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1、第12章随机过程及其统计描述,教材：盛骤等概率论与数理统计(第四版)制作、讲授：安师大 朱仁贵（）,2,目录,(一)随机过程的分布函数族,12.1 随机过程的概念,12.2 随机过程的统计描述,12.3 泊松过程及维纳过程,(二)随机过程的数字特征,(三)二维随机过程的分布函数和数字特征,正态随机过程的概念,3,12.1 随机过程的概念,对热噪声电压的重复观测,一个实例：热噪声电压,4,(2)在一段时间内，其样本空间在随时间变化，其分布也随时间变化,12.1 随机过程的概念,5,参数t 通常就是时间变量；也可以不是时间，但可以当作时间变量看待,12.1 随机过程的概念,6,随机过程：,12.1
2、 随机过程的概念,7,随机过程举例,样本曲线,无论是在某时刻t进行观测还是全程连续观测，结果都有投币试验决定.,12.1 随机过程的概念,8,随机过程举例,X对Y和t的依赖，决定了X是一个随机过程.确定了Y之后，即可确定任意时刻和全程的观测结果.,任意时刻下，观测目的是X取什么值；全程的情况下，观测目的是X(t)的函数形式.,12.1 随机过程的概念,9,随机过程举例,当 在 内随机的取一个值，可得样本函数：,12.1 随机过程的概念,10,随机过程举例,12.1 随机过程的概念,11,随机过程的分类,按状态或参数的离散与否进行分类,也可以按不同时刻的状态之间的统计依赖关系进行分类,12.1
3、随机过程的概念,12,12.2 随机过程的统计描述,给定随机过程,对于每一个固定的，随机变量 的分布函数一般与t有关，记为,称为随机过程 的一维分布函数,而 称为一维分布函数族。,(一)随机过程的分布函数族,称为n维分布函数族,13,(二)随机过程的数字特征,12.2 随机过程的统计描述,14,方差函数,标准差函数,表示t时刻X(t)取值偏离对于均值 的平均偏离程度。,均方值函数,(二)随机过程的数字特征,12.2 随机过程的统计描述,15,(自)相关函数,相关函数和协方差函数用以描述随机过程自身在两个不同时刻的状态之间的统计依赖关系。,(二)随机过程的数字特征,12.2 随机过程的统计描述,
4、16,数字特征之间的关系,可见，均值函数和相关函数可被看作是最主要的两个数字特征。刻画了随机过程的主要统计特性。,二阶矩过程的概念,如果对每一个，随机过程 的二阶矩 都存在，则称它为二阶矩过程。,二阶矩过程的相关函数总存在。(只要证明相关函数是收敛的即可),(二)随机过程的数字特征,12.2 随机过程的统计描述,17,A,B相互独立,解：根据均值函数和自相关函数的定义、利用期望的性质，可得,均值函数,自相关函数,(二)随机过程的数字特征,12.2 随机过程的统计描述,18,解：的概率密度,利用随机变量函数期望的计算方法可得,均值函数,(二)随机过程的数字特征,12.2 随机过程的统计描述,19
5、,自相关函数,方差函数,(二)随机过程的数字特征,12.2 随机过程的统计描述,20,若随机过程 的每一个有限维分布都是正态分布，亦即对任意整数n1及任意,服从n维正态分布，则该随机过程称为正态随机过程.,故X(t)是正态过程。,(二)随机过程的数字特征,12.2 随机过程的统计描述,21,由题意可知：,同理,(二)随机过程的数字特征,12.2 随机过程的统计描述,22,(三)二维随机过程的分布函数和数字特征,12.2 随机过程的统计描述,23,互相关函数,互协方差函数,(三)二维随机过程的分布函数和数字特征,12.2 随机过程的统计描述,仍指的是线性不相关,24,三个随机过程的和,均值函数,
6、自相关函数,(三)二维随机过程的分布函数和数字特征,12.2 随机过程的统计描述,25,12.3 泊松过程及维纳过程,独立增量过程的概念,独立增量过程的概念,齐次的(或称时齐的)独立增量过程的概念,对任意实数h,若增量 与 具有相同的分布，则称增量具有平稳性。这样的独立增量过程称为齐次的或时齐的。,即在互不重叠的区间上，状态的增量是相互独立的。,26,12.3 泊松过程及维纳过程,独立增量过程的协方差函数,27,独立增量过程的协方差函数,令,，则有如下结论：,若X(t)是独立增量过程，且X(0)=0,则X(t)的协方差函数为,12.3 泊松过程及维纳过程,28,(一)泊松过程,时间轴上的随机质
7、点流,随着时间推移，迟早会重复出现的事件,烟花制造厂发生火灾,相邻两次发生的时间间隔 是随机的。,时间轴上的许多质点构成随机质点流。,12.3 泊松过程及维纳过程,29,计数过程的概念,考察时间轴上的随机质点流，以 表示在时间间隔 内出现的质点数。,是一个状态取非负整数、时间连续的随机过程(即离散型的、连续参数的随机过程)，称为计数过程。,计数过程的一个典型的样本函数,(一)泊松过程,12.3 泊松过程及维纳过程,30,泊松过程的概念,泊松过程是满足一定条件的计数过程。,(一)泊松过程,12.3 泊松过程及维纳过程,31,增量 的分布律,只与时间差 有关，故泊松过程是齐次的独立增量过程。,令，
8、就得到N(t)的分布律。,(一)泊松过程,12.3 泊松过程及维纳过程,32,泊松过程概念的另一种等价表述,(一)泊松过程,12.3 泊松过程及维纳过程,33,泊松过程的数字特征,根据泊松分布的数字特征可知,(一)泊松过程,12.3 泊松过程及维纳过程,34,非齐次泊松过程,强度 是时间t的函数：,均值函数,相关函数,(一)泊松过程,12.3 泊松过程及维纳过程,35,等待时间和点间间距的概念,泊松过程 的泊松流：,令初始时刻,(一)泊松过程,12.3 泊松过程及维纳过程,36,等待时间 的分布,概率密度,(一)泊松过程,12.3 泊松过程及维纳过程,37,点间间距 的分布,分布函数,概率密度
9、,服从指数分布，且与i无关。,(一)泊松过程,12.3 泊松过程及维纳过程,38,关于点间间距的两个定理,可用作泊松过程的判据,(一)泊松过程,12.3 泊松过程及维纳过程,39,(二)维纳过程,12.3 泊松过程及维纳过程,维纳过程的概念,给定二阶矩过程，如果它满足：,(1)具有独立增量；,(2)对任意，增量,(3)W(0)=0,则称此过程为维纳过程。,微粒的位移可看作许多微小位移的代数和,微粒的运动由液体分子的不规则运动引起。,样本曲线,典型实例：做布朗运动微粒的横坐标(或纵坐标)记为,40,维纳过程的数字特征,方差函数：,自协方差函数(自相关函数),，,(二)维纳过程,12.3 泊松过程及维纳过程,41,第12章 随机过程及其统计描述,结束,42,复习要点,1.随机过程的概念,3.独立增量过程的概念,2.随机过程的样本曲线和状态空间的概念,
