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1、,第三节,高阶导数,第三章,高阶导数的概念,速度,即,加速度,即,引例：变速直线运动,定义.,若函数,的导数,可导,或,即,或,类似地,二阶导数的导数称为三阶导数,阶导数的导数称为 n 阶导数,或,的二阶导数,记作,的导数为,依次类推,分别记作,则称,设,求,解:,依次类推,例1.,思考:设,问,可得,例2.设,求,解:,特别有:,解:,规定 0!=1,思考:,例3.设,求,例4.设,求,解:,一般地,类似可证:,例5,解,一般地,类似可得,例6,解,因为,所以,例7,解,一般地,例8,解,利用例7的结果可得,例9,解,利用例7的结果可得,例9.设,解:,例10.设,求使,存在的最高,分析:,
2、但是,不存在.,2,又,阶数,规律,高阶导数的运算法则,都有 n 阶导数,则,(C为常数),莱布尼茨(Leibniz)公式,规律,规律,用数学归纳法可证,例11.,求,解:设,则,代入莱布尼茨公式,得,例12.设,求,解:,即,用莱布尼茨公式求 n 阶导数,令,得,由,得,即,由,得,第四节,一、隐函数的导数,二、由参数方程确定的函数的导数,三、相关变化率,隐函数和参数方程确定的函数的导数,第三章,一、隐函数的导数,若由方程,可确定 y 是 x 的函数,由,表示的函数,称为显函数.,例如,可确定显函数,可确定 y 是 x 的函数,但此隐函数不能显化.,函数为隐函数.,则称此,隐函数求导方法:,
3、两边对 x 求导(注意 y=y(x),(含导数 的方程),例1.求由方程,在 x=0 处的导数,解:方程两边对 x 求导,得,因 x=0 时 y=0,故,确定的隐函数,例2.求椭圆,在点,处的切线方程.,解:椭圆方程两边对 x 求导,故切线方程为,即,解:,设隐函数为,求,将,两端对,求导,即,解得,得,例3.,例4,解,两边都是幂指函数，,两边取对数，得,两边对,求导,得,即,故对,二、由参数方程确定的函数的导数,若参数方程,可确定一个 y 与 x 之间的函数,可导,且,则,时,有,时,有,(此时看成 x 是 y 的函数),关系,若上述参数方程中,二阶可导,且,则由它确定的函数,可求二阶导数
4、.,利用新的参数方程,可得,?,例5.设,且,求,已知,解:,注意:,例6.抛射体运动轨迹的参数方程为,求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向.,解:先求速度大小:,速度的水平分量为,垂直分量为,故抛射体速度大小,再求速度方向,(即轨迹的切线方向):,设 为切线倾角,则,抛射体轨迹的参数方程,速度的水平分量,垂直分量,在刚射出(即 t=0)时,倾角为,达到最高点的时刻,高度,落地时刻,抛射最远距离,速度的方向,三、相关变化率,为两可导函数,之间有联系,之间也有联系,称为相关变化率,相关变化率问题解法:,找出相关变量的关系式,对 t 求导,得相关变化率之间的关系式,求出未知的相关变化率,例7
5、.一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升,其速率为,当气球高度为 500 m 时,观察员,视线的仰角增加率是多少?,解:设气球上升 t 分后其高度为h,仰角为,则,两边对 t 求导,已知,h=500m 时,思考题:当气球升至500 m 时停住,有一观测者以,100 mmin 的速率向气球出发点走来,当距离为500 m,时,仰角的增加率是多少?,提示:,对 t 求导,已知,求,试求当容器内水,例8.有一底半径为 R cm,高为 h cm 的圆锥容器,今以 自顶部向容器内注水,位等于锥高的一半时水面上升的速度.,解:设时刻 t 容器内水面高度为 x,水的,两边对 t 求导,而,故,体积为 V,则,作业P73习题 3(3)P76习题 2(1)，3（2），P80习题 1(4),3(2),4(1),
