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1、一、一个方程的情形,二、方程组的情形,8.5 隐函数的求导法则,一、一个方程的情形,隐函数存在定理1,设函数F(x y)在点P(x0 y0)的某一邻域内具有连续偏导数 F(x0 y0)0 Fy(x0 y0)0 则方程F(x y)0在点(x0 y0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数yf(x)它满足条件y0f(x0)并有,例1 验证方程x2y210在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x0时y1的隐函数yf(x),并求这函数的一阶与二阶导数在x0的值.,解,设F(x,y)x2y21,Fx2x,Fy2y,F(0,1)0,Fy(0,1)20.,隐函数存在定理1:,则
2、,设函数F(x y)在点P(x0 y0)的某一邻域内具有连续偏导数 F(x0 y0)0 Fy(x0 y0)0 则方程F(x y)0在点(x0 y0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数yf(x)它满足条件y0f(x0).,由隐函数存在定理,方程x2y210在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x0时y1的隐函数yf(x).,解,设F(x,y)x2y21,Fx2x,Fy2y,F(0,1)0,Fy(0,1)20.,则,由隐函数存在定理,方程x2y210在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x0时y1的隐函数yf(x).,提示:,.,例1 验证方程x2
3、y210在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x0时y1的隐函数yf(x),并求这函数的一阶与二阶导数在x0的值.,解,设F(x,y)x2y21,Fx2x,Fy2y,F(0,1)0,Fy(0,1)20.,则,由隐函数存在定理,方程x2y210在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x0时y1的隐函数yf(x).,;,例1 验证方程x2y210在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x0时y1的隐函数yf(x),并求这函数的一阶与二阶导数在x0的值.,隐函数存在定理2,设函数F(x y z)在点P(x0 y0 z0)的某一邻域内具有连续的偏导数 且F(
4、x0 y0 z0)0 Fz(x0 y0 z0)0 则方程F(x y z)0在点(x0 y0 z0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数zf(x y)它满足条件z0f(x0 y0)并有,令F(x y z)z33xyza3 则,解:,由方程F(x,y,z)0确定的隐函数zf(x,y)的偏导数为,例2 设z33xyza3 求.,思路：,解,令,则,整理得,整理得,整理得,二、方程组的情形,在一定条件下方程组F(x,y,u,v)=0,G(x,y,u,v)=0能确定一对二元函数uu(x,y),vv(x,y).,例如,方程xu-yv=0和yuxv=1可以确定两个二元函数,事实上,能否根据原方程组求uu(x,y),vv(x,y)的偏导数？,设方程组F(x,y,u,v)=0,G(x,y,u,v)=0确定一对具有连续偏导数的二元函数uu(x,y),vv(x,y),则,二、方程组的情形,在一定条件下方程组F(x,y,u,v)=0,G(x,y,u,v)=0能确定一对二元函数uu(x,y),vv(x,y).,解,当x2y20时,解之得,两个方程两边分别对y求偏导,得方程组,当x2y20时,解之得,（分以下几种情况）,隐函数的求导法则,小结,
