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1、第二章力系的基本運算內容大綱,2.1 概論2.2 向量類別2.3 力2.4 共點力系2.5 力對點的力矩2.6 力對軸的力矩2.7 力偶,概論,概述,由於力為向量，故力的運算必須以向量的方式處理。本章將先介紹向量類別，再介紹力矩及力系合力的觀念。本章將利用力的分解與笛卡爾向量式的方法來解決有關質點平衡(equilibrium of a particle)的問題。由簡入繁，首先探討共點共面力系的平衡問題，再討論三維共點力系的平衡問題。,向量類別,向量分類：固定向量：作用點固定的向量滑動向量：作用線固定的向量自由向量：作用點與作用線均不固定的向量,力(force),力是物體間的交互作用會造成物體的
2、變形對物體的運動造成影響力之種類接觸力分佈力力之三要素大小方向作用點,Example,Figure(a)shows the man pulls the cord with a force of 350 N.Represent this force,that acts on point A as a Cartesian vector and determine its direction.,ANSWER,Figure(b)shows the force F.The direction of this vector,u is determined from the position vector,
3、r which extends from A to B.The coordinates of A(0,0,7.5m)and B(3m,-2m,1.5m)are shown in Figure(a).The position vector can be formed by subtracting the corresponding x,y and z coordinates of A from those of B.,靜平衡,若一質點保持靜止不動，或維持等速直線運動，則此質點處於平衡狀態。通常物體保持靜止不動時，我們稱之為靜平衡。若欲維持平衡狀態，則必須符合牛頓第一運動定律，即作用於質點上的合力
4、為零，此條件可以用數學式表示為 F=0其中 F 為作用在質點上所有力量的向量和 式 F=0 不僅是平衡的必要條件，也是平衡的充份條件，這可從牛頓的第二運動定律F=ma 得知。若力系滿足式 F=0，則可得 ma=0，此質點的加速度 a=0，所以質點會維持等速運動或靜止不動。,共點力系,共點力系,質點平衡必須滿足 F=0 若將質點上的作用力都分解成 i、j、k 方向上的分量如上圖，則上式可寫成 Fx i+Fy j+Fz k=0 若滿足式 F=0 時，則也必須滿足下列三個純量方程式 Fx=0 Fy=0 Fz=0,力對點的力矩,定義,若 F 與 O 點位於一陰影面，如下圖(a)，則繞 O 點或通過 O
5、 點且與平面垂直的軸，其力矩MO 本質上為一向量，因其具有大小與方向。力矩大小：力矩MO的大小可表示成 MO=Fd 其中 d 為力臂，或力的作用線與支點 O 間的垂直距離，而力矩的單位為力與距離之積，即 N m或lb ft。力矩方向：MO 的方向依右手定則而定，將右手指依力將造成之旋轉方向彎曲，如上圖(a)，則右手大姆指的指向即為力矩的作用線之指向，且與 F 及 d 所在平面垂直。力矩 MO 可視為滑動向量，可在其作用線上任意移動。,三維空間中 MO 將以一曲線附一箭頭表示，以便與施力向量區分，如圖(a)。力學中許多問題皆為共面力系，故可視為二維平面問題。將圖(a)以平面視之可得圖(b)。此處
6、將力矩 MO 以逆時針旋轉的曲線表示，代表 F 的作用，箭頭指出旋轉的方向。應用右手定則，彎曲右手手指，則姆指將指向紙外。值得留意，此彎曲或旋轉方向通常可藉力繞 O 點之軌道表示，如圖(b)所示。二維問題中經常須求取力對一點的力矩。力對軸所產生的力矩必與 F 及 d 所在平面垂直，且與此平面交於 O 點，如圖(a)。,共平面力系之力矩合成,若有一系統數力在 x-y 平面上，則各施力對 O 點所產生之力矩，其方向恆指向 z 軸，如下圖。由於各個力矩向量皆共線，則系統之力矩總合可簡單的利用純量加法來運算，即 MRO=Fd上式左側逆時針曲線代表正負之規定，當力矩的方向指向正 z 軸，其值為正；反之，
7、當力矩指向負z軸，其值為負。,向量法,力 F 對 O 點的力矩，或對穿越 O 點的一軸且垂直於 O 及 F 所在平面的力矩，如下圖(a)，可用向量的向量積表示 MO=r F上式 r 表示由 O 點至 F 作用線上的任一點 A 的位置向量。,力矩大小,由 r F 的定義知其之夾角取決於 r與F尾端交角，故 r 可視為一滑動向量，即 可以正確的決定，如圖(b)。其力臂d=r sin，故由式C=A B=(AB sin)uC MO=rF sin=F(r sin)=Fd與式 MO=Fd 相同。,力矩方向,力矩的方向可利用向量積的右手定則決定。將位置向量平移至虛線位置，彎曲右手手指，由 r 旋向 F，右手
8、姆指的指向即 MO 的方向，如圖(b)，手指彎曲的方向即表示力對物體造成的旋轉方向。由於向量的向量積不具有交換律，故式 MO=r F中 r 與 F 的順序不可更換。,Example,For each case illustrated in Figure(a)to Figure(e),determine the moment of the force about point O.,Example,A 200 N force acts on the bracket as shown in Figure(a).Determine the moment of the force about point
9、 A.,(a),(b),Answer I:The moment arm d can be found by using the trigonometry as shown in Figure(b).From the right triangle BCD,we can see thatCD=d=100 cos 45=70.71 mm=0.07071mTherefore,MA=Fd=200N(0.07071 m)=14.1 N.m By applying the right hand rule,MA is directed in the+k direction since the force te
10、nds to rotate counter-clockwise about point A.Hence,representing the moments in Cartesian vector form,we haveMA=14.1 k N.m,(c),Answer II:According to Varigons theorem,the 200N force can be resolved into its x and y components as shown in Figure(c).In accordance with this theory,the moments of F comp
11、uted about point A is equal to the sum of moments produced by the two force components.By assuming that the counter-clockwise rotation as positive,i.e in the+k direction,we can apply equation MA=Fd and we will get+MA=(200 sin 45N)(0.20 m)(200 cos 45N)(0.10 m)=14.1 N.m Therefore,MA=14.1 k N.m,力的可傳遞性,
12、考慮如圖所示，A 點作用力 F 對 O 點之力矩為 MO=rA F然而，位置向量 r 可由 O 點指向 F 力作用線上任意點。因此，F 力可作用在 B 或 C 點且對 O 點可有相同力矩，即 MO=rB F=rC F故 F 可視為一滑動向量，且可作用在其作用線上任何點而對 O 點均有相同力矩，此即為 F 力之可傳遞性(transmissibility)。,直角分量法,若將 r 及 F 表示成直角分量，如下圖，則從式 MO=r F 可得其中 rx、ry、rz 為由 O 至力量作用線上任一點的位置向量在 x、y、z 的分量；Fx、Fy、Fz為力量在x、y、z方向的直角分量。,由圖(a)可得上式三個
13、分量的物理意義。如 MO 的 i 分量由 Fz 及 Fy 對 x 軸的力矩，力作用於 D、E 點上，故對 A 點得 ryFz，且由右手定則知其為 i 的正向，同理 Fy 產生 rzFy(i)，而 Fx 並不會對 x 軸產生力矩，因其與 x 軸平行。,力系統的力矩合成,一系統的數力對 O 點的力矩合成，可利用上式各別計算，再利向量的基本加法求得最後結果。此結果可寫成 MRO=(r F),力矩原理,說明力對一點的力矩等於此力各分量對此點的力矩和。若 F 可寫成 F=F1+F2，其中 F1、F2 為 F 之分量，由下圖得 MO=r F1+r F2=r(F1+F2)=r F,Varignons The
14、orem,The moment about a give point O of the resultant of several concurrent forces is equal to the sum of the moments of the various moments about the same point O.,Varigons Theorem makes it possible to replace the direct determination of the moment of a force F by the moments of two or more compone
15、nt forces of F.,Rectangular Components of the Moment of a Force,The moment of F about O,Rectangular Components of the Moment of a Force,The moment of F about B,力對軸的力矩,力對點或軸的力矩,一力對一點或一軸的力矩將造成物體繞此點或軸旋轉的傾向。如水平力 Fx 與扳手的握把垂直，並與 O 點距離 dy，由下圖(a)觀察知此力欲使圓管繞 z 軸產生旋轉，故此力造成對 z 軸的力矩(MO)z。當力量愈大，或距離 dy愈長時，其效果愈顯著。由
16、 Fx 所造成旋轉的傾向，有時稱為扭力，但通常稱為力矩(MO)z。z 軸與包含 Fx 及 dy 之陰影面(x-y面)相垂直，而此面與z軸交於 O 點。,若一力 Fz 施於扳手如下圖(b)，此力將無法使圓管繞 z 軸旋轉，而有欲使之繞 x 軸旋轉，雖然此刻無法實際使圓管旋轉，卻有旋轉之傾向(MO)x，如前述力與 dy所在之陰影面必與力矩旋轉軸成垂直。又若施力 Fy 如下圖(c)，無法造成旋轉的傾向，因此力通過 O 點，故不可能造成旋轉。,力對軸的力矩,之前介紹力對一點的力矩恆與力及力臂所在的平面垂直。某些問題必須求得此力矩在一特定軸的分量，而此軸通過某定點。欲解答這問題可分為純量法及向量法兩種方
17、法。,純量法1,利用一個例題予以說明，如下圖(a)，彎管位於 x-y 平面，受垂直向下之 F=20N 力施於 A 處。此力對 O 點力矩 MO=(20N)(0.5m)=10 Nm，方向由右手定則決定。,純量法2,此力矩欲使彎管繞 Ob 軸旋轉，現在欲決定對 y 軸的分量 My，由下圖(a)，以使彎管繞 y 軸旋轉，由圖知 My=(3/5)(10Nm)=6 Nm，並依向量的分解可得知其方向。依上述方式需先求對 O 點之力矩後再求分量兩步驟，但是亦可直接求解。如欲直接求解，需先知 F 與 y 軸的距離，由下圖(a)知距離為 0.3m，故對 y 軸的力矩為 My=0.3(20N)=6 Nm，方向則依
18、右手定則決定。,向量法,上述範例方可用向量法求解，首先求取力對O點的力矩 MO=rA F=(0.3i+0.4j)(20k)=8i+6j Nm，如圖(b)，利用投影的觀念，其單位向量 u=j，故 My=MO u=(8i+6j)j=6 Nm。,Moments,Recall that when the moment of a force about a point is calculated,the moment and its axis are always perpendicular to the plan containing the moment and moment arm,For exa
19、mple:,For this case,the moment due to the 20N force about point O,is equal to:,Example Contd,The component of this moment acting about the y-axis is given by:,Solving directly,This problem could have been solved directly by noting that the perpendicular distance from the line of action of the F to t
20、he y axis is equal 0.3m,hence,利用向量分析法求力對軸的力矩之優點，乃為不需求取力臂的長度。故先求力對定點O的力矩再求定軸的分量之兩過程將再詳細的介紹。,圖中受 A 點的作用力 F，欲使物體繞 aa 軸旋轉。此旋轉的傾向是由 Ma 在 aa 軸的分量。欲求 Ma 須先求取 F 對轉軸上任一點 O 的力矩，依 MO=r F，其中 r 由 O 指向 A 之位置向量。由於 MO 之方向沿 bb，而 bb 軸與r和F所在平面垂直，MO 在 bb 的分量可用Ma 表示。其大小為 Ma=MOcos=MO ua，其中 ua 為 aa 軸的單位向量。合併上述兩步驟得 Ma=(r F
21、)ua，且向量的純量積適用交換律，故,Ma=ua(r F),上式利用三向量的基本乘法可寫成其中：uax、uay、uaz 為 aa 軸方向單位向量之直角分量rx、ry、rz 為由 aa 軸上任一點O至力的作用線上任一點的位置向量之直角分量Fx、Fy、Fz 為力的直角分量,Ma=ua(r F),力偶,力偶之定義（Couples）,所謂力偶即兩平行力具有相同的大小，相反的方向，且兩者相距 d，如下圖。由於兩力的合力為零，故力偶對物體的影響僅為旋轉。例如，當車輪轉向時，作用在方向盤上的力偶。,力偶矩(Moment of a couple),由力偶所造成的力矩稱為力偶矩為兩力所造成力矩之和，對空間任一點
22、 O，考慮兩向量 rA 與 rB 由 O 點至 F 與 F 的 A、B點，對 O 點的力矩為 又由三角形法則知 rA+r=rB 或 r=rB rA 此結果顯示偶矩為自由向量，因 M 僅與兩力間的位置向量有關，而與 O 點的 rA、rB 無關，此觀念亦與過去所介紹力與定點的力矩不同。,M=rA(F)+rB F=(rB rA)F,M=r F,純量法,如圖所示，力偶矩的大小為 M=Fd其中 F 為力的大小，d 為力與力之間的垂直距離，力偶矩的方向則依右手定則中當手指朝旋轉方向彎曲，而大姆指之指向即為力偶矩之方向，且力矩必與二力新構成平面垂直。,向量法,力偶矩方可表示為向量積，應用下式：上式的應用很簡
23、單，僅須將一力對另一力上的某一點取力矩即可，如圖中對 A 點的力矩 F 之值為零，而 F 的力矩即為上式，但須注意 r 與 F 作向量積。,M=r F,A,Example,Determine the moment of a couple acting on the member shown in Figure(a).,(a),From Figure(a),it is a little difficult to determine the perpendicular distance between the forces and compute the couple moment M=Fd.Ho
24、wever,both forces can be resolved into their horizontal and vertical components.These horizontal and vertical components can be seen in Figure(b).,(b),(b),Now,the principle of moments can be applied about any point.For example,if point D is chosen,we will have+M=120kN(0m)90kN(2m)+90kN(5m)120kN(1m)=3
25、90 kN.m However,a simpler way is to take moments about point A or point B to eliminate the moment of the forces acting at the moment point.In Figure Example 4.8(b),for point A we have+M=90kN(3m)+120kN(1m)=390 kN.m Note that you will obtain the same result if moments are calculated about point B.,等值力
26、偶(Equivalent couples),兩力偶若造成的力偶矩相等，則此兩力偶稱為等值力偶，因為力偶所造成的力矩必與兩力構成的平面垂直，故等值力偶必定位於同平面，或與此平面平行的另一平面上。,下圖中有兩力偶，其中一力偶由 100N 的力距離 d=0.5m，另一力偶由 200N 的力距離 d=0.25m，而兩力偶皆位於與 x-y 平面平行之平面，其值皆為 M=50k Nm。,力偶的和,由於力偶為自由向量，可作用於任一點 P，並可以向量的運算相加，如下圖(a)兩力偶作用於一物體的不同平面，並產生力偶矩 M1及 M2，如下圖(b)，此兩自由向量可移至點 P 處，並求其和，MR=M1+M2，如下圖(
27、c)所示。若有兩個以上力偶矩作用在物體上，我們可利用上述觀念，將總力偶寫成,MR=(r F),力的遞移性,靜力學的許多問題必須將力系化為最簡單，其間需將力由物體上的某一作用點移至另一作用點。由於力會使物體在力的方向產生位移，或使物體繞不在力作用線上的一點旋轉，在移動力的作用點，必須保有這兩項力的作用。將力移至 另外 點的兩種方式，將詳述於後。,點位於力作用線上1,下圖(a)之物體，受力 F 作用於 A 點。欲移動 F 至 O 點，則在 O 點施予 F 及 F，下圖(b)，此舉並不影響力對物體的影響，圖中具有斜線約兩方可互相抵消，僅留下位於 O 點之 F，下圖(c)，依此過程得一等效力系。,點位
28、於力作用線上2,此力僅由原作用點 A，圖(a)，移至另一作用點 O，圖(c)，換言之，亦可視為一滑動向量，因其可作用於作用線上任一點。這一觀念稱為力的遞移性原理，即作用在一剛體上的力量，若以同樣大小方向之力施於力作用線上任一點，剛體的平衡或運動狀態即保持不變。必須注意的是僅物體的平衡及運動狀態不變。然其物體內力則受 F 施力位置而不同。若 F 施力於 A，則 A 點附近的應力較大，若施力於 O 則 A 點周圍的應力將較小。,Moving a force,Along its line of action:Principle of transmissibility:When both points
29、 are on the line of action of the vector there is no change in external effect due to sliding.,點不在力的作用線上,此一情況如下圖(a)，依前述步驟，在 O 點施 F 和 F，下圖(b)中兩具有斜線之力構成力偶矩 M=r F。由於力偶矩為自由向量，可作用於物體上任意點 P，下圖(c)。除此力偶矩之外，F 亦已合乎要求作用於 O 點上。,Moving a Force(2),Off its line of action:This requires creating an additional couple
30、 moment.The moment is a free vector,so can be applied at any point P in the body.,上述兩項結論，可用一範例予以說明，若手持一棒，棒的重量可略去，施力 F 於棒於一端，下圖(a)，則依遞移性原理，持棒的一端亦會感受到相同的力量，下圖(b)。若橫持此棒，下圖(c)，則力將造成棒的向下且順時針扭轉，下圖(d)，此一向下扭轉的情形可視為力移至手持棒的一端，且有一力偶矩 M=Fd 作用在棒上。,Equivalent Forces,Simplifying the representation of forces and mo
31、ments on a system:Equivalent systems have the same external effect on the body,Example Problem,The street light shown above is supported by the cable AC.The total weight of the structure is 1600 N acting at the point G,and the tension in the cable is 3600N.The 200 N horizontal force represents the effect of the wind.Replace the force system by an equivalent force and couple moment acting at point B.,Example Problem,Replace the force and couple-moment system shown by an equivalent force and couple moment acting at point A.,
