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1、第一章复习内容,一、期望和方差,1期望,设离散型随机变量X的分布律为,则,设连续型随机变量X的概率密度为，,则,函数期望,当 X为离散型随机变量,则,当X为连续型随机变量，,则,2.方差,计算方差时通常用下列关系式：,称随机变量 的期望为X的方差，即,3性质,（1）,（2）,（3）若X和Y相互独立，则,计算协方差时通常用下列关系式：,二、协方差,三、矩母函数,1定义,为X的矩母函数,2原点矩的求法,称 的数学期望,利用矩母函数可求得X的各阶矩，即对 逐次求导并计算在 点的值：,3和的矩母函数,定理1,设相互独立的随机变量 的矩母函数分别为，,两个相互独立的随机变量之和的矩母函数等于它们的矩母函
2、数之积.,四、特征函数,特征函数,设X为随机变量，称复随机变量 的数学期望,为X的特征函数，其中t是实数。,还可写成,特征函数与分布函数相互唯一确定。,性质,则和,设相互独立的随机变量 的 特征函数分别为，,的特征函数为,两个相互独立的随机变量之和的特征函数等于它们的特征函数之积.,练习:设随机变量X的概率密度函数为,试求X的矩母函数。,解：,练习,解,由于,所以,设随机变量X服从参数为 的泊松分布，求X的特征函数。,条件分布函数与条件期望,离散型,若，则称,为在条件 下，随机变量Y的条件分布律。,为在条件 下，随机变量X的条件分布律。,同样,1、条件分布函数的定义,连续型,同样,称为在条件
3、下，随机变量X的条件分布律。,称为在条件 下，随机变量Y的条件分布律。,注意：分母不等于0,2、条件期望的定义,离散型,其中,连续型,3、全数学期望公式,定理,对一切随机变量X和Y，有,连续型,是随机变量Y的函数，当 时取值因而它也是随机变量。,离散型,设二维随机向量（X，Y）的联合概率密度为,解：,练习:,练习:对于随机变量X和Y，满足条件,则有,练习:若随机变量X和Y相互独立，满足条件,则有,一矿工困在矿井中，要到达安全地带，有三个通道可选择，他从第一个通道出去要走1个小时可到达安全地带，从第二个通道出去要走2个小时又返回原处，从第三个通道出去要走3个小时也返回原处。设任一时刻都等可能地选
4、中其中一个通道，试问他到达安全地点平均要花多长时间。,练习,解,设X表示矿工到达安全地点所需时间，Y 表示他选定的通道，则,所以,第二章复习内容,随机过程的分类,T离散、I离散,T离散、I连续,参数T状态I分类,T连续、I离散,T连续、I连续,Poisson过程是参数 状态 的随机过程.,Brown运动是参数 状态 的随机过程.,离散,连续,连续,连续,练习,袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t对应随机变量,试求这个随机过程的一维分布函数族。,分析,先求 的概率分布,所以,解,随机过程的数字特征,2方差函数,1均值函数,3协方差函数,注,4自相关函
5、数,注,5互协方差函数,6互相关函数,练习,解,求:(1)均值函数;(2)协方差函数;(3)方差函数。,（1）,（2）,（3）,练习,解,试求它们的互协方差函数。,所以,1.严平稳过程,定义1,则 称为严平稳过程,严平稳过程的有限维分布关于时间是平移不变的.,2.宽平稳过程,定义2,如果它满足：,则称 为宽平稳过程，,简称平稳过程,因为,均值函数,注:(3)可等价描述为:,注2,注1,严平稳过程不一定是宽平稳过程。,因为严平稳过程不一定是二阶矩过程。若严平稳过程存在二阶矩，则它一定是宽平稳过程。,宽平稳过程也不一定是严平稳过程。,因为宽平稳过程只保证一阶矩和二阶矩不随时间推移而改变，这当然不能
6、保证其有穷维分布不随时间而推移。,性质1,平稳过程相关函数的性质,(1)自相关函数的性质,性质2,性质3,(2)协方差函数的性质,性质2,性质3,性质1,练习,解:,的随机变量序列,则,令,练习,独立增量过程,时齐的,定义,第三章复习内容,定义,定义的等价定义,显见Poisson过程本身不是平稳过程，其增量是平稳过程。,解:,练习:,设N(t)是参数为 的Poisson过程,事件发生时刻 在已知N(t)=2的条件下的联合概率密度为_.,练习:,重要结论,解:,没被维修过的概率,练习:,维修过一次的概率,例1,解,设顾客到达某商场的过程是泊松过程,已知平均每小时有30人到达,求下列事件的概率:两
7、个顾客相继到达的时间间隔:(1)超过2分钟;(2)在1分钟到3分钟之间.,若以分钟为单位,顾客到达数是强度为 的泊松过程.则顾客到达的时间间隔 服从参数为 的指数分布,其密度函数为,故,例2：一理发师在t=0时开门营业,设顾客按强度为,的泊松过程到达.若每个顾客理发需要a分钟,a是正,常数.求第二个顾客到达后不需等待就马上理发的,概率及到达后等待时间S的平均值.,解：设第一个顾客的到达时间为T1，第二个顾客的,到达时间为T2。令X2=T2-T1，则第二个顾客到达,后不需等待等价于 X2a。由定理知X2服从参数为,的指数分布，故,等待时间,考虑一特定保险公司的全部赔偿，设在0,t 内投保死亡的人
8、数N(t)是发生率为 的泊松过程。设 是第n个投保人的赔偿价值，独立同分布。,表示0,t 内保险公司必须付出的,全部赔偿。,练习:,解：,第四章 更新过程,1.更新过程的定义 设Xn,n1是独立同分布的非负随机变量，分布函数为F(x)，且F(0)1，令,记,称N(t),t0更新过程。,2、更新函数 令M(t)=EN(t)，称M(t)为更新函数。,Theorem：,3.更新方程 设M(t)为更新函数，其导数称为更新密度，记为m(t)，则,其中 是 的密度函数。,定义（更新方程）如下形式的积分方程称为更新方程,其中H(t)，F(t)为已知，且当t0时，H(t)，F(t)均为0，当H(t)在任何区间
9、上有界时称此方程为适定更新方程，简称更新方程。,更新方程的解 定理：设更新方程中H(t)为有界函数，则方程存在惟一的在有限区间内有界的解,更新定理,1、初等更新定理,设，则,2、布莱克威尔(Blackwell)定理设F(x)为非负随机变量X的分布函数,(1)若F(x)不是格点的，则对任意的a0，有,(2)若F(x)是格点的，周期为d，则,P在nd处发生更新,容易看出，初等更新定理是Blackwell定理的特殊情况。,记，设h(t)0满足(1)h(t)非负不增；(2)。H(t)是更新方程,的解。那么（1）若F(x)不是格点的,3、关键更新定理,（2）若F(x)是格点的，对于,注：关键更新定理与布
10、莱克威尔(Blackwell)定理是等价性的,第五章复习内容,马尔可夫性即无后效性.,状态的分类及性质是重点,互通,类,不可约,周期等概念.,状态i,非常返,常返,正常返,零常返,平稳分布与极限分布(重点),研究状态的关系(重点),练习：设马氏链的状态空间为1,2,一步转移矩阵为,解:,练习：设马氏链的状态空间为1,2,一步转移矩阵为,解:,状态转移图如右:,两状态互通，周期为1，故对于不可约的有限马氏链是正常返的.,练习：设马氏链的状态空间为1,2,一步转移矩阵为,解:,显然,此链具有遍历性。,由,解得,练习：设马氏链的状态空间为1,2,3,一步转移矩阵为,解:,练习：设马氏链的状态空间为1
11、,2,3,一步转移矩阵为,解:,(2),经两步转移后处于状态3的概率为,设马氏链的状态空间为1,2,3,4,一步转移矩阵为,试研究其状态关系.,解:状态转移图如下:,练习,故状态1与2都是正常返状态,又因周期都是1,故都为遍历状态.,故状态3是非常返状态.,故状态4是吸收状态.,练习,设马氏链的状态空间为1,2,一步转移矩阵为,解：,练习,设马氏链的状态空间为1,2,一步转移矩阵为,解:,第六章复习内容,了解上鞅,下鞅,鞅的定义,、上鞅,上鞅,、下鞅,下鞅,上鞅 下鞅,上鞅,下鞅 上鞅,下鞅,下鞅,上鞅,练习:,第七章复习内容,Brown运动的定义,(1),(2),(3),(4),(5),(6),(7),(8),(9),解:,练习,重要结论,Brown运动具有Markov性,Brown桥的定义,原定反射的Brown运动的定义,几何Brown运动的定义,有漂移的Brown运动的定义,练习:计算Brown桥的均值,方差,协方差函数.,解:,利用标准布朗运动的矩母函数,计算几何布朗运动,的均值函数与方差函数.,练习:,解:,练习:计算有漂移的Brown运动的均值,方差,协方差函数.,解:,有漂移的Brown运动,
