的均值函数是,14,验证,（1）若 在 均方可导，则对任意常数 和，有,2、均方导数的性质,（2）的均方导数 的均值函数是,（3）的均方导数 的相关函数是,1
5、5,（4）若 X 是随机变量，则,16,3、均方导数与自（互）相关函数关系,设实二阶矩过程 均方可微，自相关函数为，则，都存在，且有,验证,17,3、均方导数与自（互）相关函数关系,设实二阶矩过程 均方可微，自相关函数为，则，都存在，且有,定义2,设随机过程，为任意普通函数：,二、均方积分,1、均方积分的定义,18,(1)分割T=a,b。将a,b分成n个子区间，分点为，而,(2)作和式其中,特别地，若 时，即有,(3)如果在 时，均方收敛于（此极限不依赖于分点与 的取法），则称 在 上均方可积，并称 的均方极限 为 在 上的均方积分，记为,19,性质设 在 上均方可积，则有,20,应用,若,则,2、均方积分的性质,
